2015-2016學年人教版選修2-2
第一章《導數及其應用》單元測試
一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．函式f(x)的定義域為開區間(a，b)，導函式f′(x)在(a，b)內的影象如圖所示，則函式f(x)在開區間(a，b)內有極小值點( )
a．1個b．2個
c．3個 d．4個
答案 a
解析設極值點依次為x1，x2，x3且a＜x1＜x2＜x3＜b，則f(x)在(a，x1)，(x2，x3)上遞增，在(x1，x2)，(x3，b)上遞減，因此，x1、x3是極大值點，只有x2是極小值點．
2．在區間[，2]上，函式f(x)＝x2＋px＋q與g(x)＝2x＋在同一點處取得相同的最小值，那麼f(x)在[，2]上的最大值是( )
ab.c．8 d．4
答案 d
3．點p在曲線y＝x3－x＋上移動，設點p處的切線的傾斜角為α，則α的取值範圍是( )
a．[0，] b．[0，]∪[π，π)
cd．[，π]
答案 b
4．已知函式f(x)＝x4－2x3＋3m，x∈r，若f(x)＋9≥0恆成立，則實數m的取值範圍是( )
a．m≥ b．m＞
c．m≤ d．m＜
答案 a
解析因為函式f(x)＝x4－2x3＋3m，
所以f′(x)＝2x3－6x2.
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝3，經檢驗知x＝3是函式的乙個最小值點，所以函式的最小值為f(3)＝3m－.不等式f(x)＋9≥0恆成立，即f(x)≥－9恆成立，所以3m－≥－9，解得m≥.
5．函式f(x)＝cos2 x－2cos2的乙個單調增區間是( )
a. b.
c. d.
答案 a
解析 f(x)＝cos2x－cosx－1，
∴f′(x)＝－2sinx·cosx＋sinx＝sinx·(1－2cosx)．
令f′(x)>0，結合選項，選a.
6．設f(x)在x＝x0處可導，且＝1，則f′(x0)等於( )
a．1 b．0
c．3 d.
答案 d
7．經過原點且與曲線y＝相切的切線方程為( )
a．x＋y＝0
b．x＋25y＝0
c．x＋y＝0或x＋25y＝0
d．以上皆非
答案 d
8．函式f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，其中a，b，c為實數，當a2－3b＜0時，f(x)是( )
a．增函式
b．減函式
c．常數
d．既不是增函式也不是減函式
答案 a
9．若a>2，則方程x3－ax2＋1＝0在(0,2)上恰好有( )
a．0個根 b．1個根
c．2個根 d．3個根
答案 b
解析設f(x)＝x3－ax2＋1，則f′(x)＝x2－2ax＝x(x－2a)，當x∈(0,2)時，f′(x)<0，f(x)在(0,2)上為減函式，又f(0)f(2)＝1＝－4a<0，
f(x)＝0在(0,2)上恰好有乙個根，故選b.
10．一點沿直線運動，如果由始點起經過t s後距離為s＝t4－t3＋2t2，那麼速度為零的時刻是( )
a．1 s末 b．0 s
c．4 s末 d．0,1,4 s末
答案 d
11．設f(x)＝則f(x)dx等於( )
a. b.
c. d．不存在
答案 c
解析數形結合，如圖．
f(x)dx＝x2dx＋(2－x)dx
＝＝＋(4－2－2＋)
＝，故選c.
12．若函式f(x)＝，且0a．a>b b．ac．a＝b d．a、b的大小不能確定
答案 a
解析 f′(x)＝，
令g(x)＝xcosx－sinx，則
g′(x)＝－xsinx＋cosx－cosx＝－xsinx.
∵0b，故選a.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分．把答案填在題中橫線上)
13．若f(x)＝x3－f′(1)x2＋x＋5，則f′(1
答案 解析 f′(x)＝x2－2f′(1)x＋1，令x＝1，得f′(1)＝.
14．已知函式f(x)滿足f(x)＝f(π－x)，且當x∈時，f(x)＝x＋sinx，設a＝f(1)，b＝f(2)，c＝f(3)，則a、b、c的大小關係是________．
答案 c解析 f(2)＝f(π－2)，f(3)＝f(π－3)，因為f′(x)＝1＋cosx≥0，故f(x)在上是增函式，∵ >π－2>1>π－3>0，∴f(π－2)>f(1)>f(π－3)，即c15．已知函式f(x)為一次函式，其影象經過點(2,4)，且
f(x)dx＝3，則函式f(x)的解析式為________．
答案 f(x)＝x＋
解析設函式f(x)＝ax＋b(a≠0)，因為函式f(x)的影象過點(2,4)，所以有b＝4－2a.
∴f(x)dx＝(ax＋4－2a)dx
＝[ax2＋(4－2a)x] ＝a＋4－2a＝1.
∴a＝.∴b＝.∴f(x)＝x＋.
16．(2010·江蘇卷)函式y＝x2(x＞0)的影象在點(ak，a)處的切線與x軸的交點的橫座標為ak＋1，其中k∈n*.若a1＝16，則a1＋a3＋a5的值是________．
答案 21
解析 ∵y′＝2x，∴過點(ak，a)處的切線方程為y－a＝2ak(x－ak)，又該切線與x軸的交點為(ak＋1,0)，所以ak＋1＝ak，即數列是等比數列，首項a1＝16，其公比q＝，∴a3＝4，a5＝1，∴a1＋a3＋a5＝21.
三、解答題(本大題共6小題，共70分，解答應出寫文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(10分)如圖，直線y＝kx分拋物線y＝x－x2與x軸所圍成圖形為面積相等的兩部分，求k的值．
解析拋物線y＝x－x2與x軸兩交點的橫座標為x1＝0，x2＝1，所以，拋物線與x軸所圍圖形面積s＝(x－x2)dx＝＝－＝.
