曲線是點的運動軌跡，如果曲線上所有的點都在同乙個平面上，則這條曲線叫做平面曲線，平面曲線是空間曲線的特例，它的表示式有多種形式，有些曲線採用某種表示式，運算起來很簡便，若採用另一種表示式運算起來就很不方便，因此，在討論曲線的表示式時，要注意它們之間的相互關係以及應用場合。
是平面曲線的一種最簡便的表示式。只要給出一系列的值，就可以求出相應的y值，從而繪出該曲線的圖形。
當曲線是單值函式又帶有和軸平行的切線部分時，用表達這類平面曲線是不合適的，因此，許多實用上很重要的平面曲線，如圓、橢圓等，不宜用表示式，而是以數學中廣泛應用的隱函式形式表達。例如，表示以原點為圓心、半徑為的圓，在確定乙個點是否在曲線上時，採用的方程是合適的，但是，要用方程直接算出曲線上的點，除了那些能化成的以外往往是很麻煩的。
橢圓、拋物線和雙曲線常用如下方程表達。
橢圓拋物線雙曲線這些曲線的方程都是二元二次方程，它們所代表的曲線稱為二次曲線。二元二次曲線的一般方程為：
(3-1)
在式（3-1）中，若係數給以不同的數值，就可以表達不同的曲線，
若則式（3-1）是橢圓的方程；
若則式（3-1）是拋物線的方程；
若則式（3-1）是雙曲線的方程；
用引數方程表達曲線，可以使複雜的方程變得簡單、明了，運算起來也很方便，因此，在工程計算中，曲線常用引數方程表示，例如，乙個圓沿一條直線作無滑動的滾動時，（圖3-1）圓周上某點p的運動軌跡是普通擺線，它的引數方程為
解釋：x=om-r*sin(903-2)
上式若改用的形式表達，則要改寫為
顯然，上式比引數方程式（3-2）複雜，運算也不方便，此外，引數式的曲線方程還可以表達帶有和y軸平行的切線部分的曲線。
在極座標系中，極徑（它等於矢徑的模）是極角的函式，用極座標方程可以很簡便地表示某些曲線，如阿基公尺德螺線，對數螺線和雙曲螺線等。
用極座標方程表達曲線有三個缺點：
（1）對於原點不同的極座標系之間的座標變換為複雜；
（2）在表達曲線的切線和法線方程時，表示式很複雜，一般要將極座標方程轉換為引數方程後，再求它的切線與法線方程;
（3）曲線上某點的極角只能通過反三角函式法求出。
當直線發生線l沿半徑為的基圓作無滑動的滾動時（圖3-2），發生線l上點的運動軌跡（）就是漸開線，若與發生線固連且位於與滾動方向相反的一側有一條直線，則點的運動軌跡（）叫做長幅漸開線。
設發生線繞基圓滾動過的角度為，p點的原始位置為，，則，在圖3-2中，
注意正負號 (3-3)
或 上式就是長幅漸開線的引數方程。
討論：1）若點在發生線l的另一側，即式（3-3）中的用代入時，則得短幅漸開線方程
3-4)
2)若，則式（3-3）變為普通漸開線的方程
3-5)
3）若，則式（3-3）變為阿基公尺德螺線的方程。
3-6)
通過座標變換，上式也可以用極座標方程表達
3-7)
當乙個動圓（半徑為）沿乙個固定圓（半徑為）作無滑動的滾動時（圖3-3），動圓圓週上一點p的軌跡（）叫做擺線。設p點的原始位置為點，則
因為 ，則
將它代入上述外擺線的向量方程，並經改寫後，得出常用的引數方程，為
3-8)
在圖3-4的曲線上，取定點和動點，當動點無限趨近於定點時，割線的極限位置稱為過定點的切線，這時，點就是曲線的切點，在通過切點的所有直線中，切線是最貼近曲線的一條直線，過切點的切線方向也就是曲線在這點的方向，而且，切線的正向與曲線方程中引數增大的方向一致。若兩條曲線相交，它們在交點處的二條切線的夾角就是兩曲線的交角。如果這二條切線重合，則稱這兩條曲線在交點處相切。
例如，用插齒刀加工圓柱齒輪時，在接觸點處，插齒刀刀刃曲線與齒輪的齒形曲線的切線互相重合。
過切點且重直於切線的直線稱為曲線的法線，任意點的切線與法線互相垂直。平面曲線的法線的正向是這樣規定的：設平面曲線位於空間座標系的平面上，而且軸的么矢指向紙面的上方，這時，按照右手法則，么矢也就是平面的法矢。
在平面曲線某點的法線上，取么矢，使切么矢的正向到么矢的正向之間的有向角是，即
么矢稱為平面曲線的法么矢。無論是平面曲線的凹部還是凸部，用這種方法確定的法么矢，有的指向凹部，有的指向凸部，但它們在平面曲線上是連續的（圖3-6）。
用不同的形式表達的曲線工程，它們的切線和法線方程的形式也是不相同的。
過已知點的切線和法為方程為
切線方程3-9)
法線方程3-10)
式中，是切線或法上任意點的座標。
把式中看作是的函式，再將上式對求導，得
當時3-11)
將上式代入式（3-9）和式（3-10），得出過已知點的切線和法線方程為
切線方程3-12)
法線方程3-13）
其中，分別為過點的值
因為將上式代入（3-9）和式（3-10），得出過已知點的切線和法線方程為
切線方程3-14）
