必修一第二章函式
一．函式
1函式的概念：
傳統定義：在某乙個變化過程中有兩個變數和，如果對於某個範圍內的任乙個的值，都有唯一的值與之對應，則稱是的函式，叫做自變數，叫做因變數。
現代定義：設a、b是非空的數集，如果按照某個確定的對應關係，使對於集合a中的任意乙個數，在集合b中都有唯一確定的數和它對應，那麼就稱：a→b為從集合a到集合b的乙個函式．記作：
=，∈a．其中，叫做自變數，的取值範圍a叫做函式的定義域；與的值相對應的y值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域．
函式的三要素：定義域、值域、對應法則
相同函式的判斷方法：①表示式相同（與表示自變數和函式值的字母無關）；②定義域一致 (兩點必須同時具備)
2定義域：
（1）定義域定義：函式的自變數的取值範圍。
（2）確定函式定義域的原則：使這個函式有意義的實數的全體構成的集合。
（3）確定函式定義域的常見方法：
①若是整式，則定義域為全體實數
②若是分式，則定義域為使分母不為零的全體實數
例:求函式的定義域。
③若是偶次根式，則定義域為使被開方數不小於零的全體實數
例1． 求函式的定義域。
例2． 求函式的定義域。
④對數函式的真數必須大於零
⑤指數、對數式的底必須大於零且不等於1
⑥若為復合函式，則定義域由其中各基本函式的定義域組成的不等式組來確定⑦指數為零,底不可以等於零，如
⑧實際問題中的函式的定義域還要保證實際問題有意義.
（4）求抽象函式（復合函式）的定義域
已知函式的定義域為[0,1]求的定義域
已知函式的定義域為[0,1）求的定義域
函式f(2x-1)的定義域為[0，1)，即0<=x<1
那麼-1<=2x-1<1
即函式f(x)定義域是[-1,1)
所以有:-1<=1-3x<1
解得:03值域 :
（1）值域的定義：與相對應的值叫做函式值，函式值的集合叫做函式的值域。
（2）確定值域的原則：先求定義域
（3）常見基本初等函式值域：
一次函式、二次函式、反比例函式、指數函式、對數函式、三角函式（正余弦、正切）
（4）確定函式值域的常見方法：
①直接法：從自變數的範圍出發，推出的取值範圍。
例：求函式的值域。
解：∵，∴，
∴函式的值域為。
②配方法：配方法是求「二次函式類」值域的基本方法。形如的函式的值域問題，均可使用配方法。
例：求函式（）的值域。
解：，∵，∴，∴
∴，∴∴函式（）的值域為。
③分離常數法：分子、分母是一次函式的有理函式，可用分離常數法，此類問題一般也可以利用反函式法。
例：求函式的值域。
解：∵，
∵，∴，
∴函式的值域為。
④換元法：運用代數代換，獎所給函式化成值域容易確定的另一函式，從而求得原函式的值域，形如（、、、均為常數，且）的函式常用此法求解。
例：求函式的值域。
解：令（），則，
∴∵當，即時，，無最小值。
∴函式的值域為。
⑤判別式法：把函式轉化成關於的二次方程；通過方程有實數根，判別式，從而求得原函式的值域，形如（、不同時為零）的函式的值域，常用此方法求解。
例：求函式的值域。
解：由變形得，
當時，此方程無解；
當時，∵，∴，
解得，又，∴
∴函式的值域為
值域為練習：求函式的值域
4.函式的表示方法
（1）解析法、列表法、圖象法
（2）求函式解析式的常見方法：
①換元法
例：已知, 求的解析式.
例：若,求.
例：已知求.
②解方程組法
例：設函式滿足+2 f（）= （≠0），求函式解析式.
一變：若是定義在r上的函式，，並且對於任意實數，總有求。（令x=0，y=2x）
③待定係數法
例：已知是一次函式，並且求
解：設，則
則，解得或
故所求一次函式解析式或
④配變數法
例：已知, 求的解析式.
例：若,求.
