二、方法與例題
1．不等式證明的基本方法。
（1）比較法，在證明a>b或a0）與1比較大小，最後得出結論。
例1 設a, b, c∈r+，試證：對任意實數x, y, z, 有x2+y2+z2
【證明】 左邊-右邊= x2+y2+z2
所以左邊≥右邊，不等式成立。
例2 若a【解】 因為1-x1，所以loga(1-x) 0, =|log(1-x)(1+x)|=-log(1-x)(1+x)=log(1-x) >log(1-x)(1-x)=1（因為0<1-x2<1，所以》1-x>0, 0<1-x<1）.
所以|loga(1+x)|>|loga(1-x)|.
（2）分析法，即從欲證不等式出發，層層推出使之成立的充分條件，直到已知為止，敘述方式為：要證……，只需證……。
例3 已知a, b, c∈r+，求證：a+b+c-3≥a+b
【證明】 要證a+b+c≥a+b只需證，
因為，所以原不等式成立。
例4 已知實數a, b, c滿足0【證明】 因為0所以，
所以，所以只需證明，
也就是證，
只需證b(a-b) ≤a(a-b)，即(a-b)2≥0，顯然成立。所以命題成立。
（3）數學歸納法。
例5 對任意正整數n(≥3)，求證：nn+1>(n+1)n.
【證明】 1）當n=3時，因為34=81>64=43，所以命題成立。
2）設n=k時有kk+1>(k+1)k，當n=k+1時，只需證(k+1)k+2>(k+2)k+1，即》1. 因為，所以只需證，即證(k+1)2k+2>[k(k+2)]k+1，只需證(k+1)2>k(k+2)，即證k2+2k+1>k2+2k. 顯然成立。
所以由數學歸納法，命題成立。
（4）反證法。
例6 設實數a0, a1,…,an滿足a0=an=0，且a0-2a1+a2≥0, a1-2a2+a3≥0,…, an-2-2an-1+an≥0，求證ak≤0(k=1, 2,…, n-1).
【證明】 假設ak(k=1, 2,…,n-1) 中至少有乙個正數，不妨設ar是a1, a2,…, an-1中第乙個出現的正數，則a1≤0, a2≤0,…, ar-1≤0, ar>0. 於是ar-ar-1>0，依題設ak+1-ak≥ak-ak-1(k=1, 2, …, n-1)。
所以從k=r起有an-ak-1≥an-1-an-2 ≥…≥ar-ar-1>0.
因為an≥ak-1≥…≥ar+1≥ar >0與an=0矛盾。故命題獲證。
（5）分類討論法。
例7 已知x, y, z∈r+，求證：
【證明】 不妨設x≥y, x≥z.
ⅰ）x≥y≥z，則，x2≥y2≥z2，由排序原理可得
，原不等式成立。
ⅱ）x≥z≥y，則，x2≥z2≥y2，由排序原理可得
，原不等式成立。
（6）放縮法，即要證a>b，可證a>c1, c1≥c2,…,cn-1≥cn, cn>b(n∈n+).
例8 求證：
【證明】
，得證。
例9 已知a, b, c是△abc的三條邊長，m>0，求證：
【證明】
（因為a+b>c），得證。
（7）引入參變數法。
例10 已知x, y∈r+, l, a, b為待定正數，求f(x, y)=的最小值。
【解】 設，則，f(x,y)=
(a3+b3+3a2b+3ab2)=
，等號當且僅當時成立。所以f(x, y)min=
例11 設x1≥x2≥x3≥x4≥2, x2+x3+x4≥x1，求證：(x1+x2+x3+x4)2≤4x1x2x3x4.
【證明】 設x1=k(x2+x3+x4)，依題設有≤k≤1, x3x4≥4，原不等式等價於(1+k)2(x2+x3+x4)2≤4kx2x3x4(x2+x3+x4)，即
(x2+x3+x4) ≤x2x3x4，因為f(k)=k+在上遞減，
所以(x2+x3+x4)= (x2+x3+x4)
≤·3x2=4x2≤x2x3x4.
所以原不等式成立。
（8）區域性不等式。
例12 已知x, y, z∈r+，且x2+y2+z2=1，求證：
【證明】 先證
因為x(1-x2)=,
所以同理，，所以
例13 已知0≤a, b, c≤1，求證：≤2。
【證明】 先證 ①
即a+b+c≤2bc+2.
即證(b-1)(c-1)+1+bc≥a.
因為0≤a, b, c≤1，所以①式成立。
同理三個不等式相加即得原不等式成立。
（9）利用函式的思想。
例14 已知非負實數a, b, c滿足ab+bc+ca=1，求f(a, b, c)=的最小值。
【解】 當a, b, c中有乙個為0，另兩個為1時，f(a, b, c)=，以下證明f(a, b, c) ≥. 不妨設a≥b≥c，則0≤c≤, f(a, b, c)=
因為1=(a+b)c+ab≤+(a+b)c，
解關於a+b的不等式得a+b≥2(-c).
考慮函式g(t)=, g(t)在[）上單調遞增。
又因為0≤c≤，所以3c2≤1. 所以c2+a≥4c2. 所以2≥
所以f(a, b, c)= ≥=
=≥下證0 ①c2+6c+9≥9c2+9≥0 因為，所以①式成立。
所以f(a, b, c) ≥，所以f(a, b, c)min=
2．幾個常用的不等式。
（1）柯西不等式：若ai∈r, bi∈r, i=1, 2, …, n，則
等號當且僅當存在λ∈r，使得對任意i=1, 2, , n, ai=λbi,
變式1：若ai∈r, bi∈r, i=1, 2, …, n，則
等號成立條件為ai=λbi,(i=1, 2, …, n)。
變式2：設ai, bi同號且不為0(i=1, 2, …, n)，則
等號成立當且僅當b1=b2=…=bn.
