第2章導數與微分
2.1 學習目標
（1）讓學生掌握導數概念及實際意義，
（2）掌握微分的概念，熟練掌握求導法則，
（3）會應用導數或微分解決實際問題。
2.2 知識脈絡
2.3 重點和難點
（1）重點：導數的概念及幾何意義；
乙個函式在某點可導與連續的關係,可導與可微的關係
（2）難點：求導的計算；復合函式、隱函式求導數的計算。
2.4 疑難問題與分析
2.4.1切線的定義
切線用極限來定義顯得抽象一些，可用畫切線的實際過程來演示：直線繞定點旋轉，轉到一定位置時，那就是切線位置。這樣形象描述，學生更好理解。
2.4.2導數的定義
導數是一種瞬時性的變化率，學生對「瞬時變率」感到抽象，可用物理學中的瞬時速度作舉例，「瞬時變率」的實際解釋是：瞬時不是沒有時間或過程，而是函式在給定點附近（很短的乙個時間段或過程）的變化率。
2.4.3復合函式、隱函式及抽象函式符號的求導
關於復合函式求導，其一是鏈式法則容易掌握，但許多學生掌握不徹底，經常會在某個鏈上出錯，把復合函式誤作基本型函式，特別是復合函式越簡單越容易犯錯，要收正這樣的錯誤，要反覆強調，須持續一段時間。其二是當復合函式與四則運算相混合時，一部分學生會產生不知所措的感覺，所以要有意編排這樣一些習題，最好能讓學生在黑板上先做，盡量多暴露些問題，最後做詳細的分析，這樣會使學生正確運用各種求導法則。
隱函式求導實質是復合函式求導，但因函式隱式存在，比一般復合函式顯得抽象一些，對這一情形，可給隱函式假設幾個具體的例子，使學生理解起來更容易更清晰。
對於抽象函式符號的求導，可結合一些具體例項，讓學生理解抽象的函式符號所代表的真實含義。
2.5 典型例題解析
1、如果函式y=f(x)在x0處可導，那麼下列極限是否存在？等於什麼？
（12）.
解：（1）令x-x0=x，那麼當時，，故
=，由於f(x)在x0處可導，
根據定義，上式右端的極限存在，且等於，
因此，原極限也存在，且等於。
（2）令-h=x，那麼當時，，故
===，
因此，原極限也存在，且等於.
說明 ：（1）函式在點處可導，是指時，有極限，如果不存在極限，就說函式在點處不可導，或說無導數;
（2）是自變數在處的改變量，，而是函式值的改變量，可以是零。
求函式在點處的導數的步驟：
（1） 求函式的增量;
（2） 求平均變化率=;
（3） 取極限，得導數.
2、求下列函式的導數
（1）； （2）； （3）；
解：（1）.
（2 （3） ；
3、判斷下列命題是否正確？為什麼？
（1）若在處可導，則在處必連續；
（2）若在處連續，則在處必可導；
（3）若在處不連續，則在處必不可導；
（4）若在處不可導，則在處必不連續。
解：（1）正確；此命題可由函式在一點可導定義得出。
（2）不正確。舉反例點連續但不可導。
（3）正確。此命題是可導一定連續的逆否命題。
（4）不正確。舉反例點不可導但連續。
4、問取何值時，才能使函式，在處連續且可導？
解：因為在連續,則有
；.即有.
又因為在是可導的,則有
；,即.
從而,.
5、計算題
（1）設，求；
（2）設，求；
（3）求函式的微分
解：(1)
(2(3)
2.6 同步習題及解答
2.6.1同步習題
a組1、求下列函式的導數
（1）； （2）； （3）；
（4）； （56）；
（789）.
2、求下列函式的二階導數
（12）.
3、求由下列方程所確定的隱函式的導數
（12）
4、求下列函式的微分
（12）；
（34）,
b組1、單選題
（1）在處
a.連續b.不連續c.可導d.可微
（2）下列函式中的導數等於
abcd..
（3）已知，則
abcd..
2、填空題
（1）函式上點處的切線方程為
（2）已知，則
（3）若可導，則的導數為
3、判斷下列命題是否正確？為什麼、
（1）若在處不可導，則曲線在點處必無切線；
（2）若曲線處處有切線，則函式必處處可導；
（3）若在處可導，則函式在處必可導；
（4）若在處可導，則在處必可導。
4、求下列函式的導數
（12）； （3）；
（4）； （5） （6）；
（78） （9）
5、求函式的二階導數
6、求由下列方程所確定的隱函式的導數
（12）.
7求由方程所確定的隱函式的二階導數
五、本章歷年專公升本試題精選
1、(2023年) 設可導，則=（ ）
a. b. c. d.
2、(2023年)設曲線在點m處的切線斜率為3,則點m的座標是
3、(2023年)設函式，則
4、(2023年) 計算極限
2.6.2 同步習題解答
a組1、（1）
解：；（2）；
解：（3）解：；
（4）解：；
（5）解：；
（6）解：；
（7）解：；
（8）解：；
（9）解：.
2、（1）
解： ；
（2）解：
.3、（1）；
解：等式兩邊關於求導：
即（2）
解：等式兩邊關於求導：
即。4、（1）
解：；（2）
解：；（3）
解：；（4）
解： b組
1、 解：(1)b；(2)d；(3)d
2、 解： (1),
所以，切線的方程為：
(2)因為，即
(3)3、 解：(1)不一定。曲線在處不可導，曲線在點可能存在垂直於軸的切線.
(2) 不一定。原因同上.
(3) 不一定。反例:,而是不可導的.
(4) 不一定。反例:是可導的,而.
4、（1）
解：；（2）
解：；（3）
解：,；
（4）解：；
（5）解：；（6）
解：,t；
（7）解
（8）解：；（9）
解：.5、解：，.
6、（1）
解：等式兩邊關於求導：,
即（2）
解：等式兩邊關於求導：
即.7、解：等式兩邊關於求導：,①
1 兩邊再關於求導：
,即.五、本章歷年專公升本試題精選
解 1：解：,故選d.
2： 解：，由，從而，故填.
3: 解：,
4：解：原式=
===0.
第二章導數與微分
一 教學目的 1.理解導數和微分的概念及其幾何意義，會用導數描述一些簡單的實際問題.2.熟練掌握導數和微分的四則運算法則和基本初等函式的求導公式.3.熟練掌握復合函式 隱函式以及由引數方程所確定的函式的一階導數的求法.4.了解高階導數的概念，熟練掌握初等函式的二階導數的求法.5.了解可導 可微 連續...
第二章導數與微分
2.1導數的求法 一基本概念 一點的導數 左導數 右導數 單側導數 導函式 導數 可微 對導數的理解 導數就是函式在該點的變化率，導數的絕對值越大，函式值變化的越快，導數的絕對值越小，變化越慢，當導數為零時，曲線在該點的切線平行於軸 函式在點處的導數的幾何意義是曲線上的點的切線的斜率，即，是切線與軸...
2第二章導數與微分
考試要求 1 理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關係，會用定義求函式在一點處的導數 2 會求曲線上一點處的切線方程與法線方程 3 熟練掌握導數的基本公式 四則運算法則以及復合函式的求導方法 4 掌握隱函式的求導法 對數求導法以及由引數方程所確定的函式的求導方法，會求分段函式的導數 5 ...