專題解析幾何

型別一：求軌跡與軌跡方程

1．（05重慶）已知，是圓上一動點，線段

的垂直平分線交於，則動點的軌跡方程為：_______．

2．圓與軸的左交點為d，過點f任作一直線交圓於a，b兩點，點c滿足，則動點c的軌跡方程為：_______．

3．（湖南）已知雙曲線的右焦點為，過點的動直線與雙曲線相交於兩點，點的座標是．（i）證明為常數；（ii）若動點滿足（其中為座標原點），求點的軌跡方程．

4．已知動圓m過定點p（0，m）(m>0)且與定直線相切，動圓圓心的軌跡方程為，直線過點交曲線於兩點，（1）若交軸於點，求的取值範圍；（2）若的斜角為，在上是否存在點使為正三角形？若存在，求點的座標；若不存在，說明理由。

型別二：恆過定點問題

5．已知中心在原點，焦點在座標軸上的橢圓的方程為它的離心率為，乙個焦點是(-1,0)，過直線上一點引橢圓的兩條切線，切點分別是a、b.

(ⅰ)求橢圓的方程； (ⅱ)若在橢圓上的點處的切線方程是.求證：直線ab恆過定點c，並求出定點c的座標；

(ⅲ)是否存在實數使得求證： (點c為直線ab恆過的定點).

6．（2023年高考（福建文））如圖,等邊三角形的邊長為,且其三個頂點均在拋物線上.(1)求拋物線的方程；(2)設動直線與拋物線相切於點,與直線相較於點.證明以為直徑的圓恆過軸上某定點.

型別三：求引數或某表示式的範圍

7．已知橢圓c： (a>b>0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋＝0相切．(1)求橢圓c的方程；(2)若過點m(2,0)的直線與橢圓c相交於兩點a，b，設p為橢圓上一點，且滿足＋＝t (o為座標原點)，當|－|＜時，求實數t的取值範圍．

8. 以知橢圓的兩個焦點分別為，過點

的直線與橢圓相交與兩點，且。（1）求橢圓的離心

率，（2）求直線ab的斜率，

型別四：面積最值問題

9．在直角座標系xoy中，長為的線段的兩端點c、d分別在x軸、y軸上滑動，．記點p的軌跡為曲線e．（i）求曲線e的方程；（ ii）經過點（0，1）作直線l與曲線e相交於a、b兩點，當點m在曲線e上時，求四邊形oamb的面積．

10．已知橢圓的離心率，且橢圓過點.(1)求橢圓的方程；(2)若為橢圓上的動點,為橢圓的右焦點,以為圓心,長為半徑作圓,過點作圓的兩條切線,（，為切點），求點的座標，使得四邊形的面積最大．

11．如圖，已知，直線，為平面上的動點，過點作的垂線，垂足為點，且．（ⅰ）求動點的軌跡的方程；（ⅱ）過點的直線交軌跡於兩點，交直線於點．（1）已知，，求的值；（2）求的最小值．

型別五：性質的證明

12．已知橢圓過點，且離心率為.（ⅰ）求橢圓的方程；（ⅱ）為橢圓的左、右頂點，直線與軸交於點，點是橢圓上異於的動點，直線分別交直線於兩點.證明：恒為定值.

13．已知橢圓：的離心率是，其左、右頂點分別為，，為短軸的端點，△的面積為．（ⅰ）求橢圓的方程；（ⅱ）為橢圓的右焦點，若點是橢圓上異於，的任意一點，直線，與直線分別交於，兩點，證明：以為直徑的圓與直線相切．

14．設是橢圓：的左焦點，直線為，直線與軸交於點，線段為橢圓的長軸，已知，（1）求橢圓的標準方程；（2）若過點的直線與橢圓相交於不同兩點，求證：。

型別六：存在性問題

15．已知為平面內的兩個定點，動點滿足,記點的軌跡為曲線．（ⅰ）求曲線的方程；（ⅱ）設點為座標原點，點，，是曲線上的不同三點，且．試**：直線與的斜率之積是否為定值？證明你的結論；

16．已知橢圓的離心率為，其左、右焦點分別為，點是橢圓上一點，且， (為座標原點)；(ⅰ)求橢圓的方程；(ⅱ)過點且斜率為的動直線交橢圓於兩點，在軸上是否存在定點，使以為直徑的圓恆過這個點?若存在，求出的座標，若不存在，說明理由.

17..如圖，已知橢圓的離心率為，以該橢圓上的點和橢圓的左、右焦點為頂點的三角形的周長為.一等軸雙曲線的頂點是該橢圓的焦點，設為該雙曲線上異於頂點的任一點，直線和與橢圓的交點分別為和.

（ⅰ）求橢圓和雙曲線的標準方程；

（ⅱ）設直線、的斜率分別為、，證明；

（ⅲ）是否存在常數，使得恆成立？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.

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