【考試要求】
1．理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關係，會用定義求函式在一點處的導數．
2．會求曲線上一點處的切線方程與法線方程．
3．熟練掌握導數的基本公式、四則運算法則以及復合函式的求導方法．
4．掌握隱函式的求導法、對數求導法以及由引數方程所確定的函式的求導方法，會求分段函式的導數．
5．理解高階導數的概念，會求簡單函式的階導數．
6．理解函式的微分概念，掌握微分法則，了解可微與可導的關係，會求函式的一階微分．
【考試內容】
一、導數
（一）導數的相關概念
1．函式在一點處的導數的定義
設函式在點的某個鄰域內有定義，當自變數在處取得增量（點仍在該鄰域內）時，相應的函式取得增量；如果與之比當時的極限存在，則稱函式在點處可導，並稱這個極限為函式在點處的導數，記為，即
，也可記作，或．
說明：導數的定義式可取不同的形式，常見的有和；式中的即自變數的增量．
2．導函式
上述定義是函式在一點處可導．如果函式在開區間內的每點處都可導，就稱函式在區間內可導．這時，對於任一，都對應著的乙個確定的導數值，這樣就構成了乙個新的函式，這個函式就叫做原來函式的導函式，記作，，或．顯然，函式在點處的導數就是導函式在點處的函式值，即．
3．單側導數（即左右導數）
根據函式在點處的導數的定義，導數是乙個極限，而極限存在的充分必要條件是左右極限都存在並且相等，因此存在（即在點處可導）的充分必要條件是左右極限及都存在且相等．這兩個極限分別稱為函式在點處的左導數和右導數，記作和，即，．現在可以說，函式在點處可導的充分必要條件是左導數和右導數都存在並且相等．
說明：如果函式在開區間內可導，且及都存在，就說在閉區間上可導．
4．導數的幾何意義
函式在點處的導數在幾何上表示曲線在點處的切線的斜率，即，其中是切線的傾角．如果在點處的導數為無窮大，這時曲線的割線以垂直於軸的直線為極限位置，即曲線在點處具有垂直於軸的切線．
根據導數的幾何意義及直線的點斜式方程，可得曲線在點處的切線方程和法線方程分別為：
切線方程：；
法線方程：．
5．函式可導性與連續性的關係
如果函式在點處可導，則在點處必連續，但反之不一定成立，即函式在點處連續，它在該點不一定可導．
（二）基本求導法則與導數公式
1．常數和基本初等函式的導數公式
（12）；
（34）；
（56）；
（78）；
（910）；
（1112）；
（13）； （14）；
（1516）．
2．函式的和、差、積、商的求導法則
設函式，都可導，則
（1）；
（2）（是常數）；
（3）；
（4）（）．
3．復合函式的求導法則
設，而且及都可導，則復合函式的導數為或．
（三）高階導數
1．定義
一般的，函式的導數仍然是的函式．我們把的導數叫做函式的二階導數，記作或，即或．相應地，把的導數叫做函式的一階導數．類似地，二階導數的導數叫做三階導數，三階導數的導數叫做四階導數，，一般的，階導數的導數叫做階導數，分別記作
，，， 或
函式具有階導數，也常說成函式為階可導．如果函式在點處具有階導數，那麼在點的某一鄰域內必定具有一切低於階的導數．二階及二階以上的導數統稱為高階導數．
（四）隱函式的導數
函式的對應法則由方程所確定，即如果方程確定了乙個函式關係，則稱是由方程所確定的隱函式形式．隱函式的求導方法主要有以下兩種：
1．方程兩邊對求導，求導時要把看作中間變數．
例如：求由方程所確定的隱函式的導數．
解：方程兩邊分別對求導， ，
得 ， 從而 ．
2．一元隱函式存在定理．
例如：求由方程所確定的隱函式的導數．
解：設，
則 ．
（五）由引數方程所確定的函式的導數
一般地，若引數方程確定是的函式，則稱此函式關係所表達的函式為由該引數方程所確定的函式，其導數為，上式也可寫成．
其二階導函式公式為．
（六）冪指函式的導數
一般地，對於形如（，）的函式，通常稱為冪指函式．對於冪指函式的導數，通常有以下兩種方法：
1．復合函式求導法
將冪指函式利用指數函式和對數函式的性質化為的形式，然後利用復合函式求導法進行求導，最後再把結果中的恢復為的形式．
例如：求冪指函式的導數．
解：因，故．
2．對數求導法
對原函式兩邊取自然對數，然後看成隱函式來求對的導數．
例如：求冪指函式的導數．
解：對冪指函式兩邊取對數，得，該式兩邊對求導，其中是的函式，得，故．
二、函式的微分
1．定義：可導函式在點處的微分為；可導函式在任意一點處的微分為．
2．可導與可微的關係
函式在點處可微的充分必要條件是在點處可導，即可微必可導，可導必可微．
3．基本初等函式的微分公式
（12）；
（34）；
（56）；
（78）；
（910）；
（1112）；
（13）； （14）；
（1516）．
4．函式和、差、積、商的微分法則
設函式，都可導，則
（1）；
（2）（是常數）；
（3）；
（4）（）．
5．復合函式的微分法則
