1．（2023年全國聯賽題）給定整數n≥2,設是拋物線與直線的乙個交點，試證明：對於任意正整數m，必存在整數k≥2,使為拋物線與直線的乙個交點。（p52）
證明因為與的交點為顯然有若為拋物線與直線的乙個交點，則記則 （1）
由於是整數，也是整數，所以根據數學歸納法，通過（1）式可證明：對於一切正整數是正整數。
現在對於任意正整數m取使得與的交點為。
2．橢圓上有16個點，順次為點，點f為左焦點，每每相鄰兩點與點f連線夾角都相等（）。設到左準線的距離為，求
分析橢圓的半長軸半短軸b=4，從而左焦點離心率以橢圓性質為解題的突破口。
解如圖， 設
（1）由橢圓的定義，得
代入（1），有解得故
=又所以3．在平面直角座標系xoy中，給定三點a（0，），b（－1，0）c（1，0），點p到直線bc的距離是該點到直線ab，ac距離的等比中項。
（1）求點p的軌跡方程；
（2）若直線l經過的內心（設為d點），且與點p的軌跡恰好有3個公共點。求直線l的斜率k的取值範圍。
分析根據距離關係，列出方程，再將交點的問題轉化為方程解得問題，不難得出本題解題途徑。
解 （1）直線ab，ac，bc的方程依次為
點到ab，ac，bc的距離依次為
且依據設得即
或化簡得點p 的軌跡方程為： 圓與雙曲線，且不含b，c 兩點。
（2）由（1）知，點p的軌跡包含兩部分（1）與
2）（不含b，c兩點）
由，知的內心d是適合題設條件的點，解得，且知它在圓s上。直線經過d，且與點p的軌跡有3個公共點，所以，直線的斜率存在。
設直線的方程為 （3）
1）當時，直線與圓s相切，有唯一的公共點d ，此時，直線平行於軸，表明直線與雙曲線有不同於d 的兩個公共點，所以，直線恰好與點p的軌跡有3個公共點。
2) 當時，由於b，c兩點不在軌跡上，所以，這時，直線與點p的軌跡恰好有3個公共點，必有直線與圓s 有兩個不同的交點，且直線與雙曲線有且只有乙個公共點，即方程組有且只有一組實數解，消去並化簡得
該方程有唯一實數解得充要條件是
（4）或 （5）
解（4）得，解（5）得
綜上所述，直線的斜率k的取值範圍是有限集
4、如圖，雙曲線的中心在座標原點o，焦點在軸上，兩條漸近線分別為，經過右焦點f垂直於的直線分別交於a，b兩點。又已知該雙曲線的離心率
（1）求證：依次成等差數列
（2）若f，求直線ab在雙曲線上所截得的弦cd的長度。
分析 （1）設屬雙曲線的方程為，先得出所滿足的關係式，再尋求之間的關係；（2）在（1）的基礎上求出的值，得到雙曲線的方程和直線ab的方程，再來求解。
解 （1）如圖5，由已知（1）
從而 （2） 故
設，則，故即
令，則，滿足,所以依次成等差數列。
（2）由已知代入（1）（2）得於是雙曲線的方程為。設直線ab的斜率為，則
於是直線ab的方程為：聯立消得，故弦cd的長度
5、已知拋物線c：與直線l：沒有公共點，設點p為直線l上的動點，過p作拋物線c的兩條切線，a，b為切點。
（1）證明：直線ab恆過定點；
（2）若點p與（1）中的定點的連線交拋物線c於m，n兩點，證明：，
分析 （1）設，分別求出拋物線c在a，b兩點處的切線方程，得到直線ab的方程（用和表示），再根據的任意性說明直線ab過定點。（2）設則可知要證，只需證明，即證
證明 （1）設，則由得，所以
於是拋物線c 在a點處的切線方程為，即。
設則有設，同理有所以ab的方程為
即，所以直線ab恆過定點
（2）pq的方程為與拋物線方程聯立，消去，得設則
（1）要證只需證明，即
2） 由（1）知
（2）式左邊
故（2）式成立，從而結論成立。
6、如圖，過拋物線上的一點a（1，1）作拋物線的切線，分別交軸於d，交軸於b，點c在拋物線上，點e**段ac上，滿足；點f**段bc上，滿足，且，線段cd與ef交於點p，當點c在拋物線上移動時，求點p的軌跡方程。
分析利用拋物線切線的求法，結合等式，列出方程，不難求出動點p 的軌跡方程，，對的不同求法，應有不同的解題途徑。
解法1 過拋物線上點a 的切線的斜率為：，故切線ab的方程為，於是b，d的座標分別為所以d是線段ab的中點。
設則由知，
由，得所以，ef所在直線方程為：化簡得
（1）當時直線cd的方程為2）
聯立（1）（2）解得消去，得p點軌跡方程為，
當時，ef的方程為，cd 的方程為
聯立解得也在點p的軌跡上。因c與a不能重合，所以所求軌跡方程為。
解法2 過拋物線上點a 的切線斜率為：，故切線ab的方程
於是b，d的座標分別為所以d是線段ab的中點。令
則因為cd為的中線，所以，而
所以，故p 是的重心。
設，因點c異於a，則，故重心p的座標為
消去得點p的軌跡方程
說明解析法解決幾何問題，最大優點是將幾何中隱含的等量關係全部用代數式凸顯出來。
7、已知過點（0，1）的直線l與曲線c：交於兩個不同點m和n，求曲線c在點m、n處切線的交點軌跡。
分析可設出直線的方程和點m，n的座標，根據已知條件列出關係式進行推導。
解設點m，n的座標分別為，曲線c在點m，n處的切線分別為
