金融投資分析的主要物件就是**，進一步講就是**的盈利性和風險性，通過對這些**的有效分析，投資者才能進行較正確的投資活動。
但是怎樣衡量所投資的**的盈利性和風險性呢？即使我們能匯出這些**的盈利性和風險性指標，我們怎樣根據這些指標來判斷、比較所投資的**的優劣呢？因為一般說風險與收益共存——收益越高，風險越大，這必須要有乙個（組）標準。
在本章中我們先給出投資機會盈利性和風險性的衡量方法，然後介紹效用函式，在這二者的基礎上， 我們來介紹隨機優勢準則，讀者將會發現這些基礎知識對於閱讀本書後面各章內容來說是不可缺少的。最後作為期望效用的乙個應用，我們給出了重要的merton比率的匯出過程.
§1 投資機會
在金融**投資分析中， 我們把可行的投資物件且類似於工程投資中的專案這一名詞，稱之為投資機會，這樣定義的好處在於無論是一種**或幾種**的組合（事實上後者更重要）我們均稱之為乙個投資機會，這樣比較簡潔。另外，它也部分地反映了投資的不確定的意義，這樣衡量投資的盈利性和風險性，實際就成了投資機會的盈利性和風險性。
描述乙個投資機會的盈利性，通常是用期望收益率來衡量，我們知道，乙個**（或組合）的收益率可表示為：
1-1）
這裡——**第t期末的**
——**第t期初的**
——**在第t期的現金收入（如股息、利息）
如果我們假定只有到第t期期初為止的資訊，即只有是已知的，那麼有
1-2）
顯然它反映了投資的盈利能力。
如果投資者面對的是一組m個**，令第個**的投資收益率為
那麼這m個**的投資收益率向量為r=，則期望值為er=。
描述乙個投資機會的風險通常是用投資收益率的方差來衡量，我們知道隨機變數的方差可表示為
d1-3）
與之間的協方差為
（1-4）
向量r=的協方差矩陣為
1-5）
由於=，所以該矩陣是對稱的。
在金融投資的數理分析中，我們通常是用來表示協方差矩陣dr的。觀察矩陣我們不難證明如下定理：
定理1.1 如果隨機變數之間不存**性相關，則正定。
證明作一隨機變數y=，這裡c是任一m維常數列向量，r=，顯然y是標量，則有
e=e==
=由於e=0意味著y=0，但c是任一列向量，故若y==0即意味著， 之間線性相關，故若之間不存**性相關，則恒有
e=>01-6）
即正定。
進一步研究，我們發現它還有如下性質：
定理1.2 若m維列向量
的數積，那麼有
1-7）
這裡是正定矩陣的最小特徵根。
證明由不等式
我們得就是
由於是對稱矩陣，且是正定的，則存在正交矩陣p，使得為對角矩陣，作正交變換。則有p
pdiag
diagy
上面倒數第1個等式依據的是正交變換的性質：向量經過正交變換後，其模不變。
在金融投資數理化分析中，人們有時也用r的下側方差（lower partial variance，簡記lpv）來描述風險，即如果投資收益率服從連續型分布，設其分布函式為f（r），那麼其下側方差為：
1-8）
如果r服從離散型分布,設其分布為,則其下側方差為
1-9）
由統計知識我們知道，方差（或標準差）是描述隨機變數對某一點（均值）的背離程度的，這裡的背離既包括從下側方向（即小於均值方向）的背離，也包括從上側方向的背離，如果隨機變數r是一類正向指標（即數值越大越好），則我們希望這種上側背離越大，下側背離越小越好，而由（1-8），我們可出它恰恰反映了隨機變數對任一點下側方向的背離，所以它也能較好地刻劃出投資的風險性。
還有人用概率來描述風險，如domar認為：如果某一投資機會的最小容許值用r0表示，則我們就可用p大小來描述投資風險，很顯然，投資者是不喜歡具有較大的p值的投資機會的。
事實上，我們對風險有很多種度量方法，可以採用乙個一般的數學度量——範數來總括之，而方差點（或標準差）只是它的乙個特例。關於這個問題，我們將在以後章節討論。
如上所述，當投資者面對一組具有期望收益率er和協方差矩陣的m個**時，我們就說投資者面對著一組投資機會，或乙個投資機會集。如果er和協方差矩陣給出，我們則稱其為乙個常數投資機會。如何在這個集合中找出乙個最優的投資機會是金融投資分析的乙個主要任務。
我們已經敘述了投資機會的盈利性和風險性的理論基礎，現在我們來看看如何在實際應用中根據樣本資料來匯出投資收益率r的期望、方差等統計量的估計值。
我們知道，由於未來的收益不確定，一般來說投資收益率r不是確定的，而是乙個服從某種分布的隨機變數，考慮到實用性，假定r是離散型隨機變數，r=ri發生的概率是hi,於是r的期望值——期望收益率和方差分別為
1-10）
但是由於r是未來的收益率，受各種因素影響，所以這個隨機變數的真實分布一般是不知道的，故我們必須對其期望和方差進行估計，一般來說，要進行這種估計，首先要有這樣乙個假設，即未來各年的收益率的分布f（r）是一樣的。於是，如果有乙個收益率的時間序列的乙個實現值（n為觀察的時點數），那麼該收益率的抽樣均值為
我們就可用來估計er.
