複習課:導數及其綜合應用（2）
教學目標
重點：定積分的計算和簡單應用。
難點：利用定積分求平面區域圍成的面積.
能力點：培養學生的分析問題解決問題的能力、抽象思維能力.
教育點：提高學生的認知水平，綜合解題能力，為學生構建完整的數學知識結構.
自主**點：例題及變式的解題思路的探尋.
易錯點：學生在計算上容易出錯；求函式的原函式時容易出錯
學法與教具
1.學法：講授法、討論法. 2.教具：多**.
一、【知識結構】
二、【知識梳理】
1、定積分概念
定積分定義：如果函式在區間上連續，用分點，將區間等分成幾個小區間，在每乙個小區間上任取一點，作和，當時，上述和無限接近某個常數，這個常數叫做函式在區間上的定積分，記作，即，這裡、分別叫做積分的下限與上限，區間叫做積分區間，函式叫做被積函式，叫做積分變數，叫做被積式.
2、定積分性質
（1）；
（2）（3）
3、微積分基本定理
一般地，如果是在上有定義的連續函式，是在上可微，並且，則，這個結論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓—萊布尼茲公式，為了方便，常常把，記作，即.
4．、常見求定積分的公式
（12）（c為常數）
（34）
（56）
（7）三、【範例導航】
題型一、定積分的計算
例1 計算常見函式的定積分
（123）
【分析】根據微積分基本定理，只須由求導公式找出導數為，，的函式就可，這就要求基本求導公式非常熟悉.
【解答】（解：（1）
（2）（3）【點評】簡單的定積分計算只需熟記公式即可
變式訓練：
1． 計算
答案：8.
2 答案：78.
例2計算:
【分析】：我們要直接求的原函式比較困難，但我們可以將先變式化為，再求積分，利用上述公式就較容易求得結果，方法簡便易行.
【解答】：
【點評】較複雜函式的積分，往往難以直接找到原函式，常常需先化簡、變式、換元變成基本初等函式的四則運算後，再求定積分
例3計算分段函式的定積分
求【分析】：首先是通過絕對值表示的分段函式，同時又是函式復合函式與的表示式，所以我們在計算時必須先把積分區間分段，分別求定積分.
解析：【點評】若被積函式含絕對值，往往化成分段函式分段積分.
變式訓練:
設則=（ ）
答案：題型二、求平面區域的面積
例1、求在上，由軸及正弦曲線圍成的圖形的面積.
【分析】：因為在上，，其圖象在軸上方；在上，其圖象在軸下方，此時定積分為圖形面積的相反數，應加絕對值才表示面積.
【解答】：作出在上的圖象如右
與軸交於0、、，所
求積【點評】利用定積分求平面圖形的面積的步驟如下：
第一步：畫出圖形，確定圖形範圍
第二步：解方程組求出圖形交點座標，確定積分上、下限
第三步：確定被積函式，注意分清函式圖形的上、下位置
第四步：計算定積分，求出平面圖形面積
2. 求曲線，及所圍成的平面圖形的面積.
【分析】：圖形由兩部分構成，第一部分在區間上，，及圍成，第一部分在上由與圍成，所以所求面積應為兩部分面積之和.
【解答】：作出，及的圖如右
解方程組得
解方程組得
所求面積
答：此平面圖形的面積為
題型三、定積分的實際應用
汽車每小時54公里的速度行駛，到某處需要減速停車，設汽車以等減速度3公尺/秒剎車，問從開始剎車到停車，汽車走了多少公里？
【分析】汽車剎車過程是乙個減速運動過程，我們可以利用定積分算出汽車在這個過程中所走過的路程，計算之前應先算出這一過程所耗費的時間和減速運動變化式.
【解答】：由題意，千公尺/時公尺/秒
，令得15－3t=0，t=5，即5秒時，汽車停車.
所以汽車由剎車到停車所行駛的路程為
公里答：汽車走了0.0373公里.
