考綱解讀
1.了解平行線截割定理，會證明並應用直角三角形射影定理.
2.會證明並應用圓周角定理、圓的切線的判定定理及性質定理.
3.會證明並應用相交弦定理、圓內接四邊形的性質定理與判定定理、切割線定理.
4.了解平行射影的含義，通過圓柱與平面的位置關係了解平行射影；會證平面與圓柱面的截線是橢圓（特殊情形是圓）.
高考對幾何證明選講的考查主要體現在相似三角形和直線與圓的位置關係兩個方面，難度不大，主要以填空題或解答題的形式出現.
考點梳理
1.平行線等分線段定理
（ⅰ）文字敘述：
如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那麼在其他直線上截得的線段 .
推論1 經過三角形一邊的中點與另一邊平行的直線必
推論2 經過梯形一腰的中點，且與底邊平行的直線
答案：也相等平分第三邊平分另一腰
（ⅱ）圖形表示
（ⅲ）數學表示式
2.平行線分線段成比例定理
（ⅰ）文字敘述：
三條平行線截兩條直線，所得的成比例.
推論平行於三角形一邊的直線截其他兩邊（或兩邊的延長線）所得的成比例.
答案：對應線段對應線段
（ⅱ）圖形表示
（ⅲ）數學表示式
3.相似三角形的判定定理
（ⅰ）文字敘述：
判定定理1 對於任意兩個三角形，如果乙個三角形的兩個角與另乙個三角形的兩個角對應相等，那麼這兩個三角形相似.簡述為：兩角對應相等，兩三角形相似.
判定定理2 對於任意兩個三角形，如果乙個三角形的兩邊與另乙個三角形的兩邊對應成比例，並且夾角相等，那麼這兩個三角形相似.簡述為：兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似.
判定定理3 對於任意兩個三角形，如果乙個三角形的三條邊與另乙個三角形的三條邊對應成比例，那麼這兩個三角形相似.簡述為：三邊對應成比例，兩三角形相似.
（ⅱ）圖形表示
（ⅲ）數學表示式
4.相似三角形的性質定理
（ⅰ）文字敘述：
性質定理1 相似三角形對應高的比、對應中線的比和對應角平分線的比都等於 .
性質定理2 相似三角形對應周長的比、外接圓的直徑比、外接圓的周長比都等於 .
性質定理3 相似三角形面積的比、外接圓的面積比都等於 .
答案：相似比相似比相似比的平方
（ⅱ）圖形表示
（ⅲ）數學表示式
5.射影定理
（ⅰ）文字敘述：
直角三角形斜邊上的高是的比例中項；
兩直角邊分別是它們在斜邊上射影與斜邊的 .
推論 .
答案：兩直角邊在斜邊上的射影比例中項
（ⅱ）圖形表示
（ⅲ）數學表示式
6.圓周角、圓心角和弦切角定理
（ⅰ）文字敘述：
（1）圓周角定理圓上一條弧所對的圓周角等於它所對的的一半.
（2）圓心角定理圓心角的度數等於它所對的度數.
推論1 同弧或等弧所對的圓周角 ；同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧 .
推論2 半圓（或直徑）所對的圓周角是 ；的圓周角所對的弦是 .
（3）弦切角定理弦切角等於它所夾的弧所對的 .
答案：（1）圓心角 （2）弧推論1 相等也相等推論2 直角直徑 （3）圓周角
（ⅱ）圖形表示
（ⅲ）數學表示式
7.圓內接四邊形的性質與判定定理
（ⅰ）文字敘述：
（1）性質定理圓的內接四邊形的對角 .
推論圓內接四邊形的外角等於它的的對角.
（2）判定定理如果乙個四邊形的對角互補，那麼這個四邊形的四個頂點 .
推論如果四邊形的乙個外角等於它的內角的對角，那麼這個四邊形的四個頂點 .
答案：（1）互補內角 （2）共圓共圓
（ⅱ）圖形表示
（ⅲ）數學表示式
8.圓的切線的性質與判定定理
（ⅰ）文字敘述：
（1）性質定理圓的切線垂直於結果切點的 .
推論1 經過圓心且垂直於切線的直線必經過 .
推論2 經過切點且垂直於切線的直線必經過 .
（2）判斷定理經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的 .
答案：（1）半徑推論1 切點推論2 圓心（2）切線
（ⅱ）圖形表示
（ⅲ）數學表示式
9.相交弦定理
（ⅰ）文字敘述：
圓內的兩條相交弦的積相等.
答案：被交點分成的兩條線段長
（ⅱ）圖形表示
（ⅲ）數學表示式
10.切割線定理
（ⅰ）文字敘述：
（1）割線定理從圓外一點引圓的兩條割線的兩條線段長的積相等.