例1.1 下表是乙個普通收益率的時間序列
表1-1
根據前述道理,我們可計算出這種**收益率的樣本均值為
5%和期望收益率一樣，對於其方差，我們一般也不知道，人們通常是用抽樣方差
1-11）
來估計收益率的真實方差的，注意這裡的不能用來代替，因為要考慮自由度損失，是無偏估計。
在實際工作中，這樣計算抽樣方差一般是比較繁瑣的，所以我們可將換成另一種形式
=1-12）
其中=以上我們介紹了單一**收益率的期望和方差的估計方法，但是這些方法並不能描述**收益率之間的相互關係。事實上這些相互關係是存在的。如a公司和b公司的產品是相互替代的，那麼如a公司**看好（收益率增大），則b公司的收益率一定會下降，反之亦然，如a公司和b公司的產品是相互補充的，那麼它們的**收益率一定會同公升，同降。
因此，我們還要研究它們的協方差和相關係數的樣本估計。
由於我們假定r均為離散型隨機變數，因此，如果ra的rb的聯合分布為p==hi
那麼a**和b**收益率之間的協方差就為
1-13）
需要說明的是，有時為了運算清楚，ra和rb之間的協方差用符號cov(ra, rb)來表示，實際上在前面，這兩個符號已在互動使用了。
由（1-13）式，我們不難發現，如果兩**票收益率之間的協方差為正數，則說明當一**收益率大於它的期望時，另一**收益率很可能也大於其期望值，反之亦然，如果它們之間的協方差為負數，則當一種**的收益率大於它的期望值時，另一**收益率很可能會小於其期望值。
在實際中，我們並不知道ra和rb的聯合分布，所以只能採取抽樣的方法來對進行估計，即對乙個ra和rb的二度時序樣本進行估計，由此我們可得到的估計為
仿上，我們可同樣將此式化簡為
1-14）
其中例1.2 下表表示兩**票在5個月內的收益情況，試求它們之間的協方差
表1-2
解根據（1-14） 我們不難得到
0.0017
我們知道，協方差在一定程度上描述了投資收益率之間的相互影響，但理論上指出，這種描述是有缺陷的，其主要原因在於它們會受到各自單位的影響，譬如說有甲、乙兩組**，對每個組的收益率都觀察到5個點，
如圖(1-1)，
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第一章投影基本知識
第一部分點與直線 一 已知各點的空間位置，畫出其投影圖 尺寸由立體圖量取，並取整 知識點 點的投影規律 1 1 點的投影規律 一般點 投影軸上點 投影面內點 高平齊 z 長對正 x 寬相等 y 相對原點 2 2 立體圖的畫法 軸向測量 軸向平行作圖法 各線都分別平行於軸線 3 3 答案見下圖 二 已...
第一章基本知識要點
班級姓名 1 測量是將 與 進行比較的過程。測量長度的常用工具是 長度的國際單位制單位是 測量液體體積的常用工具是 液體體積的常用單位是 和 固體體積的常用單位是 測量溫度的常用工具是 常用的溫度單位是 測量質量的常用工具是 質量的國際單位制單位是 測量時間的常用工具是 常用的時間單位是 2 刻度尺...
第一章石油的基本知識
四 烯烴 烯烴較相同碳原子數的烷烴相比，氫原子數量少，不能滿足碳的四價需要，所以分子中碳與碳原子之間有雙鍵連線，為不飽和烴。烯烴的分子通式是cnh2n,二烯烴的分子通式是cnh2n 2。烯烴 二烯烴由於氫不能滿足碳的四價需要，則其安全性最差，在一定條件下很容易氧化生成高分子黏稠物，特別進行加成反應 ...