一、本章學習要求與內容提要
（一）學習要求
1．理解空間直角座標系的概念,掌握兩點間的距離公式.
2．理解向量的概念、向量的模、單位向量、零向量與向量的方向角、方向余弦概念.
3．理解向量的加法、數乘、數量積與向量積的概念.
4．理解基本單位向量，熟練掌握向量的座標表示，熟練掌握用向量的座標表示進行向量的加法、數乘、數量積與向量積的運算.
5．理解平面的點法式方程和空間直線的點向式方程（標準方程）、引數方程，了解平面和空間直線的一般式方程.
6．理解曲面及其方程的關係，知道球面、柱面和旋轉曲面的概念，掌握球面、以座標軸為旋轉軸、準線在座標面上的旋轉曲面及以座標軸為軸的圓柱面和圓錐面的方程及其圖形.
7．了解空間曲線及其方程，會求空間曲線在座標麵內的投影.
8．了解橢球面、橢圓拋物面等二次曲面的標準方程及其圖形.
重點向量的概念，向量的加法、數乘、數量積與向量積的概念，用向量的座標表示進行向量的加法、數乘、數量積與向量積的運算，平面的點法式方程，空間直線的標準式方程和引數方程，球面、以座標軸為軸的圓柱面和圓錐面方程及其圖形，空間曲線在座標麵內的投影.
難點向量的概念，向量的數量積與向量積的概念與計算，利用向量的數量積與向量積去建立平面方程與空間直線方程的方法，利用曲面的方程畫出空間圖形.
（二）內容提要
1. 空間直角座標系
在空間,使三條數軸相互垂直且相交於一點，這三條數軸分別稱為軸、軸和軸，一般是把放置在水平面上，軸垂直於水平面.軸的正向按下述法則規定如下：伸出右手，讓四指與大拇指垂直，並使四指先指向軸的正向，然後讓四指沿握拳方向旋轉900指向軸的正向，這時大拇指所指的方向就是軸的正向(該法則稱為右手法則).
這樣就組成了右手空間直角座標系.在此空間直角座標系中，軸稱為橫軸，軸稱為縱軸，軸稱為豎軸，稱為座標原點;每兩軸所確定的平面稱為座標平面，簡稱座標面.軸與軸所確定的座標面稱為座標面，類似地有座標面，座標面。
這些座標面把空間分為八個部分，每一部分稱為乙個卦限.
在空間直角座標系中建立了空間的一點與一組有序數之間的一一對應關係。有序陣列稱為點的座標；分別稱為座標，座標，座標.
2. 向量的基本概念
⑴向量的定義既有大小，又有方向的量，稱為向量或向量．
⑵向量的模向量的大小稱為向量的模，用或表示向量的模．
⑶單位向量模為1的向量稱為單位向量．
⑷零向量模為０的向量稱為零向量，零向量的方向是任意的.
⑸向量的相等大小相等且方向相同的向量稱為相等的向量.
⑹自由向量在空間任意地平行移動後不變的向量,稱為自由向量.
⑺向徑終點為的向量稱為點的向徑,記為.
3. 向量的線性運算
⑴ 向量的加法
① 三角形法則若將向量的終點與向量的起點放在一起，則以的起點為起點，以的終點為終點的向量稱為向量與的和向量，記為.這種求向量和的方法稱為向量加法的三角形法則.
② 平行四邊形法則將兩個向量和的起點放在一起，並以和為鄰邊作平行四邊形，則從起點到對角頂點的向量稱為.這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法則.
向量的加法滿足下列運算律.
交換律： =；
結合律2 向量與數的乘法運算
實數與向量的乘積是乙個向量，稱為向量與數的乘積，記作，並且規定： ①；
②當時，與的方向相同；當時，與的方向相反；
③當時，是零向量.
設都是實數，向量與數的乘法滿足下列運算律：
結合律： ；
分配律向量的加法運算和向量與數的乘法運算統稱為向量的線性運算.