⑤特殊值代入法（取特殊值法）
例：若,且，
求值.例：設是上的函式，且滿足並且對任意實數有
求的表示式
解：設則
即或設則⑥利用給定的特性（奇偶性週期性）求解析式.
例：對∈r,滿足,且當∈[－1,0]時,求當∈[9,10]時的表示式.
解析：，則則，t=2
5.分段函式
(1)定義：在函式的定義域內，對於自變數的不同取值區間，有著不同的對應關係，這樣的函式叫分段函式。
(2)注意：分段函式的定義域是各段定義域的交集，值域是各段值域的並集；
分段函式是乙個函式，而不是幾個函式；
寫分段函式定義域時，區間端點不重不漏。
6.復合函式
如果則稱為、的復合函式。
7.函式圖象問題
（1）熟悉各種基本初等函式的圖象
如：，，，，，
（2）圖象變換
平移：對稱：
翻摺：注意：帶絕對值的函式去絕對值方法有分情況討論法，平方法，圖象法
二．函式的性質
1.函式的單調性(區域性性質)
（1）增減函式和單調區間
設函式的定義域為i，如果對於定義域i內的某個區間d內的任意兩個自變數，當時，都有，那麼就說在區間d上是增函式.區間d稱為的單調增區間.
如果對於區間d上的任意兩個自變數的值當時，都有，那麼就說在這個區間上是減函式.區間d稱為的單調減區間.
注意：函式的單調性是函式的區域性性質；
（2）圖象的特點
如果函式在某個區間是增函式或減函式，那麼說函式在這一區間上具有(嚴格的)單調性，在單調區間上增函式的圖象從左到右是上公升的，減函式的圖象從左到右是下降的.
（3）函式單調區間與單調性的判定方法
(a) 定義法：
任取∈d，且；
作差；變形（通常是因式分解和配方）；
定號（即判斷差的正負）；
下結論（指出函式在給定的區間d上的單調性）．
(b)圖象法(從圖象上看公升降)
(c)復合函式的單調性
復合函式的單調性與構成它的函式，的單調性密切相關，其規律：「同增異減」
注意：函式的單調區間只能是其定義域的子區間 ,不能把單調性相同的區間和在一起寫成其並集.
例：是否存在實數使函式在閉區間上是增函式？如果存在，說明可取哪些值；如果不存在，說明理由。
解：當》1時，為使函式在閉區間上是增函式
只需在閉區間上是增函式，故
得，又由》1，得》1
當0<<1時，為使函式在閉區間上是增函式
只需在閉區間上是減函式，故
無解綜上，當時，在閉區間上是增函式
（d）常用結論
● 函式與函式的單調性相反；
● 函式與具有相同的單調性；
● 當時，函式與具有相同的單調性，時，它們具有相反的單調性；
● 若則函式與具有相反的單調性；
● 公共區間，增函式+增函式=增函式、減函式+減函式=減函式、
增函式-減函式=增函式、減函式-增函式=減函式
● 若且與都是增（或減）函式，則也是增（或減）函式；
若且與都是增（或減）函式，則也是增（或減）函式；
● 若，且在定義域上是增函式，則也是增函式，也是增函式。
● 常見函式的單調性（一次函式、二次函式、反比例函式、對勾函式）
（e）利用函式的單調性求函式的最值
確定函式的定義域；將復合函式分解為基本的初等函式；分別判斷其單調性；根據同增異減判斷
例：求函式在區間[2,6]上的最大值和最小值
2．函式的奇偶性（整體性質）
（1）函式奇偶性定義
一般地，對於函式的定義域d內的任意乙個，都有,且（或），那麼就叫做奇（或偶）函式．
（2）圖象的特徵
偶函式的圖象關於y軸對稱；奇函式的圖象關於原點對稱．
（3）利用定義判斷函式奇偶性的步驟：
首先確定函式的定義域，並判斷其是否關於原點對稱；
確定與是否成立；
作出相應結論：若或，則是偶函式；
若或，則是奇函式．
注意：函式定義域關於原點對稱是函式具有奇偶性的必要條件．首先看函式的定義域是否關於原點對稱，若不對稱則函式是非奇非偶函式.若對稱，再根據定義判定;或由變式或來判定;利用定理，或借助函式的圖象判定 .