（2）切割線定理從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是的比例中項.
（3）切線長定理從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長圓心和這一點的連線平分的夾角.且切點弦.
答案：（1）這一點到每條割線與圓的交點 （2）這一點到割線與圓交點的兩條線段長 （3）相等兩條切線垂直平分
（ⅱ）圖形表示
（ⅲ）數學表示式
11.平行射影的性質
（1）直線或線段的平行射影仍是直線或線段；
（2）平行直線的平行射影是平行或重合的直線；
（3）平行於射影面的線段，它的射影與這條線段平行且相等.
12.平面與圓錐曲線的截線
在空間中，取直線為軸，直線與相交於點，夾角為，圍繞旋轉得到以為頂點，為母線的圓錐面，任取平面，若它與軸的交角為（當與平行時，記）則：
（1），平面與圓錐的交線為
（2），平面與圓錐的交線為
（3），平面與圓錐的交線為
橢圓、雙曲線、拋物線都可以看成平面截圓錐面所得的截線，其本質是統一的，只是由於平面與圓錐軸線交角的不同而產生這三種曲線的差異，因而這三種曲線可統一為「到定點和定直線的距離之比是乙個常數的動點的軌跡」，當，，時，分別表示橢圓、拋物線和雙曲線.
答案：（1）橢圓（2）拋物線（3）雙曲線
基礎自測
1.如圖，銳角三角形是一塊鋼板的餘料，邊，邊
上的高，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊在
上，其餘兩個頂點分別在，上，則這個正方形零件的邊長為
a.6cm b.8cm c.10cm d.12cm
解：設正方形為加工成的正方形零件，邊在上，頂點分別在，上，的高與相交於點，設正方形的邊長為.
∵，∴∽. ∴，即，解得.
答案：選b
2.四邊形內接於圓，與是對角，則，，，的度數比可能是
abcd.
解：由圓的內接四邊形對角互補可知c符號條件.
答案：選c
3.如圖，過圓內接四邊形的頂點引切線，為圓的直徑，
若，則abc. d.
解：鏈結，易知.由弦切角定理可得，所以.
答案：選b
4.（2011廣東）如圖，過圓外一點分別作圓的切線和割線交圓於，
且，是圓上一點使得，，則
解：∵為切線，∴.又∵，∴∽，，
，.答案：填
5.如圖，四邊形是圓的內接四邊形，延長和相交
於點.若，，則的值為
解：由圓的切割線定理得，即，得.
又∵四邊形是圓的內接四邊形，∴.又，∴∽，∴.
答案：填
題型示例
a.平行線分線段成比例定理的應用
例1 如圖所示，平行四邊形中，與的中點分別為，
且，與對角線分別相交於.
求證：.
變式 （1）如圖所示，在中，是的中點，是的中點，
交於，求證：.
（2）在中，為的平分線，求證：.
（3）如圖所示，在中，的外角平分線交的延長線
於點，求證：.
b.射影定理的應用
例如圖所示，已知在邊長為1的正方形的一邊上取一點，
使，過的中點作於.
（1）求證：；（2）求的值.
解：（1）證明：鏈結，，在正方形中，，.
∵，為的中點，∴. ∴≌.
∴，.又，∴，.
又∵，∴∽.
∴，. ∴.
又，∴≌. ∴.
（2）由（1）知是直角三角形，是斜邊上的高，由射影定理可得，，於是.
由（1）知，於是.
變式 （2012北京）如圖，，於點，以為
直徑的圓與交於點.則
a. b.
c. d.
幾何證明選講
一 考試說明要求 二 應知應會知識和方法 1 如圖所示，圓o上的一點c在直徑ab上的射影為d，cd 4，bd 8，求圓o的直徑 解 10 說明本題所用的知識點為 圓周角定理 射影定理 2 等邊 內接於 且de bc，已知於點h，bc 4，ah 求 的邊長 解設等邊的邊長為x，則它的高為，因為de b...
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3年高考2年模擬 第十二章系列4第一節4 1幾何證明選講 第一部分三年高考薈萃 2012年高考數學幾何證明選講 一 填空題選擇題 1 2012年高考 天津文 如圖,已知和是圓的兩條弦,過點作圓的切線與的延長線相交於.過點作的平行線與圓交於點,與相交於點,則線段的長為 2 2012年高考 陝西文 如圖...
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測試40 幾何證明選講 一 選擇題 1 矩形abcd中，摺疊矩形一邊ad，使點d落在bc邊的點f處，已知摺痕ae cm，且ce cf 3 4，則矩形abcd的周長為 a 36cm b cm c 72cm d cm 2 o上有兩點a，b，aob是小於平角的角，將 aob繞著圓心o旋轉，當點b旋轉到a時...