第三章積分及其應用
本章將學習定積分（「無限細分、無限求和」）、不定積分（微分的逆運算）以及求積分的幾個重要方法：直接積分法、換元法（湊微分法和第二換元法）和分部積分法．定積分有著廣泛的應用，微元法是建立各種實際問題的定積分模型的重要方法．反常積分是定積分的一種推廣形式，本章還將學習無窮區間上的反常積分．
定積分的概念
定義1 設函式在區間上有界．在區間內任意插入個分點，，把區間分成個小區間，各個小區間的長度依次為
，在每個小區間上任取一點，作和式
，記．如果不論對區間怎樣分法，也不論在小區間上點怎樣取法，只要當時，和總趨於同乙個確定的常數，則稱函式在區間上可積，極限稱為函式在區間上的定積分，記作，即
，其中為積分符號，函式稱為被積函式，稱為被積表示式，稱為積分變數，稱為積分下限，稱為積分上限，區間稱為積分區間．
2.定積分概念的幾個註解
1）定積分是乙個數，它與被積函式和積分限有關，而與積分變數無關，即
．2）由定積分的定義，顯然有
a)當時，．
b)．c)．
1） 定積分的幾何意義
當時，定積分表示由曲線、直線、及軸所圍成的的曲邊梯形的面積，即；當時， ．
如圖(1)所示的函式在上的定積分為
． 圖（1）
2） 奇偶函式在對稱區間上的積分性質
若連續函式在對稱區間上連續，則
如下圖所示．
（a） (b)
圖（2）
微元法1） 微元法的一般步驟
一般地，如果某乙個實際問題中所求量符合下列條件：
(1) 與變數的變化區間有關；
(2) 對於區間具有可加性．也就是說，如果把區間分成許多部分區間，則相應地分成許多部分量，而等於所有部分量之和；
(3) 部分量的近似值可以表示為．
那麼，在確定了積分變數以及其取值範圍後，可以用以下三步來求解：
第一步根據問題的具體情況，選取乙個變數（如）為積分變數，並確定它的變化區間；
第二步寫出在任一小區間上的微元，這裡常運用「以常代變，以直代曲」等方法；
第三步以所求量的微元為被積表示式，寫出在區間上的定積分，得
． 以上分析問題的方法稱為微元法或元素法.
如以速度(m/s)直線行駛的汽車在s內行駛的路程（「以常代變」）可視為均速運動下的路程，微元為,在s行駛的路程為．
原函式和不定積分的概念
定義2 如果在開區間內，可導函式的導函式為，即當時，
或 ，
則稱函式是函式在區間內的乙個原函式．
如在內，，故是的乙個原函式；在內，，故路程函式是速度函式的乙個原函式．
乙個函式的原函式不是唯一的，但函式的所有原函式可以寫成的形式．
定義3 若是函式在開區間內的乙個原函式，則的所有原函式的表示式（為任意常數）稱為在該區間內的不定積分，記作，即
稱為積分常數，其它符號的名稱與定積分中的名稱一致．
積分與微分是一對互逆的運算.函式的不定積分與導數（或微分）之間有如下的運算關係：
或 或
基本積分表
(1) （為常數）；
(2) （）；
(3) ；
(4) ；
(5) ；
(6) ；
(7) ；
(8(9) ；
(10) ；
(11) ；
(12) ；
(13) ．
微積分基本公式
若函式是連續函式在區間上的乙個原函式，則=
此公式稱為微積分基本公式，也稱為牛頓－萊布尼茲公式．
直接積分法
（1）.不定積分的性質
性質１即兩個函式和（差）的不定積分等於這兩個函式的不定積分的和（差）．
性質１可推廣到有限個函式的情形．
性質２（，為常數）
即被積函式中不為０的常數因子可以提到積分號外．
（2）定積分的性質：
性質１[和、差的運算性質]
即兩個函式和（差）的定積分等於它們定積分的和（差）．
性質２[數乘的運算性質]
即被積函式的常數因子可以提到積分號外．
性質３[區間可加性] 若把區間分為和兩部分，則 （）
並且無論的大小順序如何，上式均成立．如．
性質4 如果在區間上，，則
（）．推論如果在區間上，，則
（）．利用微積分基本公式和積分性質計算函式積分的方法為直接積分法．
如（1）．
(2)（注;分段函式的定積分應相應地分段求定積分）.
換元積分法
1.不定積分的第一換元法設，函式可導，則
換元法求不定積分的一般步驟如下：
．利用換元法時，要把被積表示式分解出，並湊成微分，因此這種方法也稱為湊微分法．
定積分的第一換元法設函式在區間上連續，若
(1) 函式在區間上單調且有連續導數；
(2) 當在區間上變化時，對應的函式在區間上變化，且，，則有定積分的換元公式
如 （1）
（2）．
第二換元法
不定積分的第二換元法設
(1) 是單調可導函式，且；
(2) ，
則 第二換元法的一般步驟為：
．其中是的反函式．
定積分的第二換元法設函式在區間上連續，若
(1) 函式在區間上單調且有連續導數；
(2) 當在區間上變化時，對應的函式在區間上變化，且，，則有定積分的換元公式
注：在應用定積分的換元法時，積分上下限要進行相應地變換．
如．分部積分法
1.不定積分的分部積分法
2.定積分的分部積分法
一般地，若被積函式為不同類函式的乘積(如冪函式與三角函式或冪函式與反三角函式的乘積)，則要用分部積分法．
在應用分部積分法時，恰當選取和是乙個關鍵．選取和一般要考慮以下兩點：
(1) 要容易求得；
(2) 比容易積出．
注：一般地，如果被積函式是冪函式與正（餘）弦函式或指數函式的乘積，可以用分部積分法，選冪函式為u．被積函式是冪函式與對數函式（或反三角函式）的乘積，選對數函式（或反三角函式）為u.
