一、【教學目標】
重點：1．通過例題講解複習導數及其應用的知識點,總結各種題型的解法．
2．理解導函式與函式單調性、函式的極值與最值的關係.
難點：1．可導函式在某點取得極值的必要條件和充分條件會求一些實際問題的最大和最小值.
2．導數在解決問題中的應用,學生自己對綜合題的分析和解決．
能力點：導數在研究恆成立與能成立問題中的應用.培養學生的數形結合、計算能力、歸納、轉化與劃歸能力、分析問題與解決問題的能力.
教育點：提高學生的認知水平,培養學生自己解決問題的能力及綜合解題能力,為學生塑造良好的數學認識結構.
自主**點：在掌握導數相關概念的基礎上進一步**例題及變式的解題思路,總結相關的解題方法進一步鏈結高考．
易錯點：1．在利用導數研究函式的單調性時學生容易忽略定義域．
2．對於含參問題分類討論的標準選擇及討論的完備性.
拓展點:導數在實際生活中的應用,進一步掌握導數解決實際問題的方法和步驟.
二、【知識梳理】
（一）全章知識結構
（二）知識梳理
1．導數的定義及利用導數的幾何意義求曲線的切線方程(注意在這點和過這點的區別):
（1）切點處的導數等於切線的斜率.
（2）切點既在曲線上又在切線上．
2．利用導數研究函式的單調性與極值、最值:
（1）（單調性的充分條件)設函式在某個區間內可導,如果,則為增函式；
如果,則為減函式.
（2）（單調性的必要條件) 設函式在某個區間內可導,如果在該區間上單調遞增(或遞減),則在該區間內(或)．
3．利用導數解決恆成立問題:
（1）分離變數，然後轉化為函式最值問題(有時要構造新函式)；
（2）利用影象，特別是二次函式問題.
4．利用導數證明不等式:首先要構造新函式,然後研究函式的單調性,進而轉換為函式的最值.
三、【範例導航】
題型一:導數的幾何意義及其應用
【考點分析】: 1. 題型既有選擇題、填空題,也有解答題.主要考察利用導數的幾何意義求切線方程導數的有關計算,尤其是簡單的復合函式求導導數與解析幾何相結合.
2. 解決此類問題應熟練掌握基本初等函式的導數及導數的四則運算.求切線時,應明確求曲線在點處的切線與求過點的切線有區別.
例1．（1）若曲線在點的切線方程平行於軸，則________.
（2）若直線是曲線的切線，則實數的值為________.
（3）在平面直角座標系中，點在曲線上，且在第二象限內，已知曲線在點處的切線斜率為,則點的座標為________.
【分析】：（1）本題是已知切線的斜率求引數,直接對求導,把點代入即可.
（2）本題是已知切線方程不知切點因此首先設出切點,代入導函式,求解切點座標,把切點座標代入切線方程即可.
（3）本題是已知切線的斜率求切點座標,注意有條件限制.
【解答】：（1）由斜率,即當時,解得.
（2）設切點為,由,得切線的斜率,故切線的方程為,整理得,與比較得,
故.（3）由曲線,得,根據導數的幾何意義,得,所以,即: 點的座標為.
【點評】:此例題為考查導數幾何意義的簡單應用,屬於比較基本的題型.
變式訓練1：已知,若，則在點處的切線方程．
2．已知曲線.
（1）求曲線在點處的切線方程；
（2）求曲線過點處的切線方程；
（3）求斜率為的曲線的切線方程.
3．求曲線在點處的切線與直線和圍成的三角形的面積．
【分析】：1.本題是一道簡單的已知切線斜率座標和切線方程的題目.
2.求曲線在點處的切線與求過點的切線有區別．在點處的切線，點必為切點求過點的切線，點未必是切點．應注意概念的區別，其求法也有所不同．
3.本題是利用導數幾何意義結合數形結合方法求面積，側重基礎知識的落實.
【解答】：1.由,所以.由，得,所以在點處的切線方程為．
2.（1）因為在曲線上,且,所以,在點處的切線的斜率.
所以,曲線在點處的切線方程為,即:.
（2）設曲線與過點的切線相切於點,
則切線的斜率.
所以,切線方程為,即
因為點在切線上,所以,即, ,
,所以,解得
故所求切線方程為或.
（3）設切點為,則切線的斜率,即.所以,切點為或.
即:切線方程為或.
3. 所求三角形面積為:.
【點評】通過第2題讓學生正確區分「在點」與「過點」的不同．進一步加深對導數幾何意義的理解；此處兩個練習為考查曲線的切線的題目，屬於對導數幾何意義理解的題型.
題型二: 利用導數判斷函式的單調性
【考點分析】: 1. 在解決導數問題時,首先要確定函式的定義域,對於書寫單調區間時可以用「和」或「,」隔開,絕對不能用「」連線.
2. 借助導數研究函式的單調性,尤其是研究含有等線性函式(或復合函式)的單調性,是近幾年高考的重點.其特點是導數的符號一般由二次函式來確定；經常同一元二次方程、一元二次不等式結合,融分類討論,數形結合於一體.
例2.已知，函式（，為自然對數的底數）.
（1）當時,求函式的單調遞增區間；
（2）若函式在上單調遞增,求的取值範圍；
（3）函式是否為上的單調函式,若是,求出的取值範圍，若不是，請說明理由.
【分析】：（1）重點考查了用導數求單調區間的步驟（2）（3）中要轉化為或恆成立問題,並注意討論.
【解答】：
（1）當時，.令得，，
所以單調增區間是.
（2）因為函式在上單調遞增，
所以在上恆成立，即在上恆成立
（分離變數法）在上恆成立.
令，(構造新函式)
則是單調增函式.所以，故.
（3）假設為上的單調函式，則或在上恆成立.