【點評】若作變速直線運動的物體的速度關於時間的函式為，由定積分的物理意義可知，作變速運動物體在時間
內的路程s是曲邊梯形（陰影部分）的面積，
即路程；如果
時，則路程.
四、【解法小結】
1. 簡單的定積分計算只需熟記公式即可；較複雜函式的積分，往往難以直接找到原函式，常常需先化簡、變式、換元變成基本初等函式的四則運算後，再求定積分；若被積函式含絕對值，往往化成分段函式分段積分
2. 利用定積分求平面圖形的面積的步驟如下：
第一步：畫出圖形，確定圖形範圍
第二步：解方程組求出圖形交點座標，確定積分上、下限
第三步：確定被積函式，注意分清函式圖形的上、下位置
第四步：計算定積分，求出平面圖形面積
.4.在解決等差等比數列的綜合題時重點在於讀懂題意正確利用定義、通項公式及前項的和公式及關係是解決問題的關鍵.
5.在數列問題中注意函式與方程的思想、分類討論的思想的應用.
五、【布置作業】
必做題：
12. ．
34. 求由拋物線與直線及所圍成圖形的面積.
必做題答案：1. 78 2. 34.，
選做題：
1. 已知求函式的最小值.
【分析】：這裡函式、都是以積分形式給出的，我們可以先用牛頓萊布尼茲公式求出與，再用導數求法求出的最小值.
【解答】：
當時，最小=1
當時，最小=1
【點評】這是一道把積分上限函式、二次函式最值，引數混合在一起綜合題，重點是要分清各變數關係. 積分、導數、函式單調些，最值、解析式交匯出題是近幾年高考命題熱點，把它們之間的相互關係弄清是我們解此類問題的關鍵。
2. 一物體按規律做直線運動，式中為時間t內通過的距離，媒質的阻力與速度的平方成正比（比例常數為），試求物體由運動到時，阻力所做的功.
【分析】：要求變力所做的功，必須先求出變力對位稱的變化函式，這裡的變力即媒質阻力，然後根據定積分可求阻力所做之功.
【解答】：因為物體的速度
所以媒質阻力
當時，，當時，，
阻力所做功
六、【教後反思】
1.本教案的亮點是：例題選擇典型，關注定積分的基礎知識和利用定積分求封閉圖形面積的一般思路與方法，講練結合，學生落實較好.
最後，在作業的布置上，安排了必做題、選做題充分體現了分層作業，必做題對學生理解、鞏固知識能夠起到良好的作用.
2.本教案的弱項是：在一些具體問題中，學生在定積分的計算上容易出錯.
第一章導數及其應用小結與複習 20
一 教學目標 重點 1 通過例題講解複習導數及其應用的知識點,總結各種題型的解法 2 理解導函式與函式單調性 函式的極值與最值的關係.難點 1 可導函式在某點取得極值的必要條件和充分條件會求一些實際問題的最大和最小值.2 導數在解決問題中的應用,學生自己對綜合題的分析和解決 能力點 導數在研究恆成立...
23 第一章導數及其應用小結與複習 1
複習課 導數及其應用綜合 1 教學目標 重點 通過例題講解複習導數及其應用的知識點，總結各種題型的解法.難點 導數在解決問題中的應用 學生自己對綜合題的分析和解決.能力點 數形結合 計算能力 歸納 轉化與劃歸能力 分析問題與解決問題的能力.教育點 提高學生的認知水平，培養學生自己解決問題的能力，為學...
選修2 2第一章導數及其應用
班級姓名評分 一 選擇題 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 每小題5分，共40分 1 下列函式中,在上為增函式的是 abcd 2 a 在 單調增加 b 在 單調減少 c 在 1，1 單調減少，其餘區間單調增加 d 在 1，1 單調增加，其餘區間單調減少 3 當x 0時，有不等式 4...