其交點p的座標為，若直線的斜率為，則的方程為，
由方程組消去，得
由題意知，該方程在上有兩個相異的實根故，且
（1）（2）3）由此解得對求導，得，
則，於是直線的方程為，化簡得
（4）同理可求得直線的方程為 （5）
（4）—（5），得，因為，故有 （6）
經將（2）（3）兩式代入（6）式得
（4）+（5）得7）
其中，代入（7）式得，而，得又由，
即點的軌跡為（2，2），（2，2.5）兩點間的線段（不含端點）。
說明相關點法是解決此類問題的基本思路。
8、過直線l：上的一點p作橢圓的切線pm，pn，切點分別為m、n，鏈結mn，
（1）當p點在直線l上運動時，證明：直線mn恆過定點q；
（2）當mn∥l時，定點q平分線段mn。
分析 （1）設，把直線mn的方程用表示出來，根據的任意性說明直線mn過定點，求出定點座標；（2）若mn//，則直線mn與直線的斜率相等，由此求出的值，從而得到直線mn的方程，再說明線段mn的中點恰好就是點q。
證明 （1）設，，則橢圓過點m，n的切線方程分別為
因為兩切線都過點p，則有這表明m，n均在直線 （1）上，由兩點決定一條直線知，式（1）就是直線mn的方程，其中滿足直線的方程。
當點p在直線上運動時，可理解為取遍一切實數，相應的為
代入（1）消去，得2）
對一切恆成立。變形可得對一切恆成立，故有
由此解得直線mn恆過定點。
（2）當mn//時，由式（2）知
， 解得代入（2），得此時mn的方程為
（3）將此方程與橢圓方程聯立，消去得
由此可得，此時mn截橢圓所得弦的中點橫座標恰好為點的橫座標，即
代入（3）式可得弦中點縱座標恰好為點的縱座標，即
這就是說，點平分線段mn。
說明本題的結論可以推廣到更一般的情況：若直線與橢圓相離，過上的點p作橢圓c的切線pm，pn，切點分別為m，n。
（1）當點p在直線上運動時，直線mn恆過定點；
（2）當mn//時，定點q平分線段mn。
9、如圖，已知拋物線c：，f為c的焦點，l為準線，且l交軸於e點，過點f任意作一條直線交拋物線c於a、b兩點。
（1）若，求證：
（2）設m為線段ab的中點，p為奇素數，且點m到軸的距離和點m到準線的距離均為非零整數，求證：點m到座標原點o的距離不可能是整數。
分析 （1)要證明兩個向量垂直，只需證明它們的內積等於0，有兩種途徑，一是設，把兩個向量的座標表示求出來，轉化為代數運算；二是設點a，b在準線上的射影分別為，利用已知的垂直關係及向量的分解實現轉化，進行運算；（2）設，假設為正整數，通過推理運算得出矛盾即可。
解 （1）方法1：點f的座標為設直線的方程為，代入，得
1）設，則是方程（1）的兩個根，有
由，得，因為
又所以故
方法2 如圖10，設點a，b在準線上的射影分別為，則
從而，由；
因為所以
又，所以
故，即。
（2）設，依題意，均為非零整數，由對稱性，不妨設，則 （2）
因為點m在直線ab上，所以 （3）
由（2），（3）消去，得4）
假設為正整數，則5）
因為為奇質數，所以由（4）知，，從而；於是，由（5）知；
令，則有，
消去，得；即；
又與有相同的奇偶性，且；
所以解得從而，於是；這與為正整數矛盾。
故點到座標原點的距離不可能是整數。
說明第（2)問巧妙地將解析幾何問題與整數理論結合在一起，比較有新意，有一定的難度。
5、已知橢圓的右焦點為f，右準線與軸交於e點，若橢圓的離心率，且.
（1）求的值
（2）若過f的直線交橢圓於a，b兩點，且與向量共線（其中，o為座標原點），求與的夾角。
9、已知橢圓的離心率，過點a（0，－b）和b()的直線與原點的距離為
（1）求橢圓的方程
（2）已知定點e（－2，0），直線與橢圓交於c，d兩點，證明：對任意的t>0,都存在k，使得以線段cd為為直徑的圓過e點。
解析幾何考綱
15 圓錐曲線與方程 圓錐曲線與方程 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.掌握橢圓的定義 幾何圖形 標準方程及簡單幾何性質.了解雙曲線 拋物線的定義 幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質.理解數形結合的思想.了解圓錐曲線的簡單應用.20 本小題滿分12分 ...
解析幾何的技巧
專題七解析幾何新題型的解題技巧 命題趨向 解析幾何例命題趨勢 1.注意考查直線的基本概念，求在不同條件下的直線方程，直線的位置關係，此類題大多都屬中 低檔題，以選擇 填空題的形式出現，每年必考 2.考查直線與二次曲線的普通方程，屬低檔題，對稱問題常以選擇題 填空題出現 3.考查圓錐曲線的基礎知識和基...
解析幾何題型小結
橢圓 與幾何結合 一 橢圓的對稱性 1 已知橢圓c 1 a b 0 的左焦點為f，c與過原點的直線相交於a，b兩點，連線了af，bf，若 ab 10，bf 8，cos abf 則c的離心率為 a b c d 二.設角，利用三角函式 2 設f1 f2分別為橢圓 1的左 右焦點，c 若直線x 上存在點p...