第2煉充分條件與必要條件 1

一、基礎知識

1、定義：

（1）對於兩個條件，如果命題「若則」是真命題，則稱條件能夠推出條件，記為，

（2）充分條件與必要條件：如果條件滿足，則稱條件是條件的充分條件；稱條件是條件的必要條件

2、對於兩個條件而言，往往以其中乙個條件為主角，考慮另乙個條件與它的關係，這種關係既包含充分方面，也包含必要方面。所以在判斷時既要判斷「若則」的真假，也要判斷「若則」真假

3、兩個條件之間可能的充分必要關係：

（1）能推出，但推不出，則稱是的充分不必要條件

（2）推不出，但能推出，則稱是的必要不充分條件

（3）能推出，且能推出，記為，則稱是的充要條件，也稱等價

（4）推不出，且推不出，則稱是的既不充分也不必要條件

4、如何判斷兩個條件的充分必要關係

（1）通過命題手段，將兩個條件用「若……，則……」組成命題，通過判斷命題的真假來判斷出條件能否相互推出，進而確定充分必要關係。例如，構造命題：「若，則」為真命題，所以，但「若，則」為假命題（還有可能為），所以不能推出；綜上，是的充分不必要條件

（2）理解「充分」，「必要」詞語的含義並定性的判斷關係

① 充分：可從日常用語中的「充分」來理解，比如「小明對明天的考試做了充分的準備」，何謂「充分」？這意味著小明不需要再做任何額外的工作，就可以直接考試了。

在邏輯中充分也是類似的含義，是指僅由就可以得到結論，而不需要再新增任何說明與補充。以上題為例，對於條件，不需再做任何說明或新增任何條件，就可以得到所以可以說對是「充分的」，而反觀對，由，要想得到，還要補充乙個前提：不能取，那既然還要補充，則說明是「不充分的」

② 必要：也可從日常用語中的「必要」來理解，比如「心臟是人的乙個必要器官」，何謂「必要」？沒有心臟，人不可活，但是僅有心臟，沒有其他器官，人也一定可活麼？

所以「必要」體現的就是「沒它不行，但是僅有它也未必行」的含義。仍以上題為例：如果不成立，那麼必然不為1，但是僅靠想得到也是遠遠不夠的，還需要更多的補充條件，所以僅僅是「必要的」

（3）運用集合作為工具

先看乙個問題：已知 ,那麼條件「」是「」的什麼條件？

由可得到：，且推不出，所以「」是「」充分不必要條件。通過這個問題可以看出，如果兩個集合存在包含關係，那麼其對應條件之間也存在特定的充分必要關係。

在求解時可以將滿足條件的元素構成對應集合，判斷出兩個集合間的包含關係，進而就可確定條件間的關係了。相關結論如下：

①：是的充分不必要條件，是的必要不充分條件

②：是的充分條件

③：是的充要條件

此方法適用範圍較廣，尤其涉及到單變數取值範圍的條件時，不管是判斷充分必要關係還是利用關係解引數範圍，都可將問題轉化為集合的包含問題，進而快捷求解。例如在中，滿足的取值集合為，而滿足的取值集合為

