專題五利用導數證明不等式
一、用函式的單調性證明不等式：我們知道函式在某個區間上的導數值大於（或小於）0時，則該函式在該區間上單調遞增（或遞減）．因而在證明不等式時，根據不等式的特點，有時可以建構函式，用導數證明該函式的單調性，然後再用函式單調性達到證明不等式的目的．即把證明不等式轉化為證明函式的單調性．
一般方法：構造輔助函式→判定單調性→得所證不等式．
基本依據：若在內單增；
若在內單減．
具體有如下幾種形式：
1．由欲證形式直接構造構造「形似」函式，然後用導數證明該函式的增減性；再利用函式在它的同一單
調遞增（減）區間，自變數越大，函式值越大（小），來證明不等式成立．
【例1】當時，求證；．
證明：設，則．
∵，∴，故在上遞減，
∴時，，即成立．
【針對練習1】求證：當時，．
證明：設，，則．
當時，，從而在上為增函式，
∴，∴．
2．由欲證形式做恒等變形作差或作商，變成初等函式四則運算的形式，若變數沒有，將其中乙個常數
改為），則另一端即為所求作的輔助函式，然後利用導數證明該函式的單調性，達到證明不等
式的目的．
【例2】求證：當時，．
證明：令，補充定義，則
，∴在上單調遞增，∴在上，
∴．點評：一般的，用導數證明不等式時要注意所構造的函式在區間端點處是否連續，即是否要補充函式在端
點處的定義；另外要注意用到乙個結論：設函式在區間上連續，在區間內可
導，且，又，則時，．
【針對練習2】求證：當時，．
證明：令，補充定義，則，
∴在上單調遞減，∴在上，
∴．【例3】當時，證明：．
證明：令，則，
而，，當時，，
∴在上遞減，即，從而在遞減，
∴，．【針對練習3】求證：當時，．
證明：設，則，．
當時，，∴在上單調遞增，，
∴在上單調遞增，，∴．
【例4】求證：當時，．
證明：若令，證明過程比較麻煩，我們可令，
則，∵，∴，則，∴，即在上單減，
故，即．
【例5】求證：當時，．（常數不等式一般化為函式不等式證明）
分析：，可令，證單減；
或者，證，可令，
證．證法一：令，則，∴在單減，
又，∴，即．
證法二：令，則，
∵，，∴在單增，
∴，，特別地令，得，即．
【針對練習4】證明：當時，．
證明：設，則．
由於，∴，故，
∴在內，∴在單減，即，
從而．3．通過換元後作差建構函式證明不等式．
【例6】（07山東）證明：對任意的正整數，不等式都成立．
分析：本題是山東卷的第（2）問，從所證結構出發，只需令，則問題轉化為：當時，恒有
成立，現建構函式，求導即可達到證明．
證明：令，則在上恆正，
∴函式在上單調遞增，∴時，恒有，
即，∴．
對任意正整數，取，則有．
【針對練習5】若，求證：．
證明：令，∵，∴，．
則原不等式，令，∴．
∵，∴，∴在上為增函式．
，∴．令，∴，
∵，∴，∴在上為增函式．
，∴，∴．
點評：（1）代換作用：此題設代換，實際上就是把原來取不到的值代換為可取
到的，把原來要研究函式在處的值，等價為研究函式在處的值；
（2）若令，則，即為本題的特例，想一想如何證？
4．利用導數求出函式的最值（或值域）後，再證明不等式．
【例7】求證：當，時，．
證明：要證原式，即需證：，對時成立．
設，則，
∵，∴，∴在上是增函式，
∴的最小值為，．
∴，，時，．
【針對練習6】當，時，證明：．
證明：設，則．令，得．
當時，，當時，，
即在上為增函式，在上為減函式．
故函式在上的最大值為，
即，∴，即．
【例8】（07安徽）已知定義在正實數集上的函式，，其中，
且，求證：．
證明：設，則，
∵，，∴當時，，
故在上為減函式，在上為增函式，
於是函式在上的最小值是，
故當時，有，即．
【針對練習7】已知函式，求證：當時，恒有．
分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函式證明，左邊建構函式，從其
導數入手即可證明．
證明：．
∴當時，，即在上為增函式；
當時，，即在上為減函式．
於是函式在上的最大值為，
因此，當時，，即，∴．
令，則．
當時，，當時，，
即在上為減函式，在上為增函式．
故函式在上的最小值為，
∴當時，，即，∴．
綜上可知，當時，有．
【例9】已知，，時，求證： ．
證明：∵，時，，∴在上遞減，
故在上的最大值為，最小值為，
即在上的值域為．
∴，時， ， ，
即有．【針對練習8】證明：若，對於中的任意都有．
證明：，則，
令，則，即，解得．
當時，，當時，，
∴在遞減；在遞增．
∴的最小值為，
又，，∴的最大值為1，即時，，
故．二、用中值定理證明不等式：
1．利用拉格朗日中值定理：
若滿足以下條件：（1）在閉區間內連續；（2）在開區間上可導，則
在內至少存在一點，使得．
一般方法：構造輔助函式據拉格朗日中值定理得等式由的範圍確定範圍得所證不等式．
【例1】證明不等式： ．
分析：把不等式可以改寫成，可見中項是函式在區間兩端值之
差，而是該區間的長度，於是可對在上使用拉格朗日中值定理．
證明：設，則．在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件，
故在上存在，使得，即．
又因，於是有，即．
【針對練習1】設，證明：．
證明：設，則．在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件，
故在上存在，使得，即．
∵，∴，又因，於是有．
【針對練習2】設，證明：．
證明：令，則．在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件，
故在上存在，使得，
即，．再令，，
∴單調遞減，，從而，
∴原不等式成立.