法線方程3-15）
例3-1 求式（3-2）的擺線方程（圖3-1）在過點處的切線和法線方程。
解：（1）時，
（2）（3）切線方程，由式（3-14）得
（4）法線方程，由式（3-15）得
前曾提及，在求用極座標表達的曲線的切線和法線方程時，要先將曲線的極座標方程轉換成引數方程。座標變換時，軸與極軸重合，座標原點與極心重合（圖3-5），座標變換公式為
3-16）
在上式中，是的函式，因而
3-17）
或 （3-18）
式中，為切線與軸的夾角
若將曲線上某已知點的引數代入式（3-17）得到相應的導數和，再將它們代入式（3-14）和（3-15），便可以得出相應的切線方程和法線方程。
在式（3-18）中，若，則該式可以改寫為
3-19）
在圖3-5中，曲線上m點的極角為，切么與軸的夾角為，極徑與切么矢的夾角為。因此
即將上式和式（3-19）相比較，即可得出
3-20）
上式在鏟齒成形銑刀設計中，用得很多。
例3-2 成形銑刀的齒頂面以圖3-5方式鏟成阿基公尺德螺線，求齒頂後刀面上任意點m處的後角。
解：在圖3-5中，設k是刀具鏟削量，z是銑刀的刀齒數，由圖看出，在端截面上，銑刀齒背曲線方程為
當銑刀轉過乙個刀齒時，轉角，極徑，將它們代入齒背曲線方程，得係數為
因此因為，所以後刀面上任意點處的後角為
當時，上式即為新鏟齒成形銑刀齒頂後角的公式
當切線沿曲線滾動時，圖3-6，若在點鄰域內，切線的旋轉方向與切點在切線上的移動方向保持不變，則點稱為曲線的正常點，過點後，切線的旋轉方向發生變化，而切點在切線上的移動方向仍然沒有變化，則稱點為曲線的拐點或反曲點。
設為平面曲線的方程，若過已知點的偏導數和不同時為零，則點就是正常點，和不同時為零，是點為正常點的條件。
在正常點的鄰域內，曲線在切線的一側，若切線在曲線的上方，則稱曲線為凸（如在圖中區間內）；若切線在曲線的下方，則稱曲線為凹（如右圖中區間內）。
由微積分學知道，當曲線存在二階導數時，它在某個區域內呈凸形或凹形可由的數值確定。
當時，曲線的圖形呈凸形；
當時，曲線的圖形呈凹形。
圖3-7是半徑，和的二個同心圓。從點沿曲線運動到點和從點沿曲線運動到點，切線方向的改變量，但是走過的弧長。因此，相對於單位弧長的切線方向改變量，二者是不同的。
如果沿任意線oc，將移動到c點，並與相切，從圖上可以看出，圓弧的彎曲程度比的大很多，曲線的彎曲程度用「曲率」表示。在圖中圓弧的曲率比的曲率要大。通常把弧長為的段的彎曲程度(即曲率)記作：。
在圖3-8中，當b點沿曲線趨近a點，即弧長趨近於零時，曲線上a點的曲率為
3-21） 解釋：切線方向的改變量與弧長比值的極限
曲率恒為值。
在微分幾何中，有時把由x軸正向按逆時針方向轉到曲線上切線正向的角度，看作正的有向角。當圖3-8中的a點沿平面曲線運動到b點時，切線逆時針地「向左轉」，有向角差；對於切線順時針地「向右轉」的曲線部分，，用這種方法確定的平面曲線的曲率有正、負之分，稱為相對曲率或平面曲率。
3-22）
相對曲率與曲率的幾何意義是一致的，但前者有正值、有負值，後者只有正值。從圖3-8還可看出，當時，平面曲線的凹向朝其法么矢的正向；當時，曲線的凹向朝其法么矢的負向，當時，該點是曲線的拐點。若曲線上各點的相對曲率恆等於零，則該曲線是一條直線。
平面曲線的曲率的計算公式如下：
(1)當曲線方程為時，
3-23)
式中，(2)當曲線方程為時
3-24）
式中，(3)當曲線方程為時,
3-25)
式中，(4)當曲線方程為時
3-26)
例3-3 已知阿基公尺德螺線的方程為，求它的平面曲線率。
第三章禮儀應用文
教學步驟 第1課時 一 課前導入 社會交際中的禮儀活動日益豐富。問大家乙個問題，和領導和兄弟喝酒，碰杯的時候你要幹嘛呢？說幾乎話吧。家裡長輩大壽，你也要說祝語，朋友結婚也要說幾句祝語，對不對？今天我們就來學學如何說好祝詞。二 新課教學 第三節祝詞 一 概念 祝詞也稱作祝辭，它泛指在各種喜慶場合中對事...
第三章計畫
t 4 c類工作特徵是不迫切，後果影響小。f 5 既然時間客觀存在，時間就可以儲存。四 填空題 1 按計畫的約束程度劃分，計畫可分為 2 目標管理分為制定目標體系和三個階段。3 時間的特徵包括客觀性 和 4 計畫工作的核心問題是 5是管理職能中最基本的職能。五 名詞解釋題 1 計畫 2 目標管理 六...
禮儀第三章
第三章 儀容 儀表 儀態禮儀 3.1儀容 儀表 3.2儀態 3.3著裝與服飾 3.4美容與化妝 3.1儀容 儀表 3.1.1儀容 儀表的概念 3.1.2注意儀容 儀表的意義 3.1.3儀容 儀表的基本要求 3.1.1儀容 儀表的概念 儀容的概念 儀容是指個人的容貌，它是由髮式 面容以及所有未被服飾遮...