一、 導數
1. 導數的概念
定義設函式y=f(x)在點x0的某一鄰域內有定義,若自變數x在點x0處的改變量為△x(x0+△x仍在該鄰域內).函式y=f(x)相應地有改變量△y=
f(x0+△x)-f(x0),若果極限
存在,則稱此極限值為函式 y=f(x)在點x0處的導數,記作_______或________,f』(x0),即f』(x0
此時稱函式y=f(x)在點x0處可導.如果上述極限不存在,則稱函式 y=f(x)在點x0處不可導.
下面是兩種等價形式：
f』(x0
當x0 =0,有： f』(0
如果y=f(x)在開區間(a,b)內每一點都可導,則稱函式f(x)在開區間(a,b)內可導,由於對於(a,b)內每一點x,都對應乙個導數值f』(x),因此又稱此f』(x)為函式f(x)在(a,b)內的_____,簡稱為_____,記作____或__,___.
f(x)在點x0的導數f』(x0)可以看做是導數f』(x)在點x=x0處的函式值,即f』(x0)=_____.
注意： f』(x0)≠[f(x0)]』
如果 y=f(x)在點x0及其左側鄰域內有定義,當存在時,則稱該極值為f(x)在點x0處的______,記為____.同理,定義右導數____.
性質函式y=f(x)在點x0處可導<-->
左導數與右導數常用於判定分段函式在其分段點處的導數.
2. 導數的幾何意義
如果函式 y=f(x)在點x0處的導數f』(x0)存在,則在幾何上表明曲線y=f(x)在點
(x0, f(x0))處存在切線,且切線斜率為____.
可導函式與連續性的關係
函式 y=f(x)在點x0處可導,是函式 y=f(x)在點x0處連續的條件.
如u = u(x),v=v(x)都在x處可導,由導數的定義可以推得u±v在x處也可導,且
(u±v導數的和差運算公式).
3. 導數的運算
3.1 基本初等函式的導數公式
3.2 導數的四則運算法則
設u = u(x),v=v(x)都在x處可導,則
(cu)』=____(c為常數) (u±vuv
v≠0v≠0 ,c為常數)
3.3 反函式的求導法則
設函式x=(y)在某個區間內單調可導,且』(y)≠0,則其反函式 y=f(x)在其對應區間內也可導,且有f』(x)=_____.
3.4 復合函式的求導法則
設y = f(u),u = g(x)復合成 y =f[g(x)], 若u = g(x)在點x處可導,y = f(u)在相應點u = g(x)可導,則復合函式y =f[g(x)]在點x可導,且有鏈式法則
3.5 隱函式的求導法則
設y=f(x)是由方程f(x,y) = 0確定的.求y』只須直接由方程f(x,y) = 0關於x求導,將y看做是________,依復合函式鏈式法則求之.
3.6 由引數方程確定的函式的求導法則
設 y = y(x)是由所確定的.其中,為可導函式,且,則
3.7 對數求導法
對於冪函式 y = uv,或y由若干個函式連乘、除、開方所構成,通常可以先用____改變函式型別.
如y = uv,兩端取對數
化冪指函式為隱函式,如,兩端取對數：
化為隱函式,然後利用隱函式的求導法則求導.
3.8 高階導數
二階及二階以上的導數統稱為高階導數,對於求n階導數,需要注意從中找出規律,以便得到n階導數的
常見n階導數公式：
(正整數m4. 洛必達法則
4.1 未定型」」的極限
(1)設函式f(x)與f(x)滿足以下條件：
在點x0的某一鄰域內(點x0可除外)有定義,且,
;f』(x)與f』(x)在該鄰域內存在,且f』(x)≠0;
存在(或為∞),則(或為∞).
(2)設函式f(x)與f(x)滿足以下條件：
當|x|>n>0時, f(x)與f(x)有定義,且,;
當|x|>n>0時,f』(x)與f』(x)都存在,且f』(x)≠0;
存在(或為∞),則(或為∞).
4.2 未定型」」的極限
(1)設函式f(x)與f(x)滿足以下條件：
在點x0的某一鄰域內(點x0可除外)有定義,且,
;f』(x)與f』(x)在該鄰域內存在,且f』(x)≠0;
存在(或為∞),則(或為∞).
(2)設函式f(x)與f(x)滿足以下條件：
當|x|>n>0時, f(x)與f(x)有定義,且,;
當|x|>n>0時,f』(x)與f』(x)都存在,且f』(x)≠0;
存在(或為∞),則(或為∞).
4.3 可化為」」型或」」型的極限
(1) 若為「 0·∞ 」型極限,可以做或
的變形,前者化為」」型,後者化為」」型.
(2) 若為「 ∞∞ 」型極限,則根據情況對函式進行變形,
將其化為」」型或」」型.
5. 導數的應用
5.1求曲線的切線方程與法線方程
如果函式y=f(x)在點x0處可導, ,由導數的幾何意義可知,曲線y=f(x)在點(x0, f(x0))的切線方程為
如果f』(x0)≠0,此時曲線y=f(x)在點(x0, f(x0))處的法線方程為
如果f』(x0)=0,則_________即為曲線 y=f(x)在點(x0, f(x0))處的水平切線.