⑶ 求與同向的單位向量的方法設向量是乙個非零向量，則與同向的單位向量 .
⑷ 負向量當時，記(-1) =-，則-與的方向相反，模相等，-稱為向量的負向量.
⑸ 向量的減法兩向量的減法（即向量的差）規定為-= +(-1) .
向量的減法也可按三角形法則進行，只要把與的起點放在一起， -即是以的終點為起點，以的終點為終點的向量.
4. 向量的座標表示
⑴ 基本單位向量, ,分別為與軸,軸,軸同向的單位向量.
⑵ 向徑的座標表示點的向徑的座標表示式為=或簡記為
⑶的座標表示設以為起點,以為終點的向
的座標表示式為
⑷ 向量的模=.
5. 座標表示下的向量的線性運算
設，，則有
（1）；
（2）；
（3）.
6. 向量的數量積
⑴定義設向量之間的夾角為，則稱為向量的數
量積，記作·，即·=.
向量的數量積又稱「點積」或「內積」.
向量的數量積還滿足下列運算律:
交換律：·=·；
分配律結合律
2 數量積的座標表示
設，,則·=.
⑶ 向量與的夾角余弦
設，,則
⑷ 向量的方向余弦
設向量與軸 , 軸 , 軸的正向夾角分別為,稱其為向量的三個方向角，並稱, ,為的方向余弦，向量的方向余弦的座標表示為，且.
7．向量的向量積
⑴定義兩個向量與的向量積是乙個向量，記作×，它的模和方向分別規定如下：
①×=；
②×的方向為既垂直於又垂直於，並且按順序, ,×符合右手法則.
向量的向量積滿足如下運算律.
反交換律：×=-×；
分配律結合律
⑵向量積的座標表示
設，，則
×=.可將×表示成乙個三階行列式的形式，計算時，只需將其按第一行展開即可.即
×=.8.三個重要結論
⑴;⑵⊥0;
⑶∥=.
其中，「」表示「充分必要條件」．
９.平面方程
⑴平面的點法式方程
如果一非零向量垂直於平面，則稱此向量為該平面的法向量.
過點，以=為法向量的點法式平面方程為
至少有乙個不為零）.
⑵平面的一般式方程
以=為法向量的一般式平面方程為
至少有乙個不為零）.
⑶兩個平面的位置關係
設兩個平面的方程分別為
其法向量分別為=， =，有如下結論：
①⊥②∥∥；
③. （4）平面的夾角，即為兩個平面法向量夾角，其公式為
（5）點到平面的距離公式為
10. 直線方程
⑴如果乙個非零向量平行於直線,則稱為直線的方向向量.
⑵直線的標準式方程設直線過點且以為方向向量,則直線的標準式方程(也稱為點向式方程)為
⑶ 直線的引數方程設直線過點且以為方向向量,則直線的引數方程為
其中為引數.
⑷ 直線的一般式方程若直線作為平面和平面
的交線，則該直線的一般式方程為
其中{}與{}不成比例.
⑸ 兩條直線的位置關係
設直線的標準方程分別為
其方向向量分別為則有
①∥；②⊥⊥.
11．直線與平面的位置關係
直線與它在平面上的投影線間的夾角，稱為直線與平面的夾角.
設直線的方程分別為
則直線的方向向量為，平面的法向量為，向量與向量間的夾角為，於是,所以
由此可知：∥⊥⊥.①⊥;
②∥⊥;
③∥.12. 曲面方程
如果曲面∑上每一點的座標都滿足方程，而不在曲面∑上的每一點座標都不滿足方程，則稱方程為曲面方程，稱曲面∑為的圖形.
13. 柱面
直線沿定曲線平行移動所形成的曲面稱為柱面.定曲線稱為柱面的準線，動直線稱為柱面的母線.