所以，進而判斷出是的充分不必要條件

5、關於「」的充分必要關係：可從命題的角度進行判斷。例如：

是的充分不必要條件，則命題「若，則」為真命題，根據四類命題的真假關係，可得其逆否命題「若，則」也為真命題。所以是的充分不必要條件

二、典型例題：

例1：已知，則是的（）

a. 充要條件b. 必要不充分條件

c. 充分不必要條件d. 既不充分也不必要條件

思路：考慮利用集合求解：分別解不等式得到對應集合。，解得：，即；或，即。所以，進而是的充分不必要條件

答案：c

例2：已知，那麼是的（）

a. 充要條件b. 必要不充分條件

c. 充分不必要條件d. 既不充分也不必要條件

思路：本題若覺得不方便從條件中直接找到聯絡，可先從乙個條件入手推出其等價條件，再進行判斷，比如「」等價於，所以只需判斷與的關係即可。根據的單調性可得：

如果，則，但是若，在大於零的前提下，才有，而題目中僅說明。所以不能推出。綜上可判斷是的充分不必要條件

答案：c

小煉有話說：（1）如果所給條件不方便直接判斷，那麼可以尋找它們的等價條件（充要條件），再進行判斷即可

（2）在推中，因為是條件，表示式成立要求，但是在推中，是條件，且對取值沒有特殊要求，所以，那麼作為結論的就不一定有意義了。在涉及到變數取值時要首先分清誰是條件，誰是結論。作為條件的一方預設式子有意義，所以會對變數取值有一定的影響。

例3：已知，如果是的充分不必要條件，則的取值範圍是_____

思路：設，因為是的充分不必要條件，所以，利用數軸可而判斷出

答案：例4：下面四個條件中，使成立的充分而不必要的條件是（）

abcd.

思路：求的充分不必要條件，則這個條件能夠推出，且不能被推出。可以考慮驗證四個選項。

a選項可以推出，而不一定能夠得到（比如），所以a符合條件。對於b，c兩個選項均不能推出a，所以直接否定。而d選項雖然可以得到，但是也能推出，所以d是a的充要條件，不符題意

答案：a

例5：（2015浙江溫州中學高二期中考試）設集合，則「」是「」的（）

a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件

c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件

思路：先解出兩個解集：，的解集與的取值有關：若，則；若，則，觀察條件，若，則，所以成立；若，則通過數軸觀察區間可得的取值為多個（比如），所以「」是「」的充分不必要條件

答案：a

例6：對於函式，「的圖象關於軸對稱」是「是奇函式」的（）

a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件

c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件

思路：如果是奇函式，影象關於原點對稱，則中位於軸下方的部分沿軸對稱翻上來，恰好影象關於軸對稱，但的圖象關於軸對稱未必能得到是奇函式（例如），所以「的圖象關於軸對稱」是「是奇函式」的必要不充分條件

答案：b

例7：已知，則「」是「」的（）

a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件

c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件

思路一：可以考慮利用特殊值來進行判斷。比如考慮左右，可以舉出反例，則不成立，所以左邊無法得到右邊。而右左能夠成立，所以「」是「」的必要不充分條件

思路二：本題也可以運用集合的思想，將視為乙個點的座標，則條件所對應的集合為，作出兩個集合在座標系中的區域，觀察兩個區域可得，所以「」是「」的必要不充分條件

答案：b

例8（2015菏澤高三期中考試）：設條件：實數滿足；條件：實數滿足且是的必要不充分條件，則實數的取值範圍是_________

思路：本題如果先將，寫出，再利用條件關係運算，儘管可行，但，容易書寫錯誤。所以優先考慮使用原條件。

「是的必要不充分條件」等價於「是的必要不充分條件」，而為兩個不等式，所以考慮求出解集再利用集合關係求解。

解：設，可解得：，

設可解得：，

是的必要不充分條件是的必要不充分條件

答案：例9：數列滿足，則「」是「數列成等差數列」的（）

a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件

c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件

思路：當時，可得，即成等差數列。所以「」是「數列成等差數列」的充分條件。

另一方面，如果成等差數列，則成等差數列，所以有，代入可得：，解得或，經檢驗，時，，利用數學歸納法可證得，則也為等差數列（公差為0），所以符合題意。從而由「數列成等差數列」無法推出「」，所以「」是「數列成等差數列」的不必要條件

答案: a

例10：設，則是的（）

a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件

c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件

思路：因為，所以。故由可得，即，對於能否推出，可考慮尋找各自等價條件：，，通過數形結合可以得到符合的的集合是的集合的子集。所以是的必要不充分條件

答案：b

三、近年模擬題題目精選

1、（2014，江西贛州高三摸底考試）若，則「」是「」的（）

a. 充分不必要條件b. 必要不充分條件

c. 充要條件d. 既不充分也不必要條件

2、（2014南昌一模，3）設為向量，則「」是「」的（）