導數習題題型分類精選題型五
利用導數證明不等式（學生用）
不等式的證明問題是中學數學教學的乙個難點,傳統證明不等式的方法技巧性強,多數學生不易想到,並且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導數,這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,並且在近年高考題中使用導數證明不等式也時有出現,但現行教材對這一問題沒有展開研究,使得學生對這一簡便方法並不了解.利用導數證明不等式思路清晰,方法簡捷,操作性強,易被學生掌握。
下面介紹利用單調性、極值、最值證明不等式的基本思路，並通過構造輔助函式，證明一些簡單的不等式。
通過作輔助函式並對輔助函式求導來證明不等的的方法對相當廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步驟是：
1.作輔助函式ｆ（x）=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)歸結為：ｆ（x）≧0(a≦x≦b),這等價於ｆ(x)在［a,b］上的最小值大於等於0.
2.對ｆ（x）求導，確定f＇(x)在所考慮的區間上的符號，從而確定ｆ(x)的增減性、極值、最值等性質（主要是單調性），如象例３f＇(x)的符號直接確定不了，這時一般需計算ｆ＇＇（x）,直到符號能夠確定為止．
注意：作輔助函式ｆ(x)不同，確定f＇(x)符號難易程度可能不同，所以作輔助函式要不拘一格，可對原題作適當變更．不同輔助函式構造一般**對原不等式的不同同解變形．
一般來說:輔助函式構造方法主要有下面兩種:
(1) 由欲證形式構造「形似」函式。例如：構造出
(2) 對含兩個變數的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函式四則運算的形式，再將其中乙個變數改為x，移項使等式一端為0，則另一端即為所求作的輔助函式f（x）
例如：兩邊可取對數，變為求證：
令一．構造形似函式型
1．對證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構造形如ｆ（x）=f(x)-g(x)的函式型並通過一階求導達到證明目的的不等式。
例1．求證下列不等式
（1）（相減）
（2）（相除兩邊同除以x得）
（3） （4）已知：，求證；（換元：設）
（5）已知函式，，證明：
鞏固練習：
1.證明時，不等式
2.，證明：
3.時，求證：
贊同綜合應用
4.例：（理做）設a≥0，f (x)=x－1－ln2 x＋2a ln x（x>0）.
（ⅰ）令f（x）＝ xf＇（x），討論f（x）在（0.＋∞）內的單調性並求極值；
（ⅱ）求證：當x>1時，恒有x>ln2x－2a ln x＋1.
例2.（08全國卷22）（本小題滿分14分）已知函式f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,
(i)求函式f(x)的最大值；
(ii)設0解：
、（2009全國卷ⅱ理）(本小題滿分12分)設函式有兩個極值點，且
（i）求的取值範圍，並討論的單調性；
ii）證明：
例：（1）已知：，求證；
（2）已知：，求證：。
解：高考新動態
(22) (2012山東理科22題本小題滿分13分)
已知函式為常數，e=2.71828…是自然對數的底數)，曲線在點處的切線與x軸平行.
(ⅰ)求k的值；
(ⅱ)求的單調區間；
(ⅲ)設，其中為的導函式.證明：對任意.[**:
解： 2012天津理科（21）（本小題滿分14分）
已知函式．
(ⅰ) 求函式f(x)的單調區間和極值；
(ⅱ)已知函式y=g(x)的圖象與函式y=f(x)的圖象關於直線x=1對稱．證明當x>1時，f(x)>g(x)；
(ⅲ)如果且證明．
解：（ⅰ）
（ⅱ）證明：
（ⅲ)證明：（1）
導數習題題型分類精選題型五
利用導數證明不等式（教師用）
不等式的證明問題是中學數學教學的乙個難點,傳統證明不等式的方法技巧性強,多數學生不易想到,並且各類不等式的證明沒有通性通法.隨著新教材中引入導數,這為我們處理不等式的證明問題又提供了一條新的途徑,並且在近年高考題中使用導數證明不等式也時有出現,但現行教材對這一問題沒有展開研究,使得學生對這一簡便方法並不了解.利用導數證明不等式思路清晰,方法簡捷,操作性強,易被學生掌握。
下面介紹利用單調性、極值、最值證明不等式的基本思路，並通過構造輔助函式，證明一些簡單的不等式。
（一）．通過作輔助函式並對輔助函式求導來證明不等的的方法對相當廣泛的一類不等式是適用的。用此方法證明f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的一般步驟是：
1.作輔助函式ｆ（x）=f(x)-g(x),原不等式f(x)≧g(x)(a≦x≦b)歸結為：ｆ（x）≧0(a≦x≦b),這等價於ｆ(x)在［a,b］上的最小值大於等於0.
