§9.8 曲線與方程
考綱展示
考點1 直接法求軌跡方程
1.曲線與方程
一般地，在直角座標系中，如果某曲線c上的點與乙個二元方程f(x，y)＝0的實數解建立了如下的關係：
(1)曲線上點的座標都是________的解；
(2)以這個方程的解為座標的點都是________的點．
那麼，這個方程叫做曲線的方程，這條曲線叫做方程的曲線．
曲線可以看作是符合某條件的點的集合，也可看作是適合某種條件的點的軌跡，因此，此類問題也叫軌跡問題．
答案：(1)這個方程 (2)曲線上
2．求曲線方程的基本步驟
[典題1] (1)已知動圓過定點a(4,0)，且在y軸上截得弦mn的長為8.
①求動圓圓心的軌跡c的方程；
②已知點b(－1,0)，設不垂直於x軸的直線l與軌跡c交於不同的兩點p，q，若x軸是∠pbq的角平分線，證明：直線l過定點．
①[解] 如圖，設動圓圓心為o1(x，y)，
由題意，|o1a|＝|o1m|，
當o1不在y軸上時，過o1作o1h⊥mn交mn於h，則h是mn的中點．
∴|o1m|＝，
又|o1a|＝，
∴＝，化簡得y2＝8x(x≠0)．
當o1在y軸上時，o1與o重合，點o1的座標(0,0)也滿足方程y2＝8x，
∴動圓圓心的軌跡c的方程為y2＝8x.
②[證明] 由題意，設直線l的方程為y＝kx＋b(k≠0)，
p(x1，y1)，q(x2，y2)，
將y＝kx＋b代入y2＝8x，得
k2x2＋(2kb－8)x＋b2＝0.
其中δ＝－32kb＋64>0.
由根與係數的關係，得
x1＋x2＝，①
x1x2＝，②
因為x軸是∠pbq的角平分線，
所以＝－，
即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，
(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，
2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0，③
將①②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2kb)＋2k2b＝0，
∴k＝－b，此時δ>0，
∴直線l的方程為y＝k(x－1)，即直線l過定點(1,0)．
(2)在平面直角座標系xoy中，點b與點a(－1,1)關於原點o對稱，p是動點，且直線ap與bp的斜率之積等於－.求動點p的軌跡方程．
[解] 因為點b與點a(－1,1)關於原點o對稱，所以點b的座標為(1，－1)．
設點p的座標為(x，y)，
由題意得·＝－，
化簡得x2＋3y2＝4(x≠±1)．
故動點p的軌跡方程為x2＋3y2＝4(x≠±1)．
[點石成金] 直接法求曲線方程時，最關鍵的就是把幾何條件或等量關係翻譯為代數方程，要注意翻譯的等價性．通常將步驟簡記為建系設點、列式、代換、化簡、證明這五個步驟，但最後的證明可以省略，如果給出了直角座標系，則可省去建系這一步，求出曲線的方程後還需注意檢驗方程的純粹性和完備性．
考點2 定義法求軌跡方程
[典題2] 已知動圓c與圓c1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，與圓c2：(x－1)2＋y2＝9相內切，設動圓圓心c的軌跡為t，且軌跡t與x軸右半軸的交點為a.
(1)求軌跡t的方程；
(2)已知直線l：y＝kx＋m與軌跡t相交於m，n兩點(m，n不在x軸上)．若以mn為直徑的圓過點a，求證：直線l過定點，並求出該定點的座標．
[解] (1)設動圓c的半徑為r，則
|cc1|＝r＋1，|cc2|＝3－r，
∴|cc1|＋|cc2|＝4.
∴點c的軌跡是以c1，c2為焦點(c＝1)，長軸長為2a＝4的橢圓，
∴點c的軌跡t的方程是＋＝1.
(2)設m(x1，y1)，n(x2，y2)，
將y＝kx＋m代入橢圓方程，得
(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.
∴x1＋x2＝，x1x2＝.①
∵以mn為直徑的圓過點a，點a的座標為(2,0)，
∴·＝0，即(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.②
∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，
∴y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.③
將①③代入②，得7m2＋16km＋4k2＝0.
∴＝－或＝－2，且都滿足δ＞0.
由於直線l：y＝kx＋m與x軸的交點為，
當＝－2時，直線l恆過定點(2,0)，不合題意，捨去．
∴＝－，
∴直線l：y＝k恆過定點.
