專題八選修專題
1．平行線等分線段定理．
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段也相等，即若l1∥l2∥l3，l分別交直線l1，l2，l3於a1，a2，a3，l′分別交直線l1，l2，l3於b1，b2，b3，a1a2＝a2a3，則b1b2＝b2b3.
推論1：經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必平分第三邊，即在△abc中，若ad＝db，de∥bc，則ae＝ec.
推論2：經過梯形一腰的中點且與底邊平行的直線平分另一腰，即在梯形abcd中，ad∥bc，ae＝eb，ef∥ad，則df＝fc.
2．平行線分線段成比例定理．
三條平行線截任意兩條直線，所截出的對應線段成比例，即若l1∥l2∥l3，l分別交直線l1，l2，l3於a，b，c，l′分別交直線l1，l2，l3於d，e，f，則＝.
推論：平行於三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應線段成比例，即在△abc，de∥bc，則＝.
3．相似三角形的定義．
對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，解題時常常把對應點寫在對應的位置上．
4．相似三角形的判定方法．
(1)兩對對應角相等的兩個三角形相似；(2)三邊對應成比例的兩個三角形相似；(3)兩邊對應成比例，並且夾角相等的兩個三角形相似．
5．相似三角形的性質．
(1)相似三角形對應邊上的高的比、對應中線的比、對應角平分線的比和它們周長的比都等於相似比(對應邊的比)；(2)相似三角形的面積比等於相似比(對應邊的比)的平方．
6．射影定理．
直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項；斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上的射影的比例中項．
在rt△abc中，∠abc＝90°，bd⊥ac於d，則bd2＝ad·cd，ab2＝ad·ac，bc2＝cd·ca.
7．與圓有關的角的概念．
(1)圓心角：頂點在圓心，兩邊和圓相交的角叫做圓心角．如圖1中的∠aob.
(2)圓周角：頂點在圓上，兩邊和圓相交的角叫做圓周角．如圖2中的∠def.
(3)弦切角：頂點在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角．如圖3中的∠mpn.
8．與圓有關的角的性質．
(1)圓周角定理：圓上的一條弧所對的圓周角大小等於它所對的圓心角的一半．如圖4，∠acb＝∠aob.
(2)圓心角定理：圓心角的度數等於它所對的弧的度數．
推論1：同弧或等弧所對的圓周角相等，同圓或等圓中相等的圓周角所對的弧也相等．
推論2：半圓(或直徑)所對的圓周角是直角，圓周角為90°時所對的弦是直徑．如圖5，∠def＝90°.
(3)弦切角定理：弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角．
如圖6，∠mpn＝∠pqm.
9．圓的切線的判定和性質．
(1)圓的切線的定義：與圓只有乙個公共點的直線叫做圓的切線，這個公共點叫做切點．
(2)圓的切線的判定：①若圓心到直線的距離等於半徑，則該直線是圓的切線；②經過直徑的一端，並且垂直
於這條直徑的直線是圓的切線．
(3)圓的切線的性質：①圓的切線垂直於經過切點的半徑；②經過圓心且垂直於切線的直線必經過切點；③經過切點且垂直於切線的直線必經過圓心．
10．與圓有關的比例線段．
(1)相交弦定理：圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段的積相等．如圖7，pa·pb＝pc·pd．
(2)割線定理：從圓外一點引圓的兩條割線，這一點到每條割線與圓的交點的兩條線段長的積相等．如圖8，pa·pb＝pc·pd．
(3)切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓的交點的兩條線段長的比例中項．如圖9，pa2＝pc·pd．
(4)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角．如圖10，pa＝pc，∠apo＝∠cpo.
