（一）教學目的
1.理解導數和微分的概念及其幾何意義，會用導數描述一些簡單的實際問題.
2.熟練掌握導數和微分的四則運算法則和基本初等函式的求導公式.
3.熟練掌握復合函式、隱函式以及由引數方程所確定的函式的一階導數的求法.
4.了解高階導數的概念，熟練掌握初等函式的二階導數的求法.
5.了解可導、可微、連續之間的關係.
（二）教學重點導數的概念及其幾何意義，計算導數的方法，初等函式的
二階導數的求法.
教學難點求復合函式和隱函式的導數的方法.
（三）教學內容
1.導數的概念
⑴導數設函式在點的某一鄰域內有定義，當自變數在點處有增量，仍在該鄰域內時，相應地，函式有增量，若極限
存在，則稱在點處可導，並稱此極限值為在點處的導數，記為，也可記為，即.
若極限不存在，則稱在點處不可導.
若固定，令，則當時，有，所以函式在點處的導數也可表示為
.⑵ 左導數與右導數
① 函式在點處的左導數
＝.② 函式在點處的右導數
＝.③函式在點處可導的充分必要條件是在點處的左導數和右導數都存在且相等．
２．導數的幾何意義
⑴曲線的切線
在曲線上點的附近，再取一點，作割線，當點沿曲線移動而趨向於時，若割線的極限位置存在，則稱直線為曲線在點處的切線．
⑵導數的幾何意義
函式在點處的導數表示曲線在點處的切線斜率.
關於導數的幾何意義的三點說明:
①曲線上點處的切線斜率是縱標變數對橫標變數的導數.這一點在考慮用引數方程表示的曲線上某點的切線斜率時優為重要.
②如果函式在點處的導數為無窮(即,此時在處不可導),則曲線上點處的切線垂直於軸.
③函式在某點可導幾何上意味著函式曲線在該點處必存在不垂直於軸的切線.
3.變化率
函式的增量與自變數增量之比，在自變數增量趨於零時的極限，即導數.在科學技術中常常把導數稱為變化率(即因變數關於自變數的變化率就是因變數關於自變數的導數).變化率反映了因變數隨著自變數在某處的變化而變化的快慢程度.
4.可導與連續的關係
若函式在點處可導，則在點處一定連續.但反過來不一定成立，即在點處連續的函式未必在點處可導.
5. 高階導數
1 階導數
函式的一階導數仍然是的函式，則將一階導數
的導數稱為函式的二階導數，記為或或，即= 或 =.
⑵階導數
階導數的導數稱為階導數（=3，4，, ,）分別記為或
或, , ,，
二階及二階以上的導數稱為高階導數.
6 . 微分
⑴微分的定義
如果函式在點處的改變量，可以表示成
其中是比高階的無窮小，則稱函式在點處可微，稱為的線性主部，又稱為函式在點處的微分，記為或，即.
⑵微分的計算
，其中,為自變數.
⑶一階微分形式不變性
對於函式,不論是自變數還是因變數,總有成立.
7. 求導公式微分公式
表3.1給出了基本初等函式的求導公式及微分公式.
表3.1求導與微分公式
對求導公式作如下兩點說明:
(1) 求導公式表示函式對自變數的導數，即
=,(2) 求導公式表示函式對函式的導數，即
=.8. 求導法則微分法則
⑴求導法則,微分法則見下表3.2
⑵復合函式求導法則
⑶引數方程求導法則
⑷隱函式求導法
⑸對數求導法
表3.2 求導與微分法則表
9. 微分近似公式
（1）微分進行近似計算的理論依據
對於函式,若在點處可導且導數，則當很小時，有函
數的增量近似等於函式的微分, 即有近似公式.
(2) 微分進行近似計算的4個近似公式
設函式在點處可導且導數，當很小時，有近似公式，即
，令，則
特別地，當，很小時，有
10．主要解題方法
（1）用導數的定義求函式導數的方法
例1 求在處的導數.
解由導數的定義知
.例2 求 ，的導數.
解當時， ，
當時， ，
當時，，
所以，，
因此，於是
小結求分段函式的導數時，除了在分界點處的導數用導數定義求之外，其餘點則仍按初等函式的求導公式求得.
（2）用和、差、積、商及復合函式的求導法則求導的方法
例3 設求.解，.
例 4 設求.
解利用復合函式求導法求導，得
.小結若函式變形後能簡化求導運算，應先簡化後再求導，在求高階導數時更要注意這一點.另外，還要注意應用四則運算法則的前提條件是：
函式在點可導，否則法則失效.如在點，用四則運算法則求導，不存在，但由例1知在的導數為0.對於復合函式，要根據復合結構，逐層求導，直到最內層求完，對例4中括號層次分析清楚，對掌握復合函式的求導是有幫助的.
（3）對數求導方法
例 5 已知 = ，求.
解兩邊取對數，得：，
兩邊對同一自變數求導，得，.
小結對數求導法適合兩類函式的求導：（1）冪指函式，（2）函式是由幾個初等函式經過乘、除、乘方、開方構成的.
（4）隱含數的求導法
例 6 已知求.
解兩端對求導，得，
，整理得 ，故，
上式兩端再對求導，得
=，將代入上式，得
.小結在對隱函式求二階導數時，要將的表示式代入中，注意，在的最後表示式中，切不能出現.
（5）由引數方程所確定的函式的求導法
例7 設求.