設及都可導，則復合函式的微分為．由於，所以復合函式的微分公式也可寫成或．
由此可見，無論是自變數還是中間變數，微分形式保持不變．這一性質稱為微分形式的不變性．該性質表明，當變換自變數時，微分形式並不改變．
【典型例題】
【例2-1】以下各題中均假定存在，指出表示什麼．
1．．解：根據導數的定義式，因時，，故，即．
2．設，其中，且存在．
解：因，且存在，故
，即．3．．
解：根據導數的定義式，因時，，故
，即．【例2-2】分段函式在分界點處的導數問題．
1．討論函式在處的可導性．
解：根據導數的定義式，，，
故在處的左導數，右導數不存在，所以在處不可導．
2．討論函式在處的可導性．
解：因，
故函式在處可導．
3．已知函式在處連續且可導，求常數和的值．
解：由連續性，因，，
，從而①
再由可導性，，
，而由①可得，代入，得，再由可得，代入①式得．
【例2-3】已知，求．
解：當時，，當時，，當時的導數需要用導數的定義來求．，，
，故，從而．
【例2-4】求下列函式的導數．
1．．解：
2．．解：
3．．解：
4．．解：
．【例2-5】求下列冪指函式的導數．
1． （）．
解：說明：本題也可採用對數求導法，即：對冪指函式兩邊取對數，得，該式兩邊對求導，其中是的函式，得
，故 ．
2． （）．
解：．說明：本題也可採用對數求導法，即：對冪指函式兩邊取對數，得，該式兩邊對求導，其中是的函式，得
，故 ．
【例2-6】用對數求導法求下列函式的導數．
1． （）．
解：等式兩邊取對數，得，兩邊對求導，注意是的函式，得
，整理得，
則 ．
2． ．
解：等式兩邊取對數，得，
即 ，
也即 ，
兩邊對求導，注意是的函式，得 ，
故 ．
【例2-7】求下列抽象函式的導數．
1．已知函式可導，求函式的導數．
解：2．設函式和可導，且，試求函式的導數．
解：【例2-8】求由下列方程所確定的隱函式的導數．
1．．解：方程兩邊分別對求導，得，
整理得，故．
說明：此題也可用隱函式存在定理來求解，即：設，
則 ．
2．．解：方程兩邊分別對求導，得，
整理的，故．
說明：此題也可用隱函式存在定理來求解，即：設，
則 ．
【例2-9】求由下列引數方程所確定的函式的導數．
1． ．
解： ．
2． ．
解： ．
【例2-10】求下列函式的微分．
1．．解：因，
故．2．．
解：因，
故．3．．
解：因，
故．4．．
解：因，
故．【例2-11】求曲線在點處的切線方程和法線方程．
解：，，故曲線在點處的切線方程為，即；法線方程為即．
【例2-12】求曲線在點處的切線方程和法線方程．
解：這是由隱函式所確定的曲線，按隱函式求導數，有，即；由導數的幾何意義，曲線在點處的斜率為，故曲線在點處的切線方程為，即；法線方程為，即．
【例2-13】求橢圓在點處的切線方程和法線方程．
解：將代入橢圓方程，得曲線上對應的點為，又，切線斜率為，故所求切線方程為，即；所求法線方程為，即．
【歷年真題】
一、選擇題
1．（2023年，1分）已知，則等於（ ）
（abcd）
解：根據導數的定義，
，選（d）．
2．（2023年，1分）曲線在點處的法線方程為（ ）
（ab）
（cd）
解：根據導數的幾何意義，切線的斜率，故法線方程為
，即，選（b）．
3．（2023年，1分）設函式在點處不連續，則（ ）
（a）存在b）不存在
（c）必存在d）在點處可微
解：根據「可導必連續」，則「不連續一定不可導」，選項（b）正確．
4．（2023年，1分）若，則（ ）
（a） （bcd）
解： ，選項（b）正確．
5．（2023年，3分）函式，在點處（ ）
（a）可導 （b）間斷 （c）連續不可導d）連續可導
解：由的圖象可知，在點處連續但不可導，選項（c）正確．
第二章導數與微分
一 教學目的 1.理解導數和微分的概念及其幾何意義，會用導數描述一些簡單的實際問題.2.熟練掌握導數和微分的四則運算法則和基本初等函式的求導公式.3.熟練掌握復合函式 隱函式以及由引數方程所確定的函式的一階導數的求法.4.了解高階導數的概念，熟練掌握初等函式的二階導數的求法.5.了解可導 可微 連續...
第二章導數與微分
2.1導數的求法 一基本概念 一點的導數 左導數 右導數 單側導數 導函式 導數 可微 對導數的理解 導數就是函式在該點的變化率，導數的絕對值越大，函式值變化的越快，導數的絕對值越小，變化越慢，當導數為零時，曲線在該點的切線平行於軸 函式在點處的導數的幾何意義是曲線上的點的切線的斜率，即，是切線與軸...
第二章 導數與微分學習指導 李茂
第2章導數與微分 2.1 學習目標 1 讓學生掌握導數概念及實際意義，2 掌握微分的概念，熟練掌握求導法則，3 會應用導數或微分解決實際問題。2.2 知識脈絡 2.3 重點和難點 1 重點 導數的概念及幾何意義 乙個函式在某點可導與連續的關係,可導與可微的關係 2 難點 求導的計算 復合函式 隱函式...