第一節隨機事件的概率
1．概率與頻率
(1)在相同的條件s下重複n次試驗，觀察某一事件a是否出現，稱n次試驗中事件a出現的次數na為事件a出現的頻數，稱事件a出現的比例fn(a)＝為事件a出現的頻率．
(2)對於給定的隨機事件a，由於事件a發生的頻率fn(a)隨著試驗次數的增加穩定於概率p(a)，因此可以用頻率fn(a)來估計概率p(a)．
2．事件的關係與運算
3．概率的幾個基本性質
(1)概率的取值範圍：0≤p(a)≤1.
(2)必然事件的概率：p(a)＝1.
(3)不可能事件的概率：p(a)＝0.
(4)概率的加法公式
如果事件a與事件b互斥，則p(a∪b)＝p(a)＋p(b)．
(5)對立事件的概率
若事件a與事件b互為對立事件，則a∪b為必然事件．p(a∪b)＝1，p(a)＝1－p(b)．
1．易將概率與頻率混淆，頻率隨著試驗次數變化而變化，而概率是乙個常數．
2．互斥事件是不可能同時發生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不同時發生外，還要求二者之一必須有乙個發生，因此，對立事件是互斥事件的特殊情況，而互斥事件未必是對立事件．
[試一試]
1．甲：a1，a2是互斥事件；乙：a1，a2是對立事件，那麼( )
a．甲是乙的充分但不必要條件
b．甲是乙的必要但不充分條件
c．甲是乙的充要條件
d．甲既不是乙的充分條件，也不是乙的必要條件
解析：選b 兩個事件是對立事件，則它們一定互斥，反之不一定成立．
2．在2023年全國運動會火炬傳遞活動中，有編號為1,2,3,4,5的5名火炬手．若從中任選3人，則選出的火炬手的編號相連的概率為( )
a. b.
c. d.
解析：選a 從1,2,3,4,5中任取三個數的結果有10種，其中選出的火炬手的編號相連的事件有：(1,2,3)，(2,3,4)，(3,4,5)，∴選出的火炬手的編號相連的概率為p＝.
利用集合方法判斷互斥事件與對立事件
1．由各個事件所含的結果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．
2．事件a的對立事件所含的結果組成的集合，是全集中由事件a所含的結果組成的集合的補集．
[練一練]
1．(2014·赤峰模擬)先後拋擲硬幣三次，則至少一次正面朝上的概率是( )
a. b.
c. d.
解析：選d 至少一次正面朝上的對立事件的概率為，故p＝1－＝.
2．從裝有2個紅球和2個白球的口袋內任取2個球，那麼互斥而不對立的兩個事件是
a．至少有1個白球，都是白球
b．至少有1個白球，至少有1個紅球
c．恰有1個白球，恰有2個白球
d．至少有1個白球，都是紅球
解析：選c 結合互斥事件和對立事件的定義知，對於c中恰有1個白球，即1白1紅，與恰有2隻白球是互斥事件，但不是對立事件，因為還有2只都是紅球的情況，故選c.
考點一事件關係的判斷
1．(2013·泉州一模)在一次隨機試驗中，彼此互斥的事件a，b，c，d的概率分別為0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說法正確的是( )
a．a∪b與c是互斥事件，也是對立事件
b．b∪c與d是互斥事件，也是對立事件
c．a∪c與b∪d是互斥事件，但不是對立事件
d．a與b∪c∪d是互斥事件，也是對立事件
解析：選d 由於a，b，c，d彼此互斥，且a∪b∪c∪d是乙個必然事件，故其事件的關係可由如圖所示的韋恩圖表示，由圖可知，任何乙個事件與其餘3個事件的和事件必然是對立事件，任何兩個事件的和事件與其餘兩個事件的和事件也是對立事件．
2．在5張**卡中，有3張移動卡和2張聯通卡，從中任取2張，若事件「2張全是移動卡」的概率是，那麼概率是的事件是( )
a．至多有一張移動卡b．恰有一張移動卡
c．都不是移動卡d．至少有一張移動卡
解析：選a 至多有一張移動卡包含「一張移動卡，一張聯通卡」「兩張全是聯通卡」兩個事件，它是「2張全是移動卡」的對立事件，故選a.