5.2 函式的增減(單調)性與極值
5.2.1 用導數符號判斷函式增減(單調)性
若在(a,b)內總有f』(x)>0,則f(x)在(a,b)內_______;若在(a,b)內總有f』(x)<0,則f(x)在(a,b)內_______.
5.2.2 函式的極值
設 y=f(x)在點x0的某個鄰域內有定義：
如果對於任何該鄰域內任何異於x0的點x,恒有f(x)__f(x0),則稱x0為f(x)的乙個極大值點,稱f(x0)為f(x)的_______.
如果對於任何該鄰域內任何異於x0的點x,恒有f(x)__f(x0),則稱x0為f(x)的乙個極小值點,稱f(x0)為f(x)的_______.
定理1 (極值的必要條件) 設y=f(x)在點x0處可導,且x0為f(x)的極值點,則f』(x0)=__.
使函式導數值為零的點,稱為函式的____.
定理2 (極值的第一充分條件) 設y=f(x)在點x0的某個鄰域內可導,且f』(x0)=0,則:
(1) 當xx0時,f』(x)__0,則x0為f(x)的極大值點;
(2) 當xx0時,f』(x)__0,則x0為f(x)的極小值點;
(3) 若f』(x)在x0的兩側同號,則x0不是f(x)的極值點.
定理3 (極值的第二充分條件) 設y=f(x)在點x0處二階可導,且f』(x0)=0,則:
(1) 若f』』(x0)__0,則x0為f(x)的極大值點;
(2) 若f』』(x0)__0,則x0為f(x)的極小值點;
(3) 若f』』(x0)=0,則此方法不能判定.
5.3 函式的最大值與最小值
(1) 求出f(x)在(a,b)內的所有(可能的極值點)駐點、導數不存在的點:x1,…,xk.
(2) 求出上述各點及區間兩個端點x=a,x=b處的函式值：f(x1),…f(xk),f(a),f(b),進行比較,則f(x)max = __, f(x)min = __.
5.4 函式的凹凸性
5.4.1 用導數判斷函式的凹凸性
性質設函式 y=f(x)在點(a,b)處二階可導.
(1) 若在(a,b)內有f』』(x)__0,則y=f(x)為(a,b)內為凹函式.
(2) 若在(a,b)內有f』』(x)__0,則y=f(x)為(a,b)內為凸函式
5.4.2 曲線的拐點
連續曲線弧 y=f(x),在(a,b)內有二階連續導數f』』(x),x0∈(a,b).
(1) 當f』』(x)在x0的左、右兩側為____時,那麼點(x0, f(x0))為曲線 y=f(x)的拐點,此時f』』(x0)=__.
(2) 當f』』(x)在x0的左、右兩側為____時,則點(x0, f(x0))不是曲線 y=f(x)的拐點.
5.5 函式的漸近線
若直線l與x軸平行,則稱l為曲線y=f(x)的____漸近線.
若直線l與x軸垂直,則稱l為曲線y=f(x)的____漸近線.
曲線y=f(x)的漸近線的求法：
(1) 若,則y = c為曲線y=f(x)的____漸近線.
(2) ,則x=x0為曲線y=f(x)的____漸近線.
二、 微分
1. 微分的概念
定義設函式 y=f(x)在某區間內有定義,x0及x0+△x在該區間內,如果函式的增量△y=f(x0+△x)- f(x0)可以表示為△y=a△x+o(△x),其中a不是依賴於△x的常數,而o(△x)是較△x高階的無窮小量,則稱函式 y=f(x)在點x0是可微(分)的,而a△x稱做函式y=f(x)在點x0相應於自變數增量△x的微分,即dy
2. 可微與可導的關係
函式y=f(x)在點x處可微<--> 函式y=f(x)在點x處______,且有dy
△x=dx,因此有dydy|x= x0
3. 微分的幾何意義
函式 y=f(x)在點x0處的微分dy = f』(x0)△x,在幾何上表示曲線y=f(x)在點
(x0, f(x0))當自變數x有增量△x時____的縱座標的增量.
真題求源知識點第2章一元函式微分學
第2章一元函式微分學 2.1 導數的概念 2.1.1 導數 2.1.2 右導數 2.1.3 左導數 2.1.4 函式在區間上的可導性 2.2 函式可導的條件 2.3 導數的幾何意義與物理意義 2.3.1 導數的幾何意義 2.3.2 導數的物理意義 2.4 導數的計算 2.4.1 基本初等函式的導數公...
第二章 導數與微分學習指導 李茂
第2章導數與微分 2.1 學習目標 1 讓學生掌握導數概念及實際意義，2 掌握微分的概念，熟練掌握求導法則，3 會應用導數或微分解決實際問題。2.2 知識脈絡 2.3 重點和難點 1 重點 導數的概念及幾何意義 乙個函式在某點可導與連續的關係,可導與可微的關係 2 難點 求導的計算 復合函式 隱函式...
高等數學第三章一元函式積分學
第三章一元函式積分學 3.1 不定積分 甲內容要點 一 基本概念與性質 1 原函式與不定積分的概念 設函式和在區間上有定義，若在區間上成立，則稱為在區間上的原函式，在區間中的全體原函式稱為在區間的不定積分，記以。其中稱為積分號，稱為積分變數，稱為被積函式，稱為被積表示式。2 不定積分的性質 設，其中...