題型一直線和圓的位置關係的判斷問題
例1 已知圓c：x2＋y2－4x＝0，l是過點p(3,0)的直線，則l與c的位置關係為________．
破題切入點由於不知道直線l的方程，於是需要求p點與圓c的位置關係．
答案相交
解析將點p(3,0)的座標代入圓的方程，得
32＋02－4×3＝9－12＝－3<0，
∴點p(3,0)在圓內．
∴過點p的直線l一定與圓c相交．
題型二弦長問題
例2 若圓上一點a(2,3)關於直線x＋2y＝0的對稱點仍在圓上，且圓與直線x－y＋1＝0相交的弦長為2，則圓的方程是
破題切入點將已知條件轉化為直線x＋2y＝0過圓心，弦長可通過幾何法表示．
答案 (x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244
解析設圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，點a(2,3)關於直線x＋2y＝0的對稱點仍在圓上，說明圓心在直線x＋2y＝0上，即有a＋2b＝0，又(2－a)2＋(3－b)2＝r2，而圓與直線x－y＋1＝0相交的弦長為2，故r2－2＝2，
依據上述方程，解得或
所以，所求圓的方程為(x－6)2＋(y＋3)2＝52或(x－14)2＋(y＋7)2＝244.
題型三直線和圓的綜合性問題
例3 如圖所示，已知以點a(－1,2)為圓心的圓與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，過點b(－2,0)的動直線l與圓a相交於m，n兩點，q是mn的中點，直線l與l1相交於點p.
(1)求圓a的方程；
(2)當＝2時，求直線l的方程；
(3)b·b是否為定值？如果是，求出其定值；如果不是，請說明理由．
破題切入點 (1)由圓a與直線l1相切易求出圓的半徑，進而求出圓a的方程．
(2)注意直線l的斜率不存在時也符合題意，以防漏解，另外應注意利用幾何法，以減小計算量．
(3)分兩種情況分別計算平面向量的數量積為定值後方可下結論．
解 (1)設圓a的半徑為r.
∵圓a與直線l1：x＋2y＋7＝0相切，
∴r＝＝2.
∴圓a的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝20.
(2)當直線l與x軸垂直時，易知x＝－2符合題意；
當直線l與x軸不垂直時，設直線l的方程為y＝k(x＋2)，即kx－y＋2k＝0.鏈結aq，則aq⊥mn.
∵＝2，∴|aq|＝＝1.
由＝＝1，得k＝.
∴直線l的方程為3x－4y＋6＝0.
∴所求直線l的方程為x＝－2或3x－4y＋6＝0.
(3)∵aq⊥bp，∴a·b＝0.
∴b·b＝(b＋a)·b
＝b·b＋a·b＝b·b.
當直線l與x軸垂直時，得p.
則b＝，又b＝(1,2)，
∴b·b＝b·b＝－5.
當直線l的斜率存在時，設直線l的方程為y＝k(x＋2)．
由解得p.
∴b＝.
∴b·b＝b·b＝－＝－5.
綜上所述，b·b是定值，且b·b＝－5.
總結提高 (1)直線和圓的位置關係一般有兩種判斷方法：一是將直線和圓的方程聯立，利用判別式的符號求解根的個數，即為直線和圓的交點個數；二是將圓心到直線的距離d和半徑r相比較，當d>r時相離，d＝r時相切，d(2)求圓的弦長的方法：一是直接求出直線與圓的交點座標，利用兩點間的距離公式求得；二是不求交點座標，利用一元二次方程根與係數的關係得出，即設直線的斜率為k，聯立直線與圓的方程消去y後得到方程兩根為x1，x2，則弦長d＝|x1－x2|；三是利用半弦長、弦心距及半徑構成的直角三角形來求．對於圓中的弦長問題，一般利用第三種方法較為簡單．
1．直線(1＋3m)x＋(3－2m)y＋8m－12＝0(m∈r)與圓x2＋y2－2x－6y＋1＝0的交點個數為________．
答案 2
解析將含參直線方程分離變數可得m(3x－2y＋8)＋x＋3y－12＝0，
不論m取何值，直線恆過兩直線的交點a(0,4)，
又易知定點a在圓內，故直線必與圓恆相交．
2．(2014·浙江改編)已知圓x2＋y2＋2x－2y＋a＝0截直線x＋y＋2＝0所得弦的長度為4，則實數a的值為________．
答案 －4
解析由圓的方程x2＋y2＋2x－2y＋a＝0可得，
圓心為(－1,1)，半徑r＝.
圓心到直線x＋y＋2＝0的距離為
d＝＝.
由r2＝d2＋()2，得2－a＝2＋4，所以a＝－4.
3．(2014·北京改編)已知圓c：(x－3)2＋(y－4)2＝1和兩點a(－m,0)，b(m,0)(m>0)，若圓c上存在點p，使得∠apb＝90°，則m的最大值為________．
答案 6
解析根據題意，畫出示意圖，如圖所示，
則圓心c的座標為(3,4)，半徑r＝1，且|ab|＝2m.
因為∠apb＝90°，鏈結op，
易知|op|＝|ab|＝m.
要求m的最大值，
即求圓c上的點p到原點o的最大距離．
因為|oc|＝＝5，
所以|op|max＝|oc|＋r＝6，
即m的最大值為6.
