空間解析幾何複習題（答案）
1．已知, , , 並且． 計算．
解：因為, , , 並且
所以與同向，且與反向
因此，，
所以2．已知, , 求．
解： （1）
（2）得所以3．已知向量與共線, 且滿足, 求向量的座標．
解：設的座標為，又
則1）又與共線，則即所以
即 （2）
又與共線，與夾角為或
整理得3）
聯立解出向量的座標為
4．向量, ,具有相同的模, 且兩兩所成的角相等, 若,的座標分別為, 求向量的座標．
解：且它們兩兩所成的角相等，設為則有則
設向量的座標為
則 （1）
（2）所以3）
聯立（1）、（2）、(3)求出或
所以向量的座標為或
5．已知點, , ,，
(1) 求以, ,為鄰邊組成的平行六面體的體積．
(2) 求三稜錐的體積．
(3) 求的面積．
(4) 求點到平面的距離．
解：因為，, ,
所以（1）是以它們為鄰邊的平行六面體的體積
（2）由立體幾何中知道，四面體（三稜錐）的體積
（3）因為，
所以，這是平行四邊形的面積
因此□(4)設點到平面的距離為，由立體幾何使得三稜錐的體積
所以6．求經過點和且與座標平面垂直的平面的方程．
解：與平面垂直的平面平行於軸，方程為
1)把點和點代入上式得
2)3)
由（2），（3）得,
代入（1）得
消去得所求的平面方程為
7．求到兩平面和距離相等的點的軌跡方程．
解；設動點為，由點到平面的距離公式得
所以8．已知原點到平面的距離為120, 且在三個座標軸上的截距之比為, 求的方程．
解：設截距的比例係數為，則該平面的截距式方程為
化成一般式為
又因點到平面的距離為120，則有
求出 所以，所求平面方程為
9．若點在平面上的投影為, 求平面的方程．
解：依題意，設平面的法矢為
代入平面的點法式方程為
整理得所求平面方程為
10．已知兩平面與平面相互垂直，求的值．
解：兩平面的法矢分別為，，由⊥，得
求出11．已知四點, , , , 求三稜錐中面上的高．
解：已知四點,則
由為鄰邊構成的平行六面體的體積為
由立體幾何可知，三稜錐的體積為
設到平面的高為
則有所以
又 所以，
因此，12．已知點在軸上且到平面的距離為7, 求點的座標．
解：在軸上，故設的座標為，由點到平面的距離公式，得
所以則那麼點的座標為
13．已知點．在軸上且到點與到平面的距離相等, 求點的座標。
解：在軸上，故設的座標為，由兩點的距離公式和點到平面的距離公式得
化簡得因為方程無實數根，所以要滿足題設條件的點不存在。
14．求經過點且與直線和都平行的平面的方程．
解：兩已知直線的方向矢分別為，平面與直線平行，則平面的法矢與直線垂直
由⊥，有1）
由⊥，有2）
聯立（1），（2）求得,只有
又因為平面經過點，代入平面一般方程得
所以故所求平面方程，即，也就是平面。
15．求通過點p(1，0，-2)，而與平面3x-y+2z-1=0平行且與直線相交的直線的方程．
解：設所求直線的方向矢為，
直線與平面平行，則⊥，有
1）直線與直線相交，即共面
則有所以2）
由（1），（2）得
，即取，，，得求作的直線方程為
16．求通過點)與直線的平面的方程．
解：設通過點的平面方程為
即1)又直線在平面上，則直線的方向矢與平面法矢垂直
所以2)
直線上的點也在該平面上，則
3）由（1），（2），（3）得知，將作為未知數，有非零解的充要條件為
即，這就是求作的平面方程。
17．求點到直線的距離．
解：點在直線上，直線的方向矢
,則與的夾角為
所以因此點到直線的距離為
18．取何值時直線與軸相交?
解：直線與軸相交，則有交點座標為，
由直線方程得，求得
19．平面上的直線通過直線：與此平面的交點且與垂直, 求的方程．
解：依題意，與的交點在平面上，設通過交點的平面方程為
即 （1）
已知直線的一組方向數為
所以由直線與平面垂直得
所以得將，代入（1）得
化簡得故所求直線方程為
20．求過點且與兩平面和平行直線方程．
解：與兩平面平行的直線與這兩個平面的交線平行，則直線的方向矢垂直於這兩平面法矢
所確定的平面，即直線的方向矢為
將已知點代入直線的標準方程得
21．一平面經過直線（即直線在平面上）：，且垂直於平面，求該平面的方程．
解：設求作的平面為1)
直線在該平面上，則有點在平面上，且直線的方向矢與平面的法矢垂直
所以2)
3)又平面與已知平面垂直，則它們的法矢垂直
所以4)
聯立(2),(3),(4)得
代入（1）式消去並化簡得求作的平面方程為
第一講空間解析幾何簡介
教學內容 1.空間直角座標系 2.空間兩點之間的距離 3.空間曲面 空間曲線常見的二次曲面 4.空間曲線在座標面上的投影。教學目的與要求 1.初步建立空間的概念，理解空間直角座標系 2.理解曲面及其方程的概念 3.掌握幾種特殊曲面的方程及其圖形 4.理解空間直線及其方程概念 5.掌握幾種空間直線方程...
解析幾何考綱
15 圓錐曲線與方程 圓錐曲線與方程 了解圓錐曲線的實際背景，了解圓錐曲線在刻畫現實世界和解決實際問題中的作用.掌握橢圓的定義 幾何圖形 標準方程及簡單幾何性質.了解雙曲線 拋物線的定義 幾何圖形和標準方程，知道它們的簡單幾何性質.理解數形結合的思想.了解圓錐曲線的簡單應用.20 本小題滿分12分 ...
解析幾何 原稿
1 2006年全國聯賽題 給定整數n 2,設是拋物線與直線的乙個交點，試證明 對於任意正整數m，必存在整數k 2,使為拋物線與直線的乙個交點。p52 證明因為與的交點為顯然有若為拋物線與直線的乙個交點，則記則 1 由於是整數，也是整數，所以根據數學歸納法，通過 1 式可證明 對於一切正整數是正整數。...