教學內容
1.空間直角座標系;
2.空間兩點之間的距離;
3.空間曲面、空間曲線常見的二次曲面;
4.空間曲線在座標面上的投影。
[教學目的與要求]
1.初步建立空間的概念，理解空間直角座標系；
2. 理解曲面及其方程的概念；
3. 掌握幾種特殊曲面的方程及其圖形；
4. 理解空間直線及其方程概念；
5. 掌握幾種空間直線方程的形式特點；
6. 理解空間曲線及其方程概念；
7. 掌握幾種空間曲線及其方程形式特點。
[教學重點與難點]
空間的二次曲面及其圖形形狀。
§6.1 空間解析幾何簡介
一、 空間直角座標系
過空間取一定點，作三條互相垂直的數軸，它們都以為原點．這三條軸分別叫做軸，軸，軸，統稱為座標軸．點稱為座標原點．三條座標軸的正方向符合右手法則．即用右手握住軸，當右手的四指從軸正向以角度轉向軸正向時，大拇指的指向就是軸正向．這樣的三條座標軸構成了乙個空間直角座標系，記為．
每兩條座標軸確定的乙個平面，稱為座標平面．由軸和軸確定的平面稱為平面，由軸和軸確定的平面稱為平面，由軸和軸確定的平面稱為平面．三個座標平面將空間分成八個部分，每個部分稱為乙個卦限，分別記為i、ii、iii、iv、v、vi、vii、viii，如圖6－1所示．
有了空間直角座標系，就可以建立空間上的點與有序陣列之間的一一對應關係．
設為空間一點，過點作三個平面分別垂直於軸、軸和軸，並與三座標軸分別交於點、、，如圖6－2．
設這三點在軸、軸、軸上的座標依次取為，從而空間一點就唯一確定了乙個有序陣列；反過來，已知乙個有序陣列，在軸上取座標為的點，在軸上取座標為的點，在軸上取座標為的點，然後通過、、分別作垂直於軸、軸、軸的平面．這三個平面的交點便是有序陣列所唯一確定的點．這樣，就建立了空間上的點與有序陣列之間的一一對應關係．
因此，稱該有序陣列為點的座標，記為，稱分別為點的橫座標、縱座標、豎座標．
顯然，座標原點的座標為；軸上的點的座標為，軸上的點的座標為，軸上的點的座標為；面上的點的座標為，面上的點的座標為，面上的點的座標為．
二、空間兩點間的距離
已知空間兩點和，過點和各作三個分別垂直於三條座標軸的平面，這六個平面圍成乙個以為對角線的長方體（圖6—4）．容易求得，空間兩點之間的距離為
1）特別地，空間一點到原點的距離為
．例１ 動點與兩定點，的距離相等，求動點的軌跡方程．
解由題設，根據公式(1)，得
即動點的軌跡方程為
．三、空間曲面
在空間直角座標系中，三元方程
2）表示一空間曲面s（圖6－4）．
1.空間平面
空間平面的一般方程為
3）其中為常數，且不全為零．
若平面與軸的交點分別為,其中(圖6－5)，將代入，則有
,稱為平面的截距式方程．分別稱為平面在軸上的截距．
一般地，平面平行於軸，平面平行於軸，平面平行於軸；平面平行於座標平面，平面平行於座標平面，平面平行於座標平面；
特別地，座標平面的方程為，座標平面的方程為，座標平面的方程為．
２．球心在，半徑為的球面方程
設為球面上任意一點，則，即,從而
4）這就是球心在、半徑為的球面方程（圖6－6）．
特別地，圓心在座標原點，半徑為的球面方程為
．對於一些複雜的空間曲面，需要用座標面或平行於座標面的平面與曲面相交，考察其交痕（稱為交線）的形狀，來了解曲面的全貌．
為研究複雜的空間曲面，我們給出空間曲線的概念．
四、空間曲線
空間曲線是空間兩個曲面的交線．
設曲面的方程分別為，則稱