解 ，
.小結求由引數方程所確定的函式的導數時，不必死記公式，可以先求出微分、，然後作比值，即作微商.求二階導數時，應按復合函式求導法則進行，必須分清是對哪個變數求導.
（6）求函式微分的方法
例8 求函式的微分.
解一用微分的定義求微分， 有
. 解二利用一階微分形式不變性和微分運算法則求微分，得 .
小結求函式微分可利用微分的定義，微分的運算法則，一階微分形式不變性等.利用微分形式不變性可以不考慮變數之間是怎樣的復合關係，有時求微分更方便.
（7）利用微分求近似值
例9 求的近似值.
解設，由近似公式，得
，取 ，則有
.例10 有一批半徑為的球，為減少表面粗糙度，要鍍上一層鋼，厚度為，估計每只球需要用銅多少克？（銅的密度為）
解所鍍銅的體積為球半徑從增加時，球體的增量.故由知，所鍍銅的體積為 ，
質量為.
小結利用公式計算函式近似值時，關鍵是選取函式的形式及正確選取.一般要求便於計算，越小，計算出函式的近似值與精確值越接近.另外，在計算三角函式的近似值時，必須換成弧度.
（8）求曲線的切線方程
例11 求曲線的切線，使該切線平行於直線.
解方程兩端對求導，得 ， ，，
由於該切線平行於直線所以有
， ， ，.
因為切線必在曲線上，所以，將代入曲線方程得，，
解之 ，此時 ，
切點的座標為,，切線的斜率分別為
，，因此得切線的方程分別為
， 即 ，
， 即 .
（9）求函式的變化率
例 12 落在平靜水面上的石頭，產生同心圓形波紋，若最外一圈半徑的增大率總是，問2末受到擾動的水面面積的增大率為多少？
解設最外圈波紋半徑為，擾動水面面積為，則
兩邊同時對求導，得
從而， 又為常數，故（類似於勻速直線運動路程與速度、時間的關係），
因此，故有 .
因此，2末受到擾動的水面面積的增大率為.
小結對於求變化率的模型，要先根據幾何關係及物理知識建立變數之間的函式關係式.若是相關變化率模型，求變化率時要根據復合函式的鏈式求導法，弄清是對哪個變數的導數.
（四）教學手段板書式教學
（五）板書設計
標題主要內容板塊1主要內容板塊2例題及練習
板塊（六）作業：
（七）思考題：
（八）參考資料: 《計算機數學基礎》第二版劉樹利王家玉主編
（九）教學反思
1．本章重點為導數的概念及其幾何意義，計算導數的方法，初等函式
的二階導數的求法，其難點是求復合函式和隱函式的導數方法.
2． 要正確理解導數與微分的概念，弄清各概念之間的區別與聯絡.比
如，可導必連續，反之，不一定成立.可導與可微是等價的.這裡等價的含義是：
函式在某點可導必定得出在該點可微，反之，函式在某點可微，必能推出在該點可導.但並不意味著可導與可微是同一概念.導數是函式改變量與自變數改變量之比的極限，微分是函式增量的線性主部，在概念上兩者有著本質的區別.
3． 復合函式求導法既是重點，又是難點，不易掌握，首先，必須熟記
基本的求導公式，其次，對求導公式必須弄清每一項是對哪個變數求導，如, 因為理解公式還要和微商結合起來，右邊的微分約分之後必須等於左邊的微商.另外，要想達到求導既迅速又準確，必須多做題.但要牢記，導數是函式改變量之比的極限，不能因為有了基本初等函式的求導公式及求導法則後，就認為求導僅是利用這些公式與法則的某種運算而忘記了導數的本質.
4．利用導數解決實際問題，本章主要有三類題型.一類幾何應用，用來求切線、法線方程.其關鍵是求出切線的斜率及切點的座標；另一類是變化率模型，求變化率時，一定要弄清是對哪個變數的變化率，如速度再有一類是用微分近似計算求某個量的改變量，解決這類問題的關鍵是選擇合適的函式關係，正確選取及，切莫用中學數學方法求問題的準確值，否則是不符合題意的.
第二章導數與微分
2.1導數的求法 一基本概念 一點的導數 左導數 右導數 單側導數 導函式 導數 可微 對導數的理解 導數就是函式在該點的變化率，導數的絕對值越大，函式值變化的越快，導數的絕對值越小，變化越慢，當導數為零時，曲線在該點的切線平行於軸 函式在點處的導數的幾何意義是曲線上的點的切線的斜率，即，是切線與軸...
2第二章導數與微分
考試要求 1 理解導數的概念及其幾何意義，了解可導性與連續性的關係，會用定義求函式在一點處的導數 2 會求曲線上一點處的切線方程與法線方程 3 熟練掌握導數的基本公式 四則運算法則以及復合函式的求導方法 4 掌握隱函式的求導法 對數求導法以及由引數方程所確定的函式的求導方法，會求分段函式的導數 5 ...
第二章 導數與微分學習指導 李茂
第2章導數與微分 2.1 學習目標 1 讓學生掌握導數概念及實際意義，2 掌握微分的概念，熟練掌握求導法則，3 會應用導數或微分解決實際問題。2.2 知識脈絡 2.3 重點和難點 1 重點 導數的概念及幾何意義 乙個函式在某點可導與連續的關係,可導與可微的關係 2 難點 求導的計算 復合函式 隱函式...