2.對ｆ（x）求導，確定f＇(x)在所考慮的區間上的符號，從而確定ｆ(x)的增減性、極值、最值等性質（主要是單調性），如象例３f＇(x)的符號直接確定不了，這時一般需計算ｆ＇＇（x）,直到符號能夠確定為止．
注意：作輔助函式ｆ(x)不同，確定f＇(x)符號難易程度可能不同，所以作輔助函式要不拘一格，可對原題作適當變更（或換元）．不同輔助函式構造一般**對原不等式的不同同解變形．
一般來說:輔助函式構造方法主要有下面兩種:
(3) 由欲證形式構造「形似」函式；構造出
(4) 對含兩個變數的不等式，由欲證形式做恒等變形，變成初等函式四則運算的形式，再將其中乙個變數改為x，移項使等式一端為0，則另一端即為所求作的輔助函式f（x）
例如：兩邊可取對數，變為求證：
令一．構造形似函式型
1．對證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構造形如ｆ（x）=f(x)-g(x)的函式型並通過一階求導達到證明目的的不等式。
例1．求證下列不等式
（1）（相減）
（2）（相除）
（3） （4）已知：，求證；（換元：設）
（5）已知函式，，證明：
解：證：設（1
∴為上 ∴ 恆成立
∴ 設∴在上 ∴ 恆成立
（2）（相除）
解（2）原式令
∴ ∴
∴在上是減函式。
又∴ （3）
解：（3）令
∴在上是增函式。
∴（4）已知：，求證；（換元：設）
解：（4）令，由x>0，∴t>1，（巧點：巧在換元，降低了做題難度）
原不等式等價於
令f(t)=t-1-lnt，
∵當時，有，∴函式f(t)在遞增
∴f(t)>f(1) 即t-1 另令，則有
∴g(t)在上遞增，∴g(t)>g(1)=0
∴綜上得例5已知函式，，證明：
證：函式的定義域為．＝－1＝－
當x∈（－1，0）時，＞0，當x∈（0，＋∞）時，＜0，
因此，當時，≤，即≤0
令則＝．
∴ 當x∈（－1，0）時，＜0，當x∈（0，＋∞）時，＞0．
∴ 當時，≥，即≥0，
∴．綜上可知，當時，有．
鞏固練習：
1.證明時，不等式
2.，證明：
3.時，求證：
2．對證明形如f(x)≧g(x)(a≦x≦b)的不等式構造形如ｆ（x）=f(x)-g(x)的函式，並通過一階或二階、三階求導達到證明目的的不等式。
例3使用了二階求導的方法判出函式的導數的導函式單調性後再去證明不等式，也凸顯判斷函式零點的作用。
例3.當時,證明:
證:令,則,
而 當時,
因為在同一座標系中畫出，的影象可知，
∴在上遞減,即,從而在(0,1)遞減
∴f(x)ex:證明:當時,
解:注意x=1時,原不等式」=」成立,而
設：f(x)=,
則f(1)=0 且，
∴f(x)=,在上是增函式。
從而根據f(1)=0推出
與同號，
∴方法二解：欲證當時,
即證時,
設， 即證時， >0
注意到時，
則時，是減函式
是增函式
是減函式
時是減函式
是增函式
時是增函式
時，二．作輔助函式型：對含有兩個變數的不等式，可構造出以其中乙個變數為為自變數的函式，再採用上述方法證明不等式。
使使用用了使用
例2.已知：a、b為實數，且b＞a＞e,其中e為自然對數的底，求證：ab＞ba.
證法一：∵b＞a＞e,
∴要證ab＞ba,只要證blna＞alnb,
設f(x)=xlna－alnx(x＞e),則
f′(x)=lna－.∵x＞a＞e,∴lna＞1,且＜1,∴f′(x)＞0.
函式f(x)=xlna－alnx在(e,+∞)上是增函式，
f(b)＞f(a)=alna－alna=0,即blna－alnb＞0,∴blna＞alnb,∴ab＞ba.
證法二：要證ab＞ba,只要證blna＞alnb(e＜a＜b,
即證,設f(x)= (x＞e)，
則f′(x)= ＜0,∴函式f(x)在(e,+∞)上是減函式，
又∵e＜a＜b,
∴f(a)＞f(b),即,∴ab＞ba.
ex:若,證明:
解：要證：,
需證：,
設 ，則需證
因為∵時，。
∴在上在上是增函式
∴∴在上成立
利用導數證明不等式
函式與導數 三 核心考點 五 利用導數證明不等式 一 函式類不等式證明 函式類不等式證明的通法可概括為 證明不等式 的問題轉化為證明 進而構造輔助函式，然後利用導數證明函式的單調性或證明函式的最小值 最大值 大於或等於零 小於或等於零 例1 已知函式 1 討論函式的單調性 2 設，證明 當時，3 若...
利用導數證明不等式
在 上為增函式，f x 對 恆成立，即 對 恆成立 記則1 x e x，當 時，當 時，知 在 1 上為增函式,在 1,上為減函式,g x 在x 1時,取得最大值，即g x max g 1 1 e,a 1 e,即a的取值範圍是 1 e,2 記f x f x 1 x 則f x ex 1 x,令h x ...
導數的應用 利用導數證明不等式
g x 在x 1時,取得最大值，即g x max g 1 1 e,a 1 e,即a的取值範圍是 1 e,2 記f x f x 1 x 則f x ex 1 x,令h x f x ex 1 x,則h x ex 1 當x 0時,h x 0,h x 在 0,上為增函式,又h x 在x 0處連續,h x h ...