11．圓內接四邊形．
(1)圓內接四邊形的判定：①如果乙個四邊形的對角互補，那麼這個四邊形的四個頂點在同乙個圓上；②如果四邊形的乙個外角等於它的內對角，那麼這個四邊形的四個頂點在同乙個圓上．
(2)圓內接四邊形的性質：①圓內接四邊形的對角互補；②圓內接四邊形的外角等於與它相鄰的內角的對角．
12．直線與圓的位置關係．
(1)直線與圓的位置關係有三種：相交、相切、相離．
①相交——直線與圓有兩個公共點；
②相切——直線與圓有乙個公共點；
③相離——直線與圓沒有公共點．
(2)判定直線與圓的位置關係的方法：直線與圓的位置決定於圓心到直線的距離d和圓的半徑r之間的大小關係．
①直線與圓相交d②直線與圓相切d＝r；
③直線與圓相離d>r．
判定直線與圓的位置關係時，先看：看看題目中有沒有告訴我們直線和圓有幾個公共點；再算：算算圓心到直線的距離d和圓的半徑為r之間的大小關係；後斷：然後根據上述關係作出判斷．
13．圓與圓的位置關係．
(1)平面內兩圓的位置關係有五種：外離、外切、相交、內切、內含．
(2)判定兩個圓的位置關係的方法：設兩圓的圓心距為d，兩圓的半徑分別為r和r，則
①兩圓外離d>r＋r，有4條公切線；
②兩圓外切d＝r＋r，有3條公切線；
③兩圓相交r－rr)，有2條公切線；
④兩圓內切d＝r－r(r>r)，有1條公切線；
⑤兩圓內含dr)，沒有公切線．
14．常用的輔助線的作法．
出現切線就連線切點和圓心的半徑為輔助線，求弦長就作弦心距解直角三角形．
1．如下圖所示，de是△abc的中位線，fg為梯形bced的中位線，若de＝4，則fg等於(a)
a．6 b．8 c．10 d．12
2．如下圖所示，在△abc中，∠bac＝90°，d是bc的中點，ae⊥ad交cb的延長線於e，則下列結論正確的是(c)
a．△aed∽△acb
b．△aeb∽△acd
c．△bae∽△ace
d．△aec∽△dac
3．直線mn切⊙o於點c，ab是⊙o的直徑且∠cab＝53°，則∠boc＝106°，∠acb＝90°，∠acm＝37°，∠bcn＝53°．
4．如圖，△abc為圓的內接三角形，bd為圓的弦且bd∥ac，過點a做圓的切線與db的延長線交於點e，ad與bc交於點f.若ab＝ac，ae＝6，bd＝5，則線段cf的長為．
解析：由切割線定理，可知ae2＝eb·ed＝eb(eb＋bd)，即62＝eb(eb＋5)，所以eb＝4，由ae為圓的切線，ab＝ac，可得∠eab＝∠acb＝∠abc.所以ae∥bc.
又ac∥bd，則ac∥be，可得四邊形aebc是平行四邊形．所以ac＝ab＝eb＝4，bc＝ae＝6.由bd∥ac，可得△afc∽△dfb，則＝，即＝，所以cf＝.
一、選擇題
1．△abc的三邊長分別為，，2，△a′b′c′的兩邊長分別為1和，如果△abc∽△a′b′c′，那麼△a′b′c′的第三邊長為(a)
a. b. c. d.
解析：∵△abc∽△a′b′c′，則＝，則△a′b′c′的第三邊長為＝.