3．乙個均勻的正方體玩具的各個面上分別標有數字1,2,3,4,5,6.將這個玩具向上拋擲1次，設事件a表示向上的一面出現奇數點，事件b表示向上的一面出現的點數不超過3，事件c表示向上的一面出現的點數不小於4，則( )
a．a與b是互斥而非對立事件
b．a與b是對立事件
c．b與c是互斥而非對立事件
d．b與c是對立事件
解析：選d 根據互斥事件與對立事件的意義作答，a∩b＝，事件a，b不互斥但不對立；b∩c＝，b∪c＝ω，故事件b，c是對立事件．
[類題通法]
判斷事件關係時的注意事項
(1)利用集合觀點判斷事件關係；
(2)可以寫出所有試驗結果，看所求事件包含哪幾個試驗結果，從而判斷所求事件的關係．
考點二隨機事件的概率
[典例] (2013·廣州模擬)將一枚骰子先後拋擲兩次，觀察向上的點數．
(1)求點數之積是4的概率；
(2)設a，b分別是將一枚骰子先後拋擲兩次向上的點數，求式子2a－b＝1成立的概率．
[解] 將一枚骰子先後拋擲兩次，向上的點數共有36種不同的結果．
(1)將一枚骰子先後拋擲兩次，向上的點數分別記為a，b，點數之積是4對應以下3種情況：
因此，點數之積是4的概率為p1＝＝.
(2)由2a－b＝1得2a－b＝20，∴a－b ＝0，
∴a＝b.
而將一枚骰子先後拋擲兩次向上的點數相等對應以下6種情況：
因此，式子2a－b＝1成立的概率為p2＝＝.
解：(1)由題意可知，在得到點數之和不大於6的條件下，先後出現的點數中有3的概率為＝.
(2)此事件對應(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)9種情況，∴p＝＝.
[類題通法]
求解隨機事件的概率關鍵是準確計算基本事件數，計算的方法有：
(1)列舉法，(2)列表法，(3)利用樹狀圖列舉．
[針對訓練]
(2013·江蘇高考)現有某類病毒記作xmyn，其中正整數m，n(m≤7，n≤9)可以任意選取，則m，n都取到奇數的概率為________．
解析：基本事件總數為n＝7×9＝63，其中m，n都為奇數的事件個數為m＝4×5＝20，所以所求概率p＝＝.
答案：考點三互斥事件與對立事件的概率
[典例] (2014·唐山統考)已知甲、乙兩人下棋，和棋的概率為，乙勝的概率為，則甲勝的概率和甲不輸的概率分別為( )
a.， b.，
c.， d.，
[解析] 「甲勝」是「和棋或乙勝」的對立事件，所以「甲勝」的概率為1－－＝.
設「甲不輸」為事件a，則a可看做是「甲勝」與「和棋」這兩個互斥事件的和事件，所以p(a)＝＋＝.(或設「甲不輸」為事件a，則a可看做是「乙勝」的對立事件，所以p(a)＝1－＝)
[答案] c
[類題通法]
求複雜的互斥事件的概率一般有兩種方法：一是直接求解法，將所求事件的概率分解為一些彼此互斥的事件的概率的和，運用互斥事件的求和公式計算．二是間接求法，先求此事件的對立事件的概率，再用公式p(a)＝1－p()，即運用逆向思維(正難則反)，特別是「至多」，「至少」型題目，用間接求法就顯得較簡便．
[針對訓練]
(2013·北京東城模擬)有編號為1,2,3的三個白球，編號4,5,6的三個黑球，這六個球除編號和顏色外完全相同，現從中任意取出兩個球．
(1)求取得的兩個球顏色相同的概率；
第九章注意
考試要求 通過對本章的學習，理解注意的概念 注意的功能和外部表現 掌握注意的分類，容易引起無意注意的條件和有利於保持有意注意的條件 重點把握注意的品質，懂得如何運用注意的規律來組織教學 識記無意注意 有意注意 注意的範圍 注意的穩定性 注意的分配 注意的轉移 興趣 直接興趣 間接興趣 興趣效能 興趣...
第九章控制
典型例題分析 一 單項選擇題 1.能夠有效避免消極後果，降低經濟成本的控制型別是 a.前饋控制 b.現場控制 c.反饋控制 d.全面控制 解析 前饋控制 現場控制 反饋控制三大基本型別是依據控制時間點的不同而劃分的。反饋控制是在消極後果已經造成後實施的，是最為困難的控制。現場控制突出了時效性，發現問...
第九章期權
第九章期權與期權交易 一 單選題 1.期權從買方的權利來劃分，有 b a.現貨期權和 期權 c.商品期權和金融期權 b.看漲期權和看跌期權 d.美式期權和歐式期權 2.看漲期權又稱為 a a.買方期權 c.賣方期權 b.認沽期權 d.賣權 3.期權買方在期權合約到期日之前不能行使權利的這種期權是 c...