1、歸納推理
把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理(簡稱歸納).
簡言之,歸納推理是由部分到整體、由特殊到一般的推理。
歸納推理的一般步驟：
通過觀察個別情況發現某些相同的性質；
從已知的相同性質中推出乙個明確表述的一般命題（猜想）；
證明（視題目要求，可有可無）.
2、模擬推理
由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件的某些已知特徵，推出另一類物件也具有這些特徵的推理稱為模擬推理（簡稱模擬）．
簡言之，模擬推理是由特殊到特殊的推理.
模擬推理的一般步驟：
找出兩類物件之間可以確切表述的相似特徵；
用一類物件的已知特徵去推測另一類物件的特徵，從而得出乙個猜想；
檢驗猜想。
3、合情推理
歸納推理和模擬推理都是根據已有的事實，經過觀察、分析、比較、聯想，再進行歸納、模擬，然後提出猜想的推理.
歸納推理和模擬推理統稱為合情推理，通俗地說，合情推理是指「合乎情理」的推理.
4、演繹推理
從一般性的原理出發，推出某個特殊情況下的結論，這種推理稱為演繹推理．
簡言之，演繹推理是由一般到特殊的推理.
演繹推理的一般模式———「三段論」，包括
⑴大前提-----已知的一般原理；
⑵小前提-----所研究的特殊情況；
⑶結論-----據一般原理，對特殊情況做出的判斷．
用集合的觀點來理解：若集合中的所有元素都具有性質,是的乙個子集,那麼中所有元素也都具有性質p.
從推理所得的結論來看，合情推理的結論不一定正確，有待進一步證明；演繹推理在前提和推理形式都正確的前提下，得到的結論一定正確.
5、直接證明與間接證明
⑴綜合法：利用已知條件和某些數學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最後推導出所要證明的結論成立.
框圖表示：
要點：順推證法；由因導果.
⑵分析法：從要證明的結論出發，逐步尋找使它成立的充分條件，直至最後，把要證明的結論歸結為判定乙個明顯成立的條件（已知條件、定理、定義、公理等）為止.
框圖表示：
要點：逆推證法；執果索因.
⑶反證法：一般地，假設原命題不成立，經過正確的推理，最後得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明了原命題成立.的證明方法.它是一種間接的證明方法.
反證法法證明乙個命題的一般步驟：
(1)（反設）假設命題的結論不成立；
(2)（推理）根據假設進行推理,直到匯出矛盾為止
(3)（歸謬）斷言假設不成立；
(4)（結論）肯定原命題的結論成立.
反證法匯出的矛盾主要有：
①與假設矛盾；
②與數學公理、定理、定義、公式或與已被證明了的結論矛盾；
③與公認的簡單事實矛盾．
6、數學歸納法
數學歸納法是證明關於正整數的命題的一種方法.
用數學歸納法證明命題的步驟;
（1）（歸納奠基）證明當取第乙個值時命題成立；
（2）（歸納遞推）假設時命題成立，推證當時命題也成立.
只要完成了這兩個步驟，就可以斷定命題對從開始的所有正整數都成立.
用數學歸納法可以證明許多與自然數有關的數學命題，其中包括恒等式、不等式、數列通項公式、幾何中的計算問題等.
一，經典例解
題型一：模擬推理
例2-1 已知o是△abc內任意一點，鏈結ao、bo、co並延長交對邊於a′，b′，c′，則++=1，這是一道平面幾何題，其證明常採用「面積法」.
++=++==1.
請運用模擬思想，對於空間中的四面體v—bcd，存在什麼類似的結論？並用體積法證明.
（1）模擬平面幾何中的勾股定理：若直角三角形abc中的兩邊ab、ac互相垂直，則三角形三邊長之間滿足關係：ab2+ac2=bc2.
若三稜錐a-bcd的三個側面abc、acd、adb兩兩互相垂直，則三稜錐的側面積與底面積之間滿足關係
（2）已知命題：若數列為等差數列，且am=a，an=b(m≠n,m,n∈n*)，則am+n=．現已知數列(bn>0,n∈n*)為等比數列，且bm=a,bn=b(m≠n,m,n∈n*)，若模擬上述結論，則可得到bm+n=_____．．
【變式】設等差數列的前項和為，則，，，成等差數列．模擬以上結論有：設等比數列的前項積為，則成等比數列．
題型二：歸納推理
例2-2 觀察下列等式：
可以推測，當
【點撥】本題以正整數的冪的和為載體考查歸納推理.解答本題的突破口是觀察ak-1、ak-2隨k的變化而變化的規律，只需對k的前幾項的取值進行觀察就不難發現規律猜測出結論.
【變式】在數列中，a1=1，an+1=，n∈n*.猜想這個數列的通項公式，並證明.
題型三：綜合法
例4 證明：．
題型四：分析法
例5 △的三個內角成等差數列，求證：.
