一、基礎小題
1．命題「若aa，則bb」的否命題是( )
a．若aa，則bb b．若a∈a，則b∈b
c．若b∈b，則aa d．若bb，則a∈a
答案 b
解析由原命題與否命題的定義知選b.
2．命題「若a2＋b2＝0，a，b∈r，則a＝b＝0」的逆否命題是( )
a．若a≠b≠0，a，b∈r，則a2＋b2＝0
b．若a＝b≠0，a，b∈r，則a2＋b2≠0
c．若a≠0且b≠0，a，b∈r，則a2＋b2≠0
d．若a≠0或b≠0，a，b∈r，則a2＋b2≠0
答案 d
解析寫逆否命題只要交換命題的條件與結論，並分別否定條件與結論即可．
3．命題「若x2＋3x－4＝0，則x＝－4」的逆否命題及其真假性為( )
a．「若x＝－4，則x2＋3x－4＝0」為真命題
b．「若x≠－4，則x2＋3x－4≠0」為真命題
c．「若x≠－4，則x2＋3x－4≠0」為假命題
d．「若x＝－4，則x2＋3x－4＝0」為假命題
答案 c
解析根據逆否命題的定義可以排除a，d，由x2＋3x－4＝0，得x＝－4或1，故選c.
4．乙個命題與它的逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中( )
a．真命題與假命題的個數相同
b．真命題的個數一定是奇數
c．真命題的個數一定是偶數
d．真命題的個數可能是奇數，也可能是偶數
答案 c
解析在原命題與其逆命題、否命題、逆否命題這四個命題中，互為逆否的命題是成對出現的，故真命題的個數和假命題的個數都是偶數．
5．設a，b是兩個集合，則「x∈a」是「x∈(a∩b)」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 b
解析如果x∈(a∩b)，則x∈a且x∈b；但當x∈a，xb時，x(a∩b)，所以「x∈a」是「x∈(a∩b)」的必要不充分條件，故選b.
6．下列命題中為真命題的是( )
a．命題「若x>1，則x2>1」的否命題
b．命題「若x>y，則x>|y|」的逆命題
c．命題「若x＝1，則x2＋x－2＝0」的否命題
d．命題「已知a，b，c∈r，若ac2>bc2，則a>b」的逆命題、否命題、逆否命題均為真命題
答案 b
解析對於選項a，命題「若x>1，則x2>1」的否命題為「若x≤1，則x2≤1」，易知當x＝－2時，x2＝4>1，故選項a為假命題；對於選項b，命題「若x>y，則x>|y|」的逆命題為「若x>|y|，則x>y」，分析可知選項b為真命題；對於選項c，命題「若x＝1，則x2＋x－2＝0」的否命題為「若x≠1，則x2＋x－2≠0」，易知當x＝－2時，x2＋x－2＝0，故選項c為假命題；對於選項d，原命題為真，所以逆否命題為真，逆命題、否命題均為假，故選項d為假命題．綜上可知，選b.
7．設集合m＝中，a1>0，則「a1a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 b
解析設等比數列的公比為q，若a10，所以1－q2<0，故q>1或q<－1，又a3－a6＝a1q2(1－q3)，若q>1，則a3a6，故充分性不成立．反之，若a31，則a110．若命題p的逆命題是q，命題p的否命題是r，則q是r的填「否命題」「逆命題」或「逆否命題」)
答案逆否命題
解析由4種命題的相互關係，可知原命題的否命題與逆命題互為逆否命題．
11．若「x∈[2,5]或x∈」是假命題，則x的取值範圍是________．
答案 [1,2)
解析根據題意得解得1≤x<2，故x∈[1,2)．
12．設p，r都是q的充分條件，s是q的充要條件，t是s的必要條件，t是r的充分條件，那麼p是t的________條件，r是t的________條件．(用「充分」「必要」或「充要」填空)
答案充分充要
解析由題知pqst，又tr，rq，故p是t的充分條件，r是t的充要條件．
二、高考小題
13．[2016·山東高考]已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內．則「直線a和直線b相交」是「平面α和平面β相交」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 a
解析若直線a，b相交，設交點為p，則p∈a，p∈b.又aα，bβ，所以p∈α，p∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故「直線a和直線b相交」是「平面α和平面β相交」的充分不必要條件．
14．[2016·北京高考]設a，b是向量，則「|a|＝|b|」是「|a＋b|＝|a－b|」的( )
a．充分而不必要條件 b．必要而不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 d
解析 |a＋b|＝|a－b||a＋b|2＝|a－b|2a·b＝0.而|a|＝|b|a·b＝0，且a·b＝0|a|＝|b|，故選d.