（4）函式奇偶性的重要結論
● 具有奇偶性的函式，其定義域關於原點對稱；
● 、是定義域分別為的奇函式，那麼在上， +是奇函式， 是偶函式。
● 類似結論：奇奇=奇、奇×奇=偶、
偶偶=偶、偶×偶=偶
奇×偶=奇
● 若是具有奇偶性的單調函式，則奇（偶）函式在正負對稱區間上的單調性是相同（反）的。
● 若的定義域關於原點對稱，則是偶函式，是奇函式。（）
● 若既是奇函式又是偶函式，則
● 復合函式的奇偶性：內層是偶函式，則是偶函式
（不用死記硬背） 內層是奇函式，外層是奇函式，則是奇函式
外層是偶函式，則是偶函式
（5）函式奇偶性與單調性的關係
● 奇函式在上是增函式，在上也是增函式；
● 偶函式在上是增函式，在上是減函式。
例：函式是奇函式，且當時是增函式，若，求不等式的解集。
解：已知不等式可化為，
因為在上遞增，所以
得，或又由是奇函式，它在關於原點對稱的兩個區間上的單調性相同，
且，得，即有，無解。
綜上，原不等式的解集是
例：設奇函式上為增函式，且，則不等式的解集為？
解：由是奇函式得，所以
即或，由奇函式上為增函式，故上為增函式
由知可化為得，同理
可化為得
解集為3.函式的週期性
（1）週期函式的定義
若函式對於定義域中任意，存在不為零的常數，使得恆成立，則為週期函式，為的週期
（2）有關週期性的一些結論
● 若的週期為，則也是的週期
● 若週期函式的週期是所有正週期中最小的，則為的最小正週期
● 若函式滿足
，則比以為週期，反之不成立。
證明提示：①令=；②令；③令。
（3）函式的對稱性
● 滿足條件的函式的圖象關於直線對稱；
● 若滿足的函式的圖象關於點對稱
● 點關於軸的對稱點為，函式關於軸的對稱曲線方程為
● 點關於軸的對稱點為，函式關於軸的對稱曲線方程為
● 關於原點的對稱點為，函式關於軸的對稱曲線方程為
● 函式與函式關於直線對稱。
注意：，對稱軸求法：；
與的對稱軸求法：，
三、一次函式（略）與二次函式
1、二次函式的定義及表示式
（1）定義：函式叫做二次函式，它的定義域是r
（2）表示式：一般式、頂點式、兩根式
2、二次函式的圖象與性質
（1）圖象：拋物線：開口方向、對稱軸、頂點座標；
（2）性質：定義域、值域、單調性、奇偶性、最大值最小值。
3、二次函式在閉區間上的最值（分情況討論對稱軸與閉區間的位置關係）
必修一第二章知識點總結
2 電離方程式 電解質在水溶液或熔融狀態下離解成自由移動的離子的過程要。注意配平，原子個數守恆，電荷數守恆。如 al2 so4 3 2al3 3so42 3 從電離的角度認識酸 鹼 鹽 酸 電離時生成的陽離子全部是氫離子的化合物 電離時生成的陰離子全部是氫氧根離子的化合物 鹽 電離時能生成金屬陽離子...
生物必修一第二章知識點總結
第1節 細胞中的元素和化合物 一 細胞中的元素含量 鮮重 主要元素是 c h o n p s 基本元素是 c h o n 最基本元素 c 生命的核心元素，沒有碳就沒有生命 大量元素 c h o n p s k ca mg 微量元素 fe mn b zn mo cu 細胞鮮重最大的元素是 o 其次是c...
物理必修一第二章知識點
6 加速度 用量描述速度變化快慢的的物理量，其定義式為。加速度是向量，其方向與速度的變化量方向相同 注意與速度的方向沒有關係 大小由兩個因素決定。易錯現象 1 忽略位移 速度 加速度的向量性，只考慮大小，不注意方向。2 錯誤理解平均速度，隨意使用。3 混淆速度 速度的增量和加速度之間的關係。二 勻變...