又得二次項係數為負數，故只需即可.
而，所以不存在使得為上的單調函式.
【點評】:求單調區間時只需或，而在已知單調性求引數範圍一般要保證或對於（2）中的恆成立問題也可以選擇不分離變數或者是數形結合，要注意引導學生比較幾種方法的優劣，主動選擇.
變式訓練：（2010山東）已知函式
（1）當時，求曲線在點處的切線方程；
（2）當時，討論的單調性.
【答案提示】:（1）
（2）當時，函式在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，函式在上單調遞減，
當時，函式在上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減.
題型三: 利用導數研究函式的極值和最值
【考點分析】: 1.題型既有選擇題、填空題,也有解答題,屬於中檔或中檔偏難的題目,常與函式單調性、函式的圖象等融合在一起,研究方程根的情況、不等式的證明等.
2. 極值與最值是兩個迥然不同的概念,前者是函式的區域性性質,後者是函式的整體性質.函式的極值可以有多個,但最值只有乙個,極值只能在區間內取得,而最值還可以在端點處取得,最值只要不在端點處,必是乙個極值.
3.判斷極值是否存在,務必把握以下原則:
（1）確定函式的定義域.（2）解方程的根.（3）驗證的根兩側的符號:
若左正右負,則在此根處取得極大值； 若左負右正,則在此根處取得極小值；即:導數為零的點未必是極值點,這一點是解題時的主要失分點,學習時務必引起注意.
例3.已知函式.
（1）設,求的極值；
（2）若,且當時,恆成立,試確定的取值範圍.
【分析】：（1）這一步是簡單的求極值問題,把代入求導即可；（2）含引數問題,注意引數的取值範圍.
【解答】：（1）當時, ,且.
由,得或.當時,；當時,；
因此是函式的極大值點,極大值為
當時,；當時,；
因此是函式的極小值點,極小值為
（2）的圖象是一條開口向上且對稱軸為的拋物線,
因此,若,則在上單調遞增,
所以在上的最小值為；最大值為.
由得,於是且.
由於,解得.
若,則,故當時,不成立.
所以, 當時,恆成立時的取值範圍為.
【點評】: （1）明確極值點存在的充要條件；（2）分類討論引數一要切合題意,二要不重不漏.
變式訓練：1．設為實數，函式.
（1）求的單調區間與極值
（2）求證：當且時，.
2.已知函式，
（1）若，求函式的極值；
（2）設函式，求函式的單調區間；
（3）若在（）上存在一點，使得成立，求的取值範圍.
【分析】：這兩題主要考察了了函式單調性、極值的求法，利用導數證明單調性；含引數的函式單調區間的求解,對於含字母引數的不等式進行了必要的分類討論,特別強調重視定義域在解題中的重要作用.
【解答】：１．遞減區間，遞增區間，極小值．
具體過程：（1）由，知.令=0,得.
於是當變化時, ,的變化情況如下表：
故的單調遞減區間是,單調遞增區間是,
在處取得極小值,極小值為＝.
（2）證明:設.於是.
由（1）知當時,最小值為.
於是對任意,都有,所以在內單調遞增，
於是當時,對任意,都有．
而,從而對任意,都有，即,故.
2．（1）的定義域為,當時
所以在處取得極小值
（2當時，即時，在上，在上，
所以在上單調遞減，在上單調遞增．
②當，即時，在上，
所以，函式在上單調遞增
（3）在上存在一點，使得成立，即
在上存在一點，使得，即
函式在上的最小值小於零.
由（2）可知
①即，即時，在上單調遞減，
所以的最小值為，由可得，
因為，所以
②當，即時，在上單調遞增，
所以最小值為，由可得．
③當，即時， 可得最小值為，
因為，所以，，
此時，不成立
綜上討論可得所求的範圍是：或.
四、【解法小結】
1．導數法是求解函式單調性、極值、最值、引數等問題的有效方法,應用導數求單調區間關鍵是求解不等式的解集
2．最值問題關鍵在於比較極值與端點函式值的大小
3．引數問題涉及的有最值恆成立的問題、單調性的逆向應用等,求解時注意分類討論思想的應用.
【設計意圖】通過師生共同反思，優化學生的認知結構，並讓學生按這一模式進行小結，培養學生學習——總結——學習——反思的良好習慣.
五、【布置作業】
必做題：
1．若曲線的一條切線與直線垂直，則的方程為（ ）
2．已知直線與曲線有公共點，則的最大值為
d． 3．若上是減函式，則的取值範圍是
24 第一章導數及其應用小結與複習 2
複習課 導數及其綜合應用 2 教學目標 重點 定積分的計算和簡單應用。難點 利用定積分求平面區域圍成的面積.能力點 培養學生的分析問題解決問題的能力 抽象思維能力.教育點 提高學生的認知水平，綜合解題能力，為學生構建完整的數學知識結構.自主 點 例題及變式的解題思路的探尋.易錯點 學生在計算上容易出...
23 第一章導數及其應用小結與複習 1
複習課 導數及其應用綜合 1 教學目標 重點 通過例題講解複習導數及其應用的知識點，總結各種題型的解法.難點 導數在解決問題中的應用 學生自己對綜合題的分析和解決.能力點 數形結合 計算能力 歸納 轉化與劃歸能力 分析問題與解決問題的能力.教育點 提高學生的認知水平，培養學生自己解決問題的能力，為學...
選修2 2第一章導數及其應用
班級姓名評分 一 選擇題 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 每小題5分，共40分 1 下列函式中,在上為增函式的是 abcd 2 a 在 單調增加 b 在 單調減少 c 在 1，1 單調減少，其餘區間單調增加 d 在 1，1 單調增加，其餘區間單調減少 3 當x 0時，有不等式 4...