第一章章末總結
知識點一四種命題間的關係
命題是能夠判斷真假、用文字或符號表述的語句．乙個命題與它的逆命題、否命題之間的關係是不確定的，與它的逆否命題的真假性相同，兩個命題是等價的；原命題的逆命題和否命題也是互為逆否命題．
例1 判斷下列命題的真假．
(1)若x∈a∪b，則x∈b的逆命題與逆否命題；
(2)若0(3)設a、b為非零向量，如果a⊥b，則a·b＝0的逆命題和否命題．
知識點二充要條件及其應用
充分條件和必要條件的判定是高中數學的重點內容，綜合考察數學各部分知識，是高考的熱點，判斷方法有以下幾種：
(1)定義法
(2)傳遞法：對於較複雜的關係，常用推出符號進行傳遞，根據這些符號所組成的圖示就可以得出結論．互為逆否的兩個命題具有等價性，運用這一原理，可將不易直接判斷的命題化為其逆否命題加以判斷．
(3)等價命題法：對於含有邏輯聯結詞「非」的充分條件、必要條件的判斷，往往利用原命題與其逆否命題是等價命題的結論進行轉化．
(4)集合法：與邏輯有關的許多數學問題可以用範圍解兩個命題之間的關係，這時如果能運用數形結合的思想(如數軸或venn圖等)就能更加直觀、形象地判斷出它們之間的關係．
例2 若p：－2例3 設p：實數x滿足x2－4ax＋3a2<0，a<0.
q：實數x滿足x2－x－6≤0或x2＋2x－8>0.
且綈p是綈q的必要不充分條件，求實數a的取值範圍．
知識點三邏輯聯結詞的應用
對於含邏輯聯結詞的命題，根據邏輯聯結詞的含義，利用真值表判定真假．
利用含邏輯聯結詞命題的真假，判定字母的取值範圍是****的熱點之一．
例4 判斷下列命題的真假．
(1)對於任意x，若x－3＝0，則x－3≤0；
(2)若x＝3或x＝5，則(x－3)(x－6)＝0.
例5 設命題p：函式f(x)＝lg的定義域為r；命題q：不等式<1＋ax對一切正實數均成立．如果命題p或q為真命題，命題p且q為假命題，求實數a的取值範圍．
知識點四全稱命題與特稱命題
全稱命題與特稱命題的判斷以及含乙個量詞的命題的否定是高考的乙個重點，多以客觀題出現．
全稱命題要對乙個範圍內的所有物件成立，要否定乙個全稱命題，只要找到乙個反例就行．特稱命題只要在給定範圍內找到乙個滿足條件的物件即可．
全稱命題的否定是特稱命題，應含存在量詞．
特稱命題的否定是全稱命題，應含全稱量詞．
例6 寫出下列命題的否定，並判斷其真假．
(1)3＝2；
(2)5>4；
(3)對任意實數x，x>0；
(4)有些質數是奇數．
例7 已知函式f(x)＝x2－2x＋5.
(1)是否存在實數m，使不等式m＋f(x)>0對於任意x∈r恆成立，並說明理由．
(2)若存在乙個實數x0，使不等式m－f(x0)>0成立，求實數m的取值範圍．
章末總結
重點解讀
例1 解 (1)若x∈a∪b，則x∈b是假命題，故其逆否命題為假，逆命題為若x∈b，則x∈a∪b，為真命題．
(2)∵0∴0≤|x－2|<3.
原命題為真，故其逆否命題為真．
否命題：若x≤0或x≥5，則|x－2|≥3.
例如當x＝－，＝<3.
故否命題為假．
(3)原命題：a，b為非零向量，a⊥ba·b＝0為真命題．
逆命題：若a，b為非零向量，a·b＝0a⊥b為真命題．
否命題：設a，b為非零向量，a不垂直ba·b≠0也為真．
例2 解若a＝－1，b＝，則δ＝a2－4b<0，關於x的方程x2＋ax＋b＝0無實根，故pq.若關於x的方程x2＋ax＋b＝0有兩個小於1的正根，不妨設這兩個根為x1、x2，且0則x1＋x2＝－a，x1x2＝b.
於是0<－a<2,0即－2所以，p是q的必要不充分條件．
例3 解設a＝＝＝＝
＝．∵綈p是綈q的必要不充分條件，
∴q是p的必要不充分條件．
∴a b，∴或，
解得－≤a<0或a≤－4.
故實數a的取值範圍為(－∞，－4]∪.
例4 解 (1)∵x－3＝0，有x－3≤0，∴命題為真；
(2)∵當x＝5時，(x－3)(x－6)≠0，
∴命題為假．
例5 解 p：由ax2－x＋a>0恆成立得
，∴a>2.
q：由<1＋ax對一切正實數均成立，
令t＝>1，則x＝，
∴t<1＋a·，
∴2(t－1)1均成立．
∴2，∴a≥1.
∵p或q為真，p且q為假，∴p與q一真一假．
若p真q假，a>2且a<1不存在．
若p假q真，則a≤2且a≥1，∴1≤a≤2.
故a的取值範圍為1≤a≤2.
例6 解 (1)3≠2，真命題；
(2)5≤4，假命題；
(3)存在乙個實數x，x≤0，真命題；
(4)所有質數都不是奇數，假命題．
必修一第一章章末總結
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