2．點e是平行四邊形abcd的邊bc延長線上的一點，ae與cd相交於點g，則圖中的相似三角形共有(c)
a．2對 b．3對 c．4對 d．5對
3．如圖所示，菱形abcd中，對角線ac，bd相交於點o，m，n分別是邊ab，ad的中點，連線om，on，mn.則下列敘述正確的是(c)
a．△aom和△aon都是等邊三角形
b．四邊形mbon和四邊形modn都是菱形
c．四邊形amon和四邊形abcd是相似形
d．四邊形mbco和四邊形ocdn都是等腰梯形
4．如圖，ab是半圓o的直徑，c，d是半圓上的兩點，半圓o的切線pc交ab的延長線於點p，∠pcb＝25°，則∠adc為(b)
a．105° b．115° c．120° d．125°
5．如圖，ab是⊙o的直徑，ef切⊙o於c，ad⊥ef於d，ad＝2，ab＝6，則ac的長為(c)
a．2 b．3 c．2 d．4
6．如圖，直線bc切⊙o於點a，則圖中的弦切角共有(d)
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
二、填空題
7．如圖所示，已知在△abc中，∠c＝90°，正方形defc內接於△abc，de∥ac，ef∥bc，ac＝1，bc＝2，則af∶fc＝1∶2．
8．如圖，在△abc中，已知de∥bc，△ade的面積是a2，梯形dbce的面積是8a2，則＝．
解析：∵s梯形dbce＝8s△ade，∴s△abc＝9s△ade，∴s△ade∶s△abc＝1∶9.∵de∥bc，∴△ade∽△abc.∴＝＝.∴＝.
9．如圖所示，已知△abc內接於圓o，點d在oc的延長線上，ad是圓的切線，若∠b＝30°，ac＝2，則od的長為4．
解析：連線oa，則∠coa＝2∠cba＝60°.又oc＝oa，故△coa為正三角形，所以oa＝2.又因為ad是⊙o的切線，即oa⊥ad，所od＝2oa＝4.
10．如圖所示，pt切⊙o於點t，pa交⊙o於a，b兩點且與直徑ct交於點d，cd＝2，ad＝3，bd＝6，則pb＝15．
三、解答題
11．如圖，ab是圓o的直徑，c，d是圓o上位於ab異側的兩點．證明：∠ocb＝∠d.
證明：因為b，c是圓o上的兩點，所以ob＝oc.
故∠ocb＝∠b.
因為c，d是圓o上位於ab異側的兩點，
故∠b，∠d為同弧所對的兩個圓周角，
所以∠b＝∠d.因此∠ocb＝∠d.
12．如圖，ab是圓o的一條直徑，c，d是圓o上不同於a，b的兩點，過點b作圓o的切線與ad的延長線相交於點m，ad與bc相交於n點，bn＝bm.求證：
(1)∠nbd＝∠dbm；
(2)am是∠bac的角平分線．
證明：(1)∵ab是圓o的直徑，∴∠adb＝90°.
而bn＝bm，∴△bnm為等腰三角形．
∴bd為∠nbm的角平分線，即∠nbd＝∠dbm.
(2)bm是圓o的切線，
∠dab＝∠dacam是∠cab的角平分線．
13．已知點c在圓o直徑be的延長線上，ca切圓o於a點，∠acb的角平分線分別交ae，ab於點f，d.
(1)求∠adf的度數；
第一講幾何證明選講 一
第一講 幾何證明選講 一 經典例題 例1 07廣東文 理 如圖所示，圓的直徑，為圓周上一點，過作圓的切線，過作的垂線，分別與直線 圓交於點 則線段的長為 例2 08廣東文 理 已知是圓的切線，切點為，是圓的直徑，與圓交於點，則圓的半徑 例3 09廣東文 理 如圖，點是圓上的點，且，則圓的面積等於 例...
幾何證明選講
一 考試說明要求 二 應知應會知識和方法 1 如圖所示，圓o上的一點c在直徑ab上的射影為d，cd 4，bd 8，求圓o的直徑 解 10 說明本題所用的知識點為 圓周角定理 射影定理 2 等邊 內接於 且de bc，已知於點h，bc 4，ah 求 的邊長 解設等邊的邊長為x，則它的高為，因為de b...
幾何證明選講
3年高考2年模擬 第十二章系列4第一節4 1幾何證明選講 第一部分三年高考薈萃 2012年高考數學幾何證明選講 一 填空題選擇題 1 2012年高考 天津文 如圖,已知和是圓的兩條弦,過點作圓的切線與的延長線相交於.過點作的平行線與圓交於點,與相交於點,則線段的長為 2 2012年高考 陝西文 如圖...