平面圖形的面積
一般地，求由區間上的連續曲線、（）以及直線、圍成的平面圖形的面積，如下圖所示，
用微元法分析如下．
(1) 任意乙個小區間（其中、）上的窄條面積可以用底寬為，高度為的窄條矩形的面積來近似計算，即面積微元為
；(2) 以為被積表示式，在區間上積分，得該平面圖形的面積
立體的體積
1.平行截面面積為已知的立體的體積
設一立體位於平面與()之間，如下圖所示.
任意乙個垂直於軸的平面截此物體所得的截面面積為，是上的連續函式．該立體介於區間之間的薄片的體積微元，可用底面積為、高為的柱形薄片的體積近似計算，從而體積微元為
將其在區間上積分，得到該立體的體積
2. 旋轉體的體積
旋轉體是由乙個平面圖形繞這平面內的一條直線旋轉一周而成的立體．這條直線叫旋轉軸．球體、圓柱體、圓台、圓錐、橢球體等都是旋轉體．
(1) 平面圖形繞x軸旋轉所成的立體的體積
由連續曲線、直線、以及x軸所圍成的曲邊梯形繞x軸旋轉一周而成的旋轉體，如下圖所示．
它被任意乙個垂直於軸的平面所截，得到的截面為以為半徑的圓，其面積為，故所求旋轉體的體積為
(2) 繞軸旋轉所成的立體的體積
同理可得，由連續曲線、直線、以及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成的旋轉體，如下圖所示，
其體積為
平面曲線的弧長
曲線相應於上的任一微小區間的一小段弧的長度，可以用該曲線在點處的切線上相應的一小段的長度來近似代替，如下圖所示．
所以弧長微元(即弧微分)為
， 所求弧長為
特別地，設曲線的引數方程為，則弧長微元為
，所求弧長為
物理上的應用
物體受常力作用沿力的方向移動一段距離，則力對物體所作的功為
．如果作直線運動的物體在運動過程中所受的力是變化的，設物體所受的力與移動的位移之間滿足，求此力將物體從移到所作的功．
變力在一微小段上所作的功可視為常力所作的功，功的微元為 ，所以，總功為．
1. 壓力
由物理學知道，在液體深為處的壓強為，這裡是液體的比重．如果有一面積為的平板水平地放置在某液體深為處，那麼，平板一側所受的液體的壓力為
．如果平板鉛直放置在水中處，如下圖所示，
由於水深不同，壓強不同，此時平板一側所受的水的壓力微元為，相應的壓力為.
2. 引力
由物理學知道，質量分別為、，相距為的兩質點間的引力為
，其中為引力係數，引力的方向沿著質點的連線方向．
求位於一條直線上的一根細棒對質點的引力，如下圖所示，
由於細棒上各點與質點的距離是變化的，建立直角座標系如上圖，使棒位於軸上，取為積分變數，它的變化區間為．把細直棒上相應於的一段近似地看成質點，其質量為．於是引力微元為
，該棒對質點的引力為．
函式的平均值
定義4 數
表示連續曲線在區間上的平均高度，也就是函式在區間上的平均值，如下圖所示．
這是有限個數的平均值概念的推廣．
如在乙個週期t內消耗的功率為
,因此，交流電的平均功率為
． 在電學中定義交流電流和電壓的有效值為 ，
廣義積分
定義5 設函式在區間內連續．取，如果極限
存在，則稱為函式在無窮區間內的反常積分，記作，即
此時，稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在，則稱反常積分發散．
類似地，如果極限存在，則函式在區間上的廣義積分為
設函式在上連續，如果反常積分、都收斂，則它們之和為函式在上的反常積分，記作，這時也稱反常積分收斂；否則稱反常積分發散．
知識剛要第三章透鏡及其應用
第一部分知識提要 一 光的折射 1 定義 光從一種介質斜射入另一種介質時，傳播方向一般會發生變化 這種現象叫光的折射現象。2 光的折射定律 三線同面,法線居中,空氣中角大,光路可逆 折射光線，入射光線和法線在同一平面內。折射光線和入射光線分居與法線兩側。光從空氣斜射入水或其他介質中時，折射角小於入射...
第三章透鏡及其應用知識歸納總結
四 眼睛和眼鏡 眼睛 眼睛中晶狀體和角膜的共同作用相當於凸透鏡，它把來自物體的光會聚在視網膜上，形成物體的像。視網膜上的視神經細胞受到光的刺激，把訊號傳輸給大腦。看遠處物體時，睫狀肌放鬆，晶狀體比較薄 焦距長，偏折弱 看近處物體時，睫狀肌收縮，晶狀體比較厚 焦距短，偏折強 近視的表現 能看清近處的物...
第三章透鏡及其應用知識點
透鏡及其應用知識點填空2010 3 15 1.凸透鏡中間厚，邊緣薄，對光線有會聚作用，可以作為遠視鏡片使用。2.凹透鏡中間薄，邊緣厚，對光線有發散作用，可以作為近視鏡片使用。4.凸透鏡成像的兩個轉折點 二倍焦距處為放大實像與縮小實像的轉折點 焦點處為實像與虛像的轉折點。5.凸透鏡成像時 實像都是倒立...