如果柱面的準線在座標面上的方程為,那麼以為準線，母線平行於軸的柱面方程就是；同樣地，方程表示母線平行於軸的柱面方程；方程表示母線平行於軸的柱面方程.一般地，在空間直角座標系中，含有兩個變數的方程就是柱面方程，且在其方程中缺哪個變數，此柱面的母線就平行於哪乙個座標軸.
例如，方程分別表示母線平行於軸的橢圓柱面、雙曲柱面和拋物柱面.
14. 旋轉曲面
⑴定義一平面曲線繞與其在同一平面上的直線旋轉一周所形成的曲面稱為旋轉曲面，曲線稱為旋轉曲面的母線，直線稱為旋轉曲面的軸.
⑵母線在座標面上，繞某個座標軸旋轉所形成的旋轉曲面
設在座標面上有一條已知曲線，它在座標面上的方程是，母線繞軸旋轉一周所形成的旋轉曲面的方程為.由此可見，只要在座標面上曲線的方程中把換成，就可得到曲線繞軸旋轉的旋轉曲面方程.同理，曲線繞軸旋轉的旋轉曲面方程為.
對於其他座標面上的曲線，用上述方法可得到繞此座標平面上任何一條座標軸旋轉所生成的旋轉曲面.
15. 二次曲面
在空間直角座標系中,如果是二次方程,則它的圖形稱為二次曲面.下面給出幾種常見的曲面方程：
⑴ 球面方程
以為球心，為球半徑的球面方程為
⑵ 圓柱面方程
設乙個圓柱面的母線平行於軸，準線是在座標面上的以原點為圓心，為
半徑的圓，即準線在座標面上的方程為，其圓柱面方程為
.⑶ 錐面方程
頂點在原點，對稱軸為軸的圓錐面方程為
. ⑷ 橢圓拋物面方程
橢圓拋物面方程為
當時，原方程化為，它由拋物線繞軸旋轉而成，稱為旋轉拋物面.
⑸ 橢球面方程
橢球面方程為
其中稱為橢球面的半軸.
16.空間曲線在座標面上的投影
設空間曲線的方程為過曲線上的每一點作座標面的垂線,這些垂線形成了乙個母線平行於軸的柱面,稱為曲線關於座標面的投影柱面.這個柱面與座標面的交線稱為曲線在座標面的投影曲線，簡稱為投影.
在方程組中消去變數，得
方程就是曲線關於座標面的投影柱面方程.它與座標面的交線
就是曲線在座標面的投影曲線方程.
二、主要解題方法
1．向量的運算
例1 設向量=44+7的終點的座標為(2, 1,7).求 (1)始點的座標；(2)向量的模；(3)向量的方向余弦；(4)與向量方向一致的單位向量.
解 （1）設始點的座標為，則有， ,，得 =2 , =3 , =0 ;
(2) =9;
第九章解析幾何9 8曲線與方程
9.8 曲線與方程 考綱展示 考點1 直接法求軌跡方程 1.曲線與方程 一般地，在直角座標系中，如果某曲線c上的點與乙個二元方程f x，y 0的實數解建立了如下的關係 1 曲線上點的座標都是 的解 2 以這個方程的解為座標的點都是 的點 那麼，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線 曲線可以...
09第九章安全生產措施
廊坊 中心機電裝置安裝工程 施工組織設計 第九章安全及消防保證措施 一 安全目標 確保施工現場不發生重大 事故，火災事故和惡性中毒事件，輕傷的發生頻率控制在千分之三以內。二 安全生產保證措施 安全生產保證體系 139 安全技術措施 1 參加施工的人員，要熟知本工種安全操作規程，要服從現場管理人員的指...
09第九章不等式
二 方法與例題 1 不等式證明的基本方法。1 比較法，在證明a b或a0 與1比較大小，最後得出結論。例1 設a,b,c r 試證 對任意實數x,y,z,有x2 y2 z2 證明 左邊 右邊 x2 y2 z2 所以左邊 右邊，不等式成立。例2 若a 解 因為1 x1，所以loga 1 x 0,log...