（2）平均值不等式：設a1, a2,…,an∈r+，記hn=, gn=, an=，則hn≤gn≤an≤qn. 即調和平均≤幾何平均≤算術平均≤平方平均。
其中等號成立的條件均為a1=a2=…=an.
【證明】 由柯西不等式得an≤qn，再由gn≤an可得hn≤gn，以下僅證gn≤an.
1）當n=2時，顯然成立；
2）設n=k時有gk≤ak，當n=k+1時，記=gk+1.
因為a1+a2+…+ak+ak+1+(k-1)gk+1≥
≥2kgk+1,
所以a1+a2+…+ak+1≥(k+1)gk+1，即ak+1≥gk+1.
所以由數學歸納法，結論成立。
（3）排序不等式：若兩組實數a1≤a2≤…≤an且b1≤b2≤…≤bn，則對於b1, b2, …, bn的任意排列，有a1bn+a2bn-1+…+anb1≤≤a1b1+a2b2+…+anbn.
【證明】 引理：記a0=0，ak=，則=（阿貝爾求和法）。
證法一：因為b1≤b2≤…≤bn，所以≥b1+b2+…+bk.
記sk=-( b1+b2+…+bk)，則sk≥0(k=1, 2, …, n)。
所以-(a1b1+a2b2+…+anbn)= +snan≤0.
最後乙個不等式的理由是aj-aj+1≤0(j=1, 2, …, n-1, sn=0),
所以右側不等式成立，同理可證左側不等式。
證法二：（調整法）考察，若，則存在。
若(j≤n-1)，則將與互換。
因為≥0，
所調整後，和是不減的，接下來若，則繼續同樣的調整。至多經n-1次調整就可將亂序和調整為順序和，而且每次調整後和是不減的，這說明右邊不等式成立，同理可得左邊不等式。
例15 已知a1, a2,…,an∈r+，求證； a1+a2+…+an.
【證明】證法一：因為，…， ≥2an.
上述不等式相加即得≥a1+a2+…+an.
證法二：由柯西不等式(a1+a2+…+an)≥(a1+a2+…+an)2，
因為a1+a2+…+an >0，所以≥a1+a2+…+an.
證法三： 設a1, a2,…,an從小到大排列為，則，，由排序原理可得
=a1+a2+…+an≥，得證。
注：本講的每種方法、定理都有極廣泛的應用，希望讀者在解題中再加以總結。
三、基礎訓練題
1．已知02．已知x∈r+，則的最小值是
3．已知a, b, c∈r，且a2+b2+c2=1, ab+bc+ca的最大值為m，最小值為n，則mn
4．若不等式對所有實數x成立，則a的取值範圍是
5．若不等式x+a的解是x>m，則m的最小值是
6．「a+b=4」是「不等式|x-a|+|x-b|<8的解集是{x|-27．若a, b∈r+，則a+b=1，以下結論成立是a4+b4≥；②≤a3+b3<1；③；④；⑤；⑥
8．已知0<<，若，則
9．已知，p=(x1-)2+(x2-)2+…+(xn-)2, q=(x1-a)2+(x2-a)2+…+(xn-a)2, 若，則比較大小：pq.
10．已知a>0, b>0且ab, m=aabb, n=abba, 則比較大小：m_________n.
11．已知n∈n+，求證：
12．已知013．已知x∈r，，求證：
四、高考水平訓練題
1．已知a=asin2x+bcos2x, b=acos2x+bsin2x(a, b, x∈r)，設m=ab, n=ab, p=a2+b2, q=a2+b2，則下列結論成立的有1）m≥n, p≥q;（2）m≤n, p≤q；（3）m+p≥n+q；（4）m+q≥n+p.
2．已知a, b, c, d∈r，m=4(a-b)(c-d), n=(a-b)(c-b)+(d-a)(d-c)+(c-d)(c-b)+(a-b)(a-d)，則比較大小：m________n.
第九章不等式與不等式組
數學學科導學案課題 xx 編者 審核 班級 組號姓名 學習目標 說明 目標少而精，與當堂內容和教材聯絡緊密，不能太多，不擬與本堂無關的目標，不擬學生達不到的目標。目標定位適中，刪除偏 繁 難的訓練 1 2 重點難點 1 2 一 自主學習 說明 在學生獨立完成前，應先看學習目標，然後按導學案要求，該看...
第九章不等式組試題
第九章不等式與不等式組複習卷 2 一 選擇題 1 若0 x 1，則x x2 x3的大小關係是 a x x2 x3 b x x3 x2 c x3 x2 x d x2 x3 x 2 若a為實數，且a 0，則下列各式中，一定成立的是 a a2 1 1 b 1 a2 0 c 1 1 d 1 1 3.若，則下...
第九章「不等式與不等式組」簡介 新
一 本章主要內容和課程學習目標 一 教科書內容 數量之間除了有相等關係外，還有大小不等的關係 正如方程與方程組是討論等量關係的有力數學工具一樣，不等式與不等式組是討論不等關係的有利數學工具 一元一次不等式 組 中，只含有乙個未知數並且未知數的次數為1，因而是最簡單的含未知數的不等式 組 也是進一步學...