為空間曲線的一般方程，如圖6—8所示．
特殊地，空間直線是兩個空間平面的交線，其一般方程為
例如，平面與座標平面的交線(見圖6－6)可表示為
即它是座標平面上的一條直線．
五、常見的曲面
除前文所述的平面和球面外, 常見的曲面還有
1. 橢球面
若，則方程（６）變為
，即球心在座標原點，半徑為的球面．
2. 拋物面
由方程（同號7）
所表示的曲面叫作橢圓拋物面．如圖6－10所示．曲面過座標原點且位於面上方，與面及面的交線都是拋物線，而用平面去截時，交線為橢圓．方程
同號8）
表示雙曲拋物面．當時，如圖6－10所示．它與平面及的交線均為拋物線，與平面的交線為雙曲線．因其形狀似馬鞍，又稱馬鞍面．
3. 雙曲面
由方程9）
所表示的曲面叫做單葉雙曲面，其形狀如圖6－12所示．
由方程10）
所表示的曲面叫做雙葉雙曲面，其形狀如圖6－13所示．
4．錐面
由方程11）
所表示的曲面叫錐面，其形狀如圖6－14所示．
5．柱面
定義平行於定直線並沿定曲線移動的直線所形成的曲面叫作柱面．定曲線叫做柱面的準線，動直線叫做柱面的母線．
設是面上的曲線,以為準線,為母線,平行於軸移動形成一柱面（圖6－15），顯然柱面上任一點的座標必滿足；反過來，滿足的點，不管其的座標是多少，總在此柱面上．因此，方程
表示母線平行於軸，準線是面上的曲線的柱面方程．
下面是幾種常見的母線平行於軸的柱面．
(1)表示圓柱面，其準線為面上的圓（圖6－16）．
(2)表示橢圓柱面，其準線為面上的橢圓．
(3)表示雙曲柱面，其準線為面上的雙曲線
（圖6－17）．
(4)表示拋物柱面，其準線為面上拋物線
（圖6－18）．
需要注意的是，同乙個方程，在平面直角座標系下,表示一條平面曲線，而在空間直角座標系下，表示的是母線平行於軸並以面上的曲線為準線的柱面．
同理，，分別表示母線平行於軸、軸，準線是面及面上的曲線，的柱面方程．
六、空間曲線在座標面上的投影
設空間曲線的一般方程為
12）由方程組消去變數後得
13它表示乙個以為準線，母線平行於軸的柱面（記為），垂直於面．稱為空間曲線關於面上的投影柱面．與面的交線
叫做空間曲線在面上的投影曲線（簡稱投影）（圖6－19）．
例2 兩球面的方程為和,試求它們的交線在面上的投影．
解將方程組
兩式相減得，再以代入得投影柱面方程為．
於是兩球面的交線在面上的投影方程為
例3 一立體由旋轉拋物面和上半錐面所圍成(圖6—20)，求它在面上的投影．
解旋轉拋物面與錐面的交線為
從方程組中消去，得投影柱面方程，將其和聯立得投影曲線方程為
可見，投影曲線是面上的單位圓．
小結1.空間直角座標系;
2.空間兩點之間的距離;
3.空間曲面、空間曲線常見的二次曲面;
4.空間曲線在座標面上的投影。
作業作業：p171 習題 6.1: 1，2，3，4，5；
預習：第六章6.2 p171—175.
01第一節空間解析幾何簡介
內容提要 一 空間直角座標系 在平面解析幾何中，我們建立了平面直角座標系，並通過平面直角座標系，把平面上的點與有序陣列 即點的座標 對應起來.同樣，為了把空間的任一點與有序陣列對應起來，我們來建立空間直角座標系.過空間一定點o,作三條相互垂直的數軸，依次記為軸 橫軸 軸 縱軸 軸 豎軸 統稱為座標軸...
空間解析幾何答案
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