[點石成金] 1.運用圓錐曲線的定義求軌跡方程，可從曲線定義出發直接寫出方程，或從曲線定義出發建立關係式，從而求出方程．
2．定義法和待定係數法適用於已知曲線的軌跡型別，其方程是幾何形式的情況．利用條件把待定係數求出來，使問題得解.
如圖，已知△abc的兩頂點座標a(－1,0)，b(1,0)，圓e是△abc的內切圓，在邊ac，bc，ab上的切點分別為p，q，r，|cp|＝1(從圓外一點到圓的兩條切線段長相等)，動點c的軌跡為曲線m.求曲線m的方程．
解：由題知|ca|＋|cb|＝|cp|＋|cq|＋|ap|＋|bq|＝2|cp|＋|ab|＝4＞|ab|，
所以曲線m是以a，b為焦點，長軸長為4的橢圓(挖去與x軸的交點)．
設曲線m：＋＝1(a＞b＞0，y≠0)，
則a2＝4，b2＝a2－2＝3，
所以曲線m的方程為＋＝1(y≠0)．
考點3 代入法求軌跡方程
[典題3] [2017·山東泰安質檢]如圖所示，動圓c1：x2＋y2＝t2,1＜t＜3，與橢圓c2：＋y2＝1相交於a，b，c，d四點，點a1，a2分別為c2的左，右頂點．
(1)當t為何值時，矩形abcd的面積取得最大值？並求出其最大面積；
(2)求直線aa1與直線a2b的交點m的軌跡方程．
[解] (1)設a(x0，y0)，則s矩形abcd＝4|x0y0|，
由＋y＝1得y＝1－，
從而xy＝x＝－2＋.
當x＝，y＝時，smax＝6.
從而t2＝x＋y＝5，t＝，
∴當t＝時，矩形abcd的面積取得最大值，最大值為6.
(2)由橢圓c2：＋y2＝1知，a1(－3,0)，a2(3,0)，
由曲線的對稱性及a(x0，y0)，得b(x0，－y0)，
設點m的座標為(x，y)，
直線aa1的方程為y＝(x＋3)，①
直線a2b的方程為y＝(x－3)．②
由①②，得y2＝(x2－9)．③
又點a(x0，y0)在橢圓c上，故y＝1－.④
將④代入③得－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
∴點m的軌跡方程為－y2＝1(x＜－3，y＜0)．
[點石成金] 代入法求軌跡方程的四個步驟
(1)設出所求動點座標p(x，y)．
(2)尋求所求動點p(x，y)與已知動點q(x′，y′)的關係．
(3)建立p，q兩座標間的關係，並表示出x′，y′.
(4)將x′，y′代入已知曲線方程中化簡求解.
1.[2017·寧夏銀川模擬]動點a在圓x2＋y2＝1上移動時，它與定點b(3,0)連線的中點的軌跡方程是________．
答案：(2x－3)2＋4y2＝1
解析：設中點m(x，y)，由中點座標公式，可得a(2x－3,2y)，
∵點a在圓上，將點a座標代入圓的方程，
∴軌跡方程為(2x－3)2＋4y2＝1.
2．設f(1,0)，點m在x軸上，點p在y軸上，且＝2，⊥.當點p在y軸上運動時，求點n的軌跡方程．
解：設m(x0,0)，p(0，y0)，n(x，y)，
∵⊥，＝(x0，－y0)，＝(1，－y0)，
∴(x0，－y0)·(1，－y0)＝0，
∴x0＋y＝0.
由＝2，得(x－x0，y)＝2(－x0，y0)，
∴即∴－x＋＝0，即y2＝4x.
故所求點n的軌跡方程是y2＝4x.