說明：也可令，，證．
【例2】若，，則．
分析：∵，則原不等式等價於．
令，則我們容易聯想到中值定理．
證明：設，則．在上滿足中值定理的條件，
故，使得，即．
∵，，∴，
∴．【針對練習3】（13湖北理）設，為正有理數．證明：．
證明：，，為正有理數，則．
在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件，
故在上存在，使得，
即，∴．
又∵，為正有理數，∴，∴．
同理可證，∴．
【例3】證明：當時，．
分析：注意到，可建構函式的改變量，則相應自變數的改變量為，所
證不等式等價於，可考慮用拉格朗日中值定理，導數入手即可證明．
證明：令，則．在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件．
故在上存在，使得，
即，∴．
由於，∴，即．
【針對練習4】若，證明：．
證明：將不等式變形為，令，則．
在區間上滿足拉格朗日中值定理的條件．
故在上存在，使得，即，
∴．由於的範圍不易判斷，於是求．
∴在上單調遞減，，即，
∴．小結：拉格朗日中值定理本身是以等式的形式存在的，利用它證明不等式時，根據在內的取值可
以估計的取值範圍，從而得到要證的不等式．在具體操作時，若要證的不等式不含函式改變
量和自變數，通過對不等式變形，湊出和，關鍵是準確選擇函
數，以及區間．同時在確定時，可利用導數有關知識，如求二階導數．
2．利用積分中值定理：
若在閉區間內連續，則在內至少存在一點，使得．
一般方法：構造輔助函式據積分中值定理得等式由的範圍確定範圍得所證不等式．
【例4】（13湖北理）設，為正有理數．證明：．
證明：，，為正有理數，則在區間上滿足積分中值定理的條件，
故在上存在，使得，
即．又∵，為正有理數，∴，∴．
同理可證，∴．
【針對練習5】積分中值定理證明不等式： ．
分析：，可見可用積分中值定理建構函式，來處理．
證明：設，則在區間上滿足積分中值定理的條件，
故在上存在，使得，即．
又因，於是有，即．
三、用凹凸性證明不等式：
我們知道，在內，若，則函式的圖形下凸，即位於區間中點
處弦的縱座標不小於曲線的縱座標，即有：，其中，
內任意兩點．等號僅在時成立．
在內，若，則函式的圖形上凸，即位於區間中點處弦
的縱座標不小於曲線的縱座標，即有：，其中，內任意兩
點．等號僅在時成立．
一般方法：構造輔助函式→判定凹凸性→得所證不等式．
【例1】設，，證明不等式，且等號僅在時成立．
分析：將不等式兩邊同時除以2，變形為為，便可看出，左邊是函式
在兩點，處的值的平均值，而右邊是它在中點處的函式值，這時只需
即可得證．
證明：設，即，，故函式在是下凸的．
由下凸函式性質，，，得
，即，等號僅在時成立．
【針對練習1】證明：．
證明：令，則，，
∴函式在是凹的，據凹凸性的定義可知，對任意的，，有，即．
第二章導數與微分
一 教學目的 1.理解導數和微分的概念及其幾何意義，會用導數描述一些簡單的實際問題.2.熟練掌握導數和微分的四則運算法則和基本初等函式的求導公式.3.熟練掌握復合函式 隱函式以及由引數方程所確定的函式的一階導數的求法.4.了解高階導數的概念，熟練掌握初等函式的二階導數的求法.5.了解可導 可微 連續...
第二章導數 例題
1.f x 在x0處二階可導，求.2.設f 0 0,f 0 1,f 0 2,求.3.設，求f 0 f 0 4.設，試討論f x 在x 0的連續可導性.5.設f x 在x 0處二階可導，f 0 0，證明g x 在x 0處連續.6.設f x 在 連續，a為常數，試討論的連續性.7.設f x 在 上有定義...
第二章導數與微分
2.1導數的求法 一基本概念 一點的導數 左導數 右導數 單側導數 導函式 導數 可微 對導數的理解 導數就是函式在該點的變化率，導數的絕對值越大，函式值變化的越快，導數的絕對值越小，變化越慢，當導數為零時，曲線在該點的切線平行於軸 函式在點處的導數的幾何意義是曲線上的點的切線的斜率，即，是切線與軸...