又由此可得拋物線y＝x－x2與y＝kx兩交點的橫座標x3＝0，x4＝1－k，所以＝(x－x2－kx)dx＝＝(1－k)3.
又s＝，所以(1－k)3＝，∴k＝1－.
18．(12分)已知函式f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在區間[0,1]上單調遞增，在區間[1,2)上單調遞減．
(1)求a的值；
(2)若點a(x0，f(x0))在函式f(x)的影象上，求證：點a關於直線x＝1的對稱點b也在函式f(x)的影象上．
解析 (1)由函式f(x)＝x4－4x3＋ax2－1在區間[0,1]單調遞增，在區間[1,2)單調遞減，
∴x＝1時，取得極大值，∴f′(1)＝0.
又f′(x)＝4x3－12x2＋2ax，
∴4－12＋2a＝0a＝4.
(2)點a(x0，f(x0))關於直線x＝1的對稱點b的座標為(2－x0，f(x0))，
f(2－x0)＝(2－x0)4－4(2－x0)3＋4(2－x0)2－1
＝(2－x0)2[(2－x0)－2]2－1
＝x40－4x30＋ax20－1＝f(x0)，
∴a關於直線x＝1的對稱點b也在函式f(x)的影象上．
19．(12分)設x＝－2與x＝4是函式f(x)＝x3＋ax2＋bx的兩個極值點．
(1)求常數a，b；
(2)試判斷x＝－2，x＝4是函式f(x)的極大值還是極小值，並說明理由．
解析 f′(x)＝3x2＋2ax＋b.
(1)由極值點的必要條件可知：
f′(－2)＝f′(4)＝0，即
解得a＝－3，b＝－24.
或f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3(x＋2)(x－4)
＝3x2－6x－24，
也可得a＝－3，b＝－24.
(2)由f′(x)＝3(x＋2)(x－4)．
當x＜－2時，f′(x)＞0，當－2＜x＜4時，f′(x)＜0.
∴x＝－2是極大值點，而當x＞4時，f′(x)＞0，
∴x＝4是極小值點．
20．(12分)已知f(x)＝ax3－6ax2＋b，x∈[－1,2]的最大值為3，最小值為－29，求a，b的值．
解析 a≠0(否則f(x)＝b與題設矛盾)，
由f′(x)＝3ax2－12ax＝0及x∈[－1,2]，得x＝0.
(1)當a＞0時，列表：
由上表知，f(x)在[－1,0]上是增函式，
f(x)在[0,2]上是減函式．
則當x＝0時，f(x)有最大值，從而b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3，
∵a＞0，∴f(－1)＞f(2)．
從而f(2)＝－16a＋3＝－29，
得a＝2.
(2)當a＜0時，用類似的方法可判斷當x＝0時f(x)有最小值．
當x＝2時，f(x)有最大值．
從而f(0)＝b＝－29, f(2)＝－16a－29＝3，
得a＝－2.
綜上，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
21．(12分)(2010·重慶卷)已知函式f(x)＝ax3＋x2＋bx(其中常數a，b∈r)，g(x)＝f(x)＋f′(x)是奇函式．
(1)求f(x)的表示式；
(2)討論g(x)的單調性，並求g(x)在區間[1,2]上的最大值與最小值．
解析 (1)由題意得f′(x)＝3ax2＋2x＋b.因此g(x)＝f(x)＋f′(x)＝ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b.因為函式g(x)是奇函式，所以g(－x)＝－g(x)，即對任意實數x，有a(－x)3＋(3a＋1)(－x)2＋(b＋2)(－x)＋b＝－[ax3＋(3a＋1)x2＋(b＋2)x＋b]，從而3a＋1＝0，b＝0，解得a＝－，b＝0，因此f(x)的解析式為f(x)＝－x3＋x2.
(2)由(1)知g(x)＝－x3＋2x，所以g′(x)＝－x2＋2.
令 g′(x)＝0，解得x1＝－，x2＝，則當x<－或x>時，g′(x)<0，從而g(x)在區間上是減函式；當－0，從而g(x)在[－，]上是增函式．
由前面討論知，g(x)在區間[1,2]上的最大值與最小值只能在x＝1，，2時取得，而g(1)＝，g()＝，g(2)＝.因此g(x)在區間[1,2]上的最大值為g()＝，最小值為g(2)＝.
選修2 2第一章導數及其應用
班級姓名評分 一 選擇題 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 每小題5分，共40分 1 下列函式中,在上為增函式的是 abcd 2 a 在 單調增加 b 在 單調減少 c 在 1，1 單調減少，其餘區間單調增加 d 在 1，1 單調增加，其餘區間單調減少 3 當x 0時，有不等式 4...
第一章導數及其應用小結與複習 20
一 教學目標 重點 1 通過例題講解複習導數及其應用的知識點,總結各種題型的解法 2 理解導函式與函式單調性 函式的極值與最值的關係.難點 1 可導函式在某點取得極值的必要條件和充分條件會求一些實際問題的最大和最小值.2 導數在解決問題中的應用,學生自己對綜合題的分析和解決 能力點 導數在研究恆成立...
第一章網路基礎知識及其應
第二節 windows中的網路功能 金銀灘學校 馬力 一 教材分析 本節教材通過對windows中的網路功能的介紹，加深學生對網路資源共享 及資訊傳輸特點的認識。學生通過學習設定windows網路屬性 設定網路共享資料夾 訪問共享檔案 使用校園網中的共享資源等，學會在windows網路中設定共享資源...