題型五：反證法
例2-3已知，，求證：不能同時大於.
【點撥】本題以證明不等式為載體考查反證法.「不能同時大於」包含多種情形，不易直接證明，考慮反證法，即「正難則反」.遇到否定性、唯一性、無限性、至多、至少等題型時，常考慮有反證法.
求證：和中至少有乙個小於2．
題型六：數學歸納法
例2-4已知數列,an＞0,前n項和.
(1)求a1，a2，a3的值；
(2)猜想出通項an,並證明.
【點撥】本題以求數列的通項公式為載體考查數學歸納法.用數學歸納法證明與n有關的命題時，先驗證n取第乙個允許值時結論成立，在此基礎上假設n取k（k＞n）時結論成立，只需證明n=k+1時結論成立即可，但此時必須應用歸納假設.
欲證通項公式為，只需將已知條件轉化為ak與ak+1的關係，然後用歸納假設即可得證.
【變式】已知，n∈n*.試比較與的大小，並且說明理由.
【規律總結】
1. 「合情推理」是一種重要的歸納，主要從已知條件歸納出乙個結論，可以是形式上的歸納，也可以是數學性質的歸納；演繹推理則是邏輯思維能力的乙個重要體現.
2.直接證明中，常把綜合法和分析法結合起來使用，根據結論的特點用分析法探求證明思路、轉化條件，用綜合法書寫表述證明過程.
3. 「數學歸納法」僅限於與自然數有關的命題，它是乙個遞推的數學論證方法.運用數學歸納法證明問題，關鍵是n＝k＋1時命題成立的推證，此步證明要具有目標意識，注意與最終要達到的解題目標進行分析比較，以此確定和調控解題的方向，使差異逐步減小，最終實現目標完成解題.
三、課內練習
一、選擇題
1.在古臘畢達哥拉斯學派把1，3，6，10，15，21，28，…，這些數叫做三角形數，因為這些數對應的點可以排成乙個正三角形，則第個三角形數為( )
1361015
a.n bcd.
2.在平面幾何裡有勾股定理：「設△abc的兩邊ab，ac互相垂直，則ab2+ac2=bc2」拓展到空間，模擬平面幾何的勾股定理，設三稜錐a—bcd的三個側面abc、acd、adb 兩兩相互垂直，則可得（ ）
a.ab2+ac2+ ad2=bc2+ cd2 + bd2 b.
cd.ab2×ac2×ad2=bc2 ×cd2 ×bd2
3.觀察下表：
12 3 4
3 4 5 6 7
4 5 6 7 8 9 10
……設第n行的各數之和為sn,則等於( )
a.2b.3c.4d.5
4.廣州2023年亞運會火炬傳遞在a、b、c、d、e五個城市之間進行，各城市之間的路線距離（單位：百公里）見下表.
若以a為起點，e為終點，每個城市只經過一次，則火炬傳遞的最短路線距離是( )
a.20.6b.21c.22d.23
2、填空題
5.若數列{} (n∈n)是等差數列，則有數列b=(n∈n)也是等差數列.模擬上述性質，相應地：若數列是等比數列，且c＞0(n∈n)，則有dn∈n)也是等比數列.
6.在德國不萊梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗裡用同樣的桌球堆成若干堆「正三稜錐」形展品，其中第一堆只有一層，就乙個球，第三2、3、4、…堆最底層（第一層）分別按下圖方式固定擺放，從第二層開始每層小球的小球自然壘放在下一層之上，第堆的第層就放乙個桌球，以表示第堆的桌球總數，則用表示）.
7. 若，則
三、解答題
8. 若x,y都是正實數，且x+y＞2.求證：＜2與＜2中至少有乙個成立.
第二章推理與證明
知識點1.合情推理與演繹推理 合情推理定義p27 歸納 模擬 猜想典型例題 書本p30 練習1 2.綜合法和分析法 綜合法定義p36 已知條件和某些數學定義，定理等 證明題常見 分析法定義p39 從證明的結論出發，尋求使它充分成立的條件 解題格式 見書p39例4 要證 只需證只需證 只需證因為 顯然...
第二章推理證明複習
1 歸納推理 把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理 簡稱歸納 簡言之,歸納推理是由由的推理。歸納推理的一般步驟 通過觀察個別情況發現某些相同的性質 從已知的相同性質中推出乙個明確表述的一般命題 猜想 證明 視題目要求，可有可無 2 模擬推理 由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件的某...
第二章推理與證明綜合檢測
一 選擇題 本大題共12個小題，每小題5分，共60分 在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的 1 銳角三角形的面積等於底乘高的一半,直角三角形的面積等於底乘高的一半 鈍角三角形的面積等於底乘高的一半 所以，凡是三角形的面積都等於底乘高的一半 以上推理運用的推理規則是 a 三段論推理 b ...