第三章一元函式積分學
§3.1 不定積分
甲內容要點
一．基本概念與性質
1．原函式與不定積分的概念
設函式和在區間上有定義，若在區間上成立，則稱為在區間上的原函式，在區間中的全體原函式稱為在區間的不定積分，記以。其中稱為積分號，稱為積分變數，稱為被積函式，稱為被積表示式。
2．不定積分的性質
設，其中為的乙個原函式，為任意常數。
則（1） 或
（2） 或
（3）（4）
3．原函式的存在性
設在區間上連續，則在區間上原函式一定存在，但初等函式的原函式不一定是初等函式。例如，，，，，等。被積函式有原函式，但不能用初等函式表示，故這些不定積分均稱為積不出來。
二．基本積分公式
1． 2．
345．6． 7．
89．1011．
1213．
14． 15．
16． 17．
三．換元積分法和分部積分法
1．第一換元積分法（湊微分法）
設，又可導，則
這裡要求讀者對常用的微分公式要「倒背如流」，也就是非常熟練地湊出微分。
常用的幾種湊微分形式：
（1）（2）（34）
（5）（6）（7） （8）
（9） （10）
（11）（12）
（13）（14）
（15）（16）
（17）
（18）
（19）
（20）
2．第二換元積分法
設可導，且，若，
則其中為的反函式。
第二換元積分法絕大多數用於根式的被積函式，通過換元把根式去掉，其常見的變數替換分為兩大類：
第一類：被積函式是與或與或由構成的代數式的根式，例如等。
只要令根式，解出已經不再有根式，那麼就作這種變數替換即可。
第二類：被積函式含有，如果仍令解出仍是根號，那麼這樣變數替換不行，要作特殊處理，將時先化為，時，先化為然後再作下列三種三角替換之一：
值得注意：如果既能用上述第二換元積分法，又可以用第一換元積分法，那麼一般用第一換元積分法比較簡單。
例1．例2．例3．3．分部積分法
設，均有連續的導數，則
或使用分部積分法時被積函式中誰看作誰看作有一定規律。
（1），，情形，為次多項式，為常數，要進行次分部積分法，每次均取，，為；多項式部分為。
（2），，情形，為次多項式取為，而，，為，用分部積分法一次，被積函式的形式發生變化，再考慮其它方法。
（3），情形，進行二次分部積分法後要移項，合併。
（4）比較複雜的被積函式使用分部積分法，要用湊微分法，使盡量多的因子和湊成。
§3．2 定積分和廣義積分的概念與計算方法
一．定積分的概念與性質
1．定積分的定義
在上的定積分為
（如果極限存在）
其中為上任一點；任意劃分為個小區間
；如果在上有定積分，則稱在上可積。上的連續函式或只有有限個第一類間斷點的函式都是可積函式。
2．定積分的幾何意義
設函式在上連續，定積分在幾何上表示曲線和直線以及軸圍成各部分面積的代數和，在軸上方取正號，在軸下方取負號。
3．定積分的性質
（1）（2）
（3）（4）（也可以在之外）
（5）設， ，則
（6）設， ，則
（7）設，則
（8）定積分中值定理設在上連續，則存在，使
定義：我們稱為在上的積分平均值
（9）奇偶函式的積分性質
奇函式）（偶函式）
（10）週期函式的積分性質
設以為週期，為常數，則
二．基本定理
1．變上限積分的函式
定義：設在上可積，則，稱為變上限積分的函式
定理：（1）若在上可積，則在上連續
（2）若在上連續，則在上可導，且
推廣形式：設，可導，連續，則
2．牛頓一萊布尼茲公式
設在上可積，為在上任意乙個原函式， 則有
（注：若在上連續，可以很容易地用上面變上限積分的方法來證明；若在上可積，牛頓一萊布尼茲公式仍成立，但證明方法就很複雜）
三．定積分的換元積分法和分部積分法
1．定積分的換元積分法
設在上連續，若變數替換滿足（1）在（或）上連續；
（2），，且當時，，則
2．定積分的分部積分法
設在上連續，則
或 四．廣義積分
定積分的積分區間是有限區間，又在上是有界的，如果積分區間推廣到無窮區間或推廣到無界函式，就是兩種不同型別的廣義積分。
1．無窮區間上的廣義積分
（1）概念定義：
若極限存在，則稱廣義積分是收斂的，它的值就是極限值；若極限不存在，則稱廣義積分。是發散的，而發散的廣義積分沒有值的概念。
同樣有收斂和發散的概念，收斂的廣義積分有值的概念。
同樣有收斂和發散的概念，收斂的廣義積分有值的概念，值得注意：判斷的收斂性不能用的極限存在性，必須要求和兩個廣義積分都收斂，才能知道是收斂的。但是如果已經知道是收斂的，而求它的值，那麼計算是可以的。
（2）常用公式
2．無界函式的廣義積分（瑕積分）
（1）概念：
①設在內連續，且，則稱為的瑕點。
定義若極限存在，則稱廣義積分收斂，且它的值就是極限值；若極限不存在，則稱廣義積分發散，發散的廣義積分沒有值的概念。
②設在內連續，且，則稱為的瑕點。
定義若極限存在，則稱廣義積分收斂，且它的值就是極限值。
若極限不存在，則稱廣義積分發散，它沒有值。
③設在和皆連續，且，則稱為的瑕點。
定義（值得注意：這裡判別收斂性時，和要獨立地取極限，不能都用來代替）
若上面兩個極限都存在時才稱廣義積分是收斂的，否則廣義積分發散。
（2）常用公式： 類似地考慮和
最後指出：由於廣義積分是變限積分的極限，因此原則上由定積分的運算法則和極限的運算法則就可以得到廣義積分運算法則。
第三章積分及其應用基本知識講解 高等數學
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