4．(2014·福建改編)直線l：y＝kx＋1與圓o：x2＋y2＝1相交於a，b兩點，則「k＝1」是「△oab的面積為」的________條件．
答案充分不必要
解析將直線l的方程化為一般式得kx－y＋1＝0，所以圓o：x2＋y2＝1的圓心到該直線的距離d＝.又弦長為2＝，所以s△oab＝··＝＝，解得k＝±1.
因此可知「k＝1」是「△oab的面積為」的充分不必要條件．
5．直線x＋y－2＝0與圓x2＋y2＝4相交於a，b兩點，則弦ab的長度為________．
答案 2
解析 ∵圓心到直線x＋y－2＝0的距離
d＝＝1，半徑r＝2，
∴弦長|ab|＝2＝2＝2.
6．「a＝b」是「直線y＝x＋2與圓(x－a)2＋(x－b)2＝2相切」的________條件．
答案充分不必要
解析根據已知得直線與圓相切的充要條件為：＝|a－b＋2|＝2a＝b或a－b＝－4，故「a＝b」是「直線與圓相切」的充分不必要條件．
7．已知圓c1：x2＋y2－2mx＋4y＋m2－5＝0與圓c2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，若圓c1與圓c2相外切，則實數m
答案 －5或2
解析對於圓c1與圓c2的方程，配方得
圓c1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9，圓c2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4，
則c1(m，－2)，r1＝3，c2(－1，m)，r2＝2.
如果圓c1與圓c2相外切，那麼有c1c2＝r1＋r2，
即＝5，
則m2＋3m－10＝0，解得m＝－5或m＝2，
所以當m＝－5或m＝2時，圓c1與圓c2相外切．
8．已知圓c關於y軸對稱，經過點a(1,0)，且被x軸分成的兩段弧長比為1∶2，則圓c的方程為
答案 x2＋2＝
解析 ∵圓c關於y軸對稱，
∴圓c的圓心在y軸上，可設c(0，b)，
設圓c的半徑為r，則圓c的方程為x2＋(y－b)2＝r2.
依題意，得解得
∴圓c的方程為x2＋2＝.
9．(2014·江蘇)在平面直角座標系xoy中，直線x＋2y－3＝0被圓(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦長為________．
答案 解析圓心為(2，－1)，半徑r＝2.
圓心到直線的距離d＝＝，
所以弦長為2＝2＝.
10．(2014·山東)圓心在直線x－2y＝0上的圓c與y軸的正半軸相切，圓c截x軸所得弦的長為2，則圓c的標準方程為
答案 (x－2)2＋(y－1)2＝4
解析設圓c的圓心為(a，b)(b>0)，
由題意得a＝2b>0，且a2＝()2＋b2，
解得a＝2，b＝1.
所以，所求圓的標準方程為(x－2)2＋(y－1)2＝4.
11．已知點m(3,1)，直線ax－y＋4＝0及圓(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求過m點的圓的切線方程；
(2)若直線ax－y＋4＝0與圓相切，求a的值；
(3)若直線ax－y＋4＝0與圓相交於a，b兩點，且弦ab的長為2，求a的值．
解 (1)圓心c(1,2)，半徑為r＝2，
當直線的斜率不存在時，直線方程為x＝3.
由圓心c(1,2)到直線x＝3的距離d＝3－1＝2＝r知，
此時，直線與圓相切．
當直線的斜率存在時，設方程為y－1＝k(x－3)，
即kx－y＋1－3k＝0.
由題意知＝2，
解得k＝.
所以直線方程為y－1＝(x－3)，
即3x－4y－5＝0.
綜上所述，過m點的圓的切線方程為x＝3或3x－4y－5＝0.
(2)由題意有＝2，
解得a＝0或a＝.
(3)∵圓心到直線ax－y＋4＝0的距離為，
∴()2＋()2＝4，
解得a＝－.
12．在平面直角座標系xoy中，已知圓x2＋y2－12x＋32＝0的圓心為q，過點p(0,2)且斜率為k的直線與圓q相交於不同的兩點a，b.
(1)求k的取值範圍；
(2)是否存在常數k，使得向量＋與共線？如果存在求k的值；如果不存在，請說明理由．
解方法一 (1)圓的方程可寫成(x－6)2＋y2＝4，
所以圓心為q(6,0)．
過p(0,2)且斜率為k的直線方程為y＝kx＋2，
代入圓的方程得x2＋(kx＋2)2－12x＋32＝0，
整理得(1＋k2)x2＋4(k－3)x＋36＝0.①
直線與圓交於兩個不同的點a，b等價於
δ＝[4(k－3)]2－4×36(1＋k2)＝42(－8k2－6k)>0，
解得－(2)設a(x1，y1)，b(x2，y2)，
則＋＝(x1＋x2，y1＋y2)，
由方程①得，x1＋x2＝－.②
又y1＋y2＝k(x1＋x2)＋4.③
而p(0,2)，q(6,0)，＝(6，－2)．
所以＋與共線等價於－2(x1＋x2)＝6(y1＋y2)，將②③代入上式，解得k＝－.
由(1)知k∈(－，0)，
故不存在符合題意的常數k.
方法二 (1)∵q(6,0)，直線ab的方程：y＝kx＋2，
∴q到ab的距離d＝<2(圓半徑r＝2)，
∴k∈(－，0)．
(2)∵＋＝2 (c為ab中點)，∴∥.
而＝(6，－2)，
過q與ab垂直的直線為y＝－(x－6)，
∴解得c(，)，
即＝(，)．
∴＝－，k＝－(－，0)，
故不存在符合題意的常數k.
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