[方法技巧] 求軌跡方程的三種方法：
(1)直接法：如果動點滿足的幾何條件本身就是一些幾何量(如距離與角)的等量關係，或這些幾何條件簡單明瞭且易於表達，我們只需把這種關係轉化為x，y的等式就得到曲線的軌跡方程．
(2)定義法：其動點的軌跡符合某一基本軌跡(如直線或圓錐曲線)的定義，則可根據定義設方程，求方程係數得到動點的軌跡方程．
(3)代入法(相關點法)：所求動點m是隨著另一動點p(稱之為相關點)而運動的．如果相關點p所滿足某一曲線方程，這時我們可以用動點座標表示相關點座標，再把相關點代入曲線方程，就把相關點所滿足的方程轉化為動點的軌跡方程，這種求軌跡的方法叫做相關點法或代入法．
[易錯防範] 1.求軌跡方程時，要注意曲線上的點與方程的解是一一對應關係．檢驗可從以下兩個方面進行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合題目的實際意義．
2．求點的軌跡與軌跡方程是不同的要求，求軌跡時，應先求軌跡方程，然後根據方程說明軌跡的形狀、位置、大小等．
真題演練集訓
1．[2016·新課標全國卷ⅰ]設圓x2＋y2＋2x－15＝0的圓心為a，直線l過點b(1,0)且與x軸不重合，l交圓a於c，d兩點，過b作ac的平行線交ad於點e.
(1)證明|ea|＋|eb|為定值，並寫出點e的軌跡方程；
(2)設點e的軌跡為曲線c1，直線l交c1於m，n兩點，過b且與l垂直的直線與圓a交於p，q兩點，求四邊形mpnq面積的取值範圍．
解：(1)因為|ad|＝|ac|，eb∥ac，
故∠ebd＝∠acd＝∠adc.
所以|eb|＝|ed|，
故|ea|＋|eb|＝|ea|＋|ed|＝|ad|.
又圓a的標準方程為(x＋1)2＋y2＝16，
從而|ad|＝4，所以|ea|＋|eb|＝4.
由題設得a(－1,0)，b(1,0)，|ab|＝2，由橢圓定義可得，點e的軌跡方程為＋＝1(y≠0)．
(2)當l與x軸不垂直時，設l的方程為y＝k(x－1)(k≠0)，m(x1，y1)，n(x2，y2)．
由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，
則x1＋x2＝，x1x2＝，
所以|mn|＝|x1－x2|＝.
過點b(1,0)且與l垂直的直線m：y＝－(x－1)，a到m的距離為，
所以|pq|＝2＝4.
故四邊形mpnq的面積為
s＝|mn||pq|＝12.
可得當l與x軸不垂直時，四邊形mpnq面積的取值範圍為(12,8)．
當l與x軸垂直時，其方程為x＝1，|mn|＝3，|pq|＝8，四邊形mpnq的面積為12.
綜上，四邊形mpnq面積的取值範圍為[12,8)．
2．[2016·湖北卷]一種作圖工具如圖①所示．o是滑槽ab的中點，短桿on可繞o轉動，長桿mn通過n處鉸鏈與on連線，mn上的栓子d可沿滑槽ab滑動，且dn＝on＝1，mn＝3 .當栓子d在滑槽ab內做往復運動時，帶動n繞o轉動一周(d不動時，n也不動)，m處的筆尖畫出的曲線記為c.以o為原點， ab所在的直線為x軸建立如圖②所示的平面直角座標系．
09第九章空間解析幾何
一 本章學習要求與內容提要 一 學習要求 1 理解空間直角座標系的概念,掌握兩點間的距離公式.2 理解向量的概念 向量的模 單位向量 零向量與向量的方向角 方向余弦概念.3 理解向量的加法 數乘 數量積與向量積的概念.4 理解基本單位向量，熟練掌握向量的座標表示，熟練掌握用向量的座標表示進行向量的加...
第九章圓錐曲線
知識 方法點撥 解析幾何是高中數學的重要內容之一，也是銜接初等數學和高等數學的紐帶。而圓錐曲線是解析幾何的重要內容，因而成為高考考查的重點。研究圓錐曲線，無外乎抓住其方程和曲線兩大特徵。它的方程形式具有代數的特性，而它的影象具有典型的幾何特性，因此，它是代數與幾何的完美結合。高中階段所學習和研究的圓...
83數學基礎知識總結 第九章 立體幾何
高中數學第九章 立體幾何 考試內容 平面及其基本性質 平面圖形直觀圖的畫法 平行直線 對應邊分別平行的角 異面直線所成的角 異面直線的公垂線 異面直線的距離 平行平面的判定與性質 平行平面間的距離 二面角及其平面角 兩個平面垂直的判定與性質 多面體 正多面體 稜柱 稜錐 球 考試要求 1 掌握平面的...