(時間90分鐘，滿分100分)
一、選擇題(本大題共8個小題，每小題5分，共40分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．(2011·天津高一期末)若乙個幾何體的正檢視、側檢視、俯檢視均為圓，則這個幾何體可能是( )
a．圓柱b．圓台
c．圓錐d．球體
解析：由三檢視的特點可以判斷為球體．
答案：d
2．下列四個命題：
①各側面是全等的等腰三角形的四稜錐是正四稜錐；
②底面是正多邊形的稜錐是正稜錐；
③稜錐的所有面可能都是直角三角形；
④四稜錐中側面最多有四個直角三角形．
正確的命題的個數是( )
a．1b．2
c．3d．4
解析：①不能保證所有側稜都相等，②缺少頂點在底面的射影是底面的中心，③④正確．
答案：b
3．球的體積是π，則此球的表面積是( )
a．12b．16π
cd.π
解析：由v球＝π＝πr3，解得r＝2，所以球的表面積為s＝4πr2＝4π×22＝16π.
答案：b
4．已知水平放置的△abc的直觀圖△a′b′c′(斜二測畫法)是邊長為a的正三角形，則原△abc的面積為( )
a. a2b. a2
c. a2d. a2
解析：斜二測畫法中原圖面積與直觀圖面積之比為1∶，則易知s＝(a)2，∴s＝a2.
答案：d
5．若乙個球的內接正方體的表面積為54，則球的表面積是( )
a．27b．18π
c．9d．54π
解析：由正方體的表面積為54，可得正方體的稜長為3，所以正方體的體對角線長為3，即正方體的外接球的半徑為，所以球的表面積為s球＝4π×()2＝27π.
答案：a
6．平行於稜錐底面的截面把稜錐的高分為2∶1的兩部分(從上到下)，則分成的兩部分的體積之比是( )
a．8∶1b．8∶27
c．8∶19d．4∶5
解析：由已知可知，小稜錐與原稜錐的高的比為2∶3，則體積比為8∶27，∴分成的兩部分的體積之比為8∶(27－8)＝8∶19.
答案：c
7．(2011·合肥高一期末)如圖，乙個簡單空間幾何體的三檢視，其正檢視與側檢視是邊長為2的正三角形、俯檢視輪廓為正方形，則全面積是( )
ab.c．12d．8
解析：由三檢視可看出，該幾何體為正四稜錐，且底面邊長為2，側面三角形的高為2，所以全面積s＝4××2×2＋22＝12.
答案：c
8．(2011·興義高一期末)有乙個幾何體的三檢視及其尺寸如下(單位：cm)，則該幾何體的表面積和體積為( )
a．24π cm2,12π cm3b．15π cm2,12π cm3
c．24π cm2,36π cm3d．以上都不正確
解析：由三檢視可知，該幾何體為圓錐，
底面半徑是3 cm，母線長是5 cm，高為4 cm，
所以表面積s＝πr2＋πrl＝9π＋15π＝24π(cm2)，
體積v＝π×32×4＝12π(cm3)．
答案：a
二、填空題(本大題共4個小題，每小題5分，共20分．把答案填寫在題中的橫線上)
9．(2011·合肥高一期末)直觀圖(如右圖)中，四邊形a′b′c′d′為菱形且邊長為2 cm，則在xoy座標中四邊形abcd為________，面積為________cm2.
解析：根據斜二測畫法可以知道，四邊形abcd為矩形，面積s＝2×4＝8 cm2.
答案：矩形 8
10．(2011·淮安高一期末)乙個水平放置的平面圖形的斜二測直觀圖是乙個底角為45°，腰和上底長均為1的等腰梯形，則這個平面圖形的面積是________．
解析：根據斜二測畫法，該平面圖形為直角梯形，上底長為1，直腰為2，下底邊長為1＋2×1×cos45°＝＋1，故面積為s＝[1＋(＋1)]×2＝＋2.
答案：2＋
11．已知球的表面積為20π，球面上有a、b、c三點，如果ab＝ac＝bc＝2，則球心到平面abc的距離為________．
解析：如圖所示，該球的半徑為r，
則s表＝4πr2＝20π，r＝.
設△abc的中心為o′，則bo′＝××2＝2，
∴oo′＝＝1.
答案：1
12．乙個橫放的圓柱形水桶，桶內的水佔底面周長為四分之一，那麼當桶直立時，水的高度與桶的高度比為______．
解析：由題意可知，橫放時水桶底面在水內的面積為(πr2－r2)，v水＝(πr2－r2)h，設水桶直立時水的高度為x，則v水＝πr2x，∴x∶h＝(π－2)∶4π.
答案：(π－2)∶4π
三、解答題(本大題共3個小題，共40分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
13．(本小題滿分12分)畫出下列幾何體的三檢視．
解：圖①為稜臺的模型，圖②是圓台和球組成的幾何體，圖③為圓柱和六稜柱的組合體，這三個幾何體的三檢視如圖所示．
14．(本小題滿分14分)如圖所示，為一建築物的三檢視，現需將其外壁用油漆刷一遍，已知每平方公尺用漆0.2 kg，問需要油漆多少千克？(尺寸如圖所示，單位：
m，π取3.14，結果精確到0.01 kg)
解：由三檢視知建築物為一組合體，自上而下分別是圓錐和四稜柱，並且圓錐的底面半徑為3 m，母線長5 m，四稜柱的高為4 m，底面是邊長為3 m的正方形．
∴圓錐的表面積為πr2＋πrl＝3.14×32＋3.14×3×5＝28.26＋47.1＝75.36(m2)．
四稜柱的乙個底面積為32＝9(m2)，
四稜柱的側面積為4×4×3＝48 (m2)．
∴建築物的外壁面積為75.36－9＋48＝114.36 (m2)．
∴需要油漆114.36×0.2＝22.872≈22.87(kg)．
15．(本小題滿分14分)求稜長為a的正四面體外接球與內切球的半徑．
解：設正四面體a－bcd的高為ao1，外接球球心為o，半徑為r(如圖(1))，
∵正四面體的稜長為a，∴o1b＝a×＝a.
在rt△ao1b中，ao1＝＝＝a.
在rt△oo1b中，oo＝r2－(a)2＝r2－，
∴ao1＝r＋o1o＝r＋＝a.∴r＝a，
即外接球半徑為a.
設內切球半徑為r，球心為o，p為△acd的中心，正四面體的高ao1＝a，o1e＝a，
(圖2)
ae⊥cd於e點，連線o1e、op，如圖(2)，得o1e⊥cd，又切點p為△acd的中心，∴ap＝ae＝a，在rt△apo中，ap2＋op2＝ao2，
即： a2＋r2＝(a－r)2，
∴r＝a，即內切球半徑為a.
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