15．[2016·天津高考]設是首項為正數的等比數列，公比為q，則「q<0」是「對任意的正整數n，a2n－1＋a2n<0」的( )
a．充要條件 b．充分而不必要條件
c．必要而不充分條件 d．既不充分也不必要條件
答案 c
解析若對任意的正整數n，a2n－1＋a2n<0，則a1＋a2<0，又a1>0，所以a2<0，所以q＝<0；若q<0，可取q＝－1，a1＝1，則a1＋a2＝1－1＝0，不滿足對任意的正整數n，a2n－1＋a2n<0.所以「q<0」是「對任意的正整數n，a2n－1＋a2n<0」的必要而不充分條件．故選c.
16．[2016·四川高考]設p：實數x，y滿足(x－1)2＋(y－1)2≤2，q：實數x，y滿足則p是q的( )
a．必要不充分條件 b．充分不必要條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 a
解析如圖作出p，q表示的區域，其中⊙m及其內部為p表示的區域，△abc及其內部(陰影部分)為q表示的區域，故p是q的必要不充分條件．
17．[2015·陝西高考]「sinα＝cosα」是「cos2α＝0」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充分必要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 a
解析 ∵sinα＝cosαtanα＝1α＝kπ＋，k∈z，又cos2α＝02α＝2kπ＋或2kπ＋(k∈z)α＝kπ＋或kπ＋(k∈z)，∴sinα＝cosα成立能保證cos2α＝0成立，但cos2α＝0成立不一定能保證sinα＝cosα成立，∴「sinα＝cosα」是「cos2α＝0」的充分不必要條件．
18．[2015·四川高考]設a，b都是不等於1的正數，則「3a>3b>3」是「loga3a．充要條件 b．充分不必要條件
c．必要不充分條件 d．既不充分也不必要條件
答案 b
解析 「3a>3b>3」等價於「a>b>1」，「loga3b>1或03b>3」是「loga3三、模擬小題
19．[2017·中原名校聯考]已知p：a<0，q：a2>a，則綈p是綈q的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 b
解析因為綈p：a≥0，綈q：0≤a≤1，所以綈q綈p且綈p綈q，所以綈p是綈q的必要不充分條件．
20．[2017·安徽模擬]若p是q的充分不必要條件，則下列判斷正確的是( )
a．綈p是q的必要不充分條件
b．綈q是p的必要不充分條件
c．綈p是綈q的必要不充分條件
d．綈q是綈p的必要不充分條件
答案 c
解析由p是q的充分不必要條件可知pq，qp，由互為逆否命題的兩命題等價可得綈q綈p，綈p綈q，∴綈p是綈q的必要不充分條件．故選c.
21．[2017·湖北黃岡質檢]設集合a＝，b＝，則「x∈a且xb」成立的充要條件是( )
a．－1c．x>－1 d．－1答案 d
解析由題意可知，x∈ax>－1，xb－122．[2016·洛陽二練]已知集合a＝，b＝，則「m＝」是「a∩b＝」的( )
a．充分不必要條件 b．必要不充分條件
c．充要條件 d．既不充分也不必要條件
答案 a
解析 a∩b＝m2＋1＝4m＝±，故「m＝」是「a∩b＝」的充分不必要條件．
23．[2016·遼寧五校聯考]若f(x)是r上的增函式，且f(－1)＝－4，f(2)＝2，設p＝，q＝，若「x∈p」是「x∈q」的充分不必要條件，則實數t的取值範圍是( )
a．t≤－1 b．t>－1
c．t≥3 d．t>3
答案 d
解析 p＝＝＝{x|f(x＋t)3，選d.
1 2命題及其關係 充分條件與必要條件
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第2煉充分條件與必要條件 1
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