第二章推理與證明
章末質量評估
(時間：100分鐘滿分：120分)
一、選擇題(本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．下列說法中正確的是
( )．
a．合情推理就是正確的推理
b．合情推理就是歸納推理
c．歸納推理是從一般到特殊的推理過程
d．模擬推理是從特殊到特殊的推理過程
答案 d
2．有以下結論：
①已知p3＋q3＝2，求證p＋q≤2，用反證法證明時，可假設p＋q≥2；
②已知a，b∈r，|a|＋|b|＜1，求證方程x2＋ax＋b＝0的兩根的絕對值都小於1，用反證法證明時可假設方程有一根x1的絕對值大於或等於1，即假設|x1|≥1.
下列說法中正確的是
( )．
a．①與②的假設都錯誤
b．①與②的假設都正確
c．①的假設正確；②的假設錯誤
d．①的假設錯誤；②的假設正確
解析用反證法證題時一定要將對立面找全．在(1)中應假設p＋q＞2.故(1)的假設是錯誤的，而(2)的假設是正確的，故選d.
答案 d
3．凡自然數是整數，4是自然數，所以4是整數．以上三段論推理
( )．
a．正確
b．推理形式不正確
c．兩個「自然數」概念不一致
d．「兩個整數」概念不一致
解析三段論中的大前提，小前提及推理形式都是正確的．
答案 a
4．用反證法證明命題「如果a>b，那麼》」時，假設的內容應是
( )．
a.＝ b. <
c.＝，且< d.＝或<
答案 d
5．下面幾種推理是合情推理的是
( )．
①由圓的性質模擬出球的有關性質；
②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內角和是180°歸納出所有三角形的內角和都是180°；
③某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學成績都是100分；
④三角形內角和是180°，四邊形內角和是360°，五邊形內角和是540°，由此得凸n邊形內角和是(n－2)·180°.
a．①② b．①③④
cd．②④
解析 ①是模擬，②④是歸納推理．
答案 c
6．有乙個奇數列1,3,5,7,9，…，現進行如下分組：
第1組含有乙個數，第2組含兩個數；第3組含三個數；…試觀察每組內各數之和與其組的編號數n的關係為
( )．
a．等於n2 b．等於n3
c．等於n4 d．等於n(n＋1)
解析前三組數分別求和得1,8,27，即13,23,33，所以猜想第n組數的和為n3.
答案 b
7．黑白兩種顏色的正六邊形地面磚按如圖的規律拼成若干個圖案：
則第n個圖案中的白色地面磚有
( )．
a．4n－2塊 b．4n＋2塊
c．3n＋3塊 d．3n－3塊
解析法一第1個圖案中有6塊白色地面磚，第二個圖案中有10塊，第三個圖案中有14塊，歸納為：第n個圖案中有4n＋2塊．
法二驗n＝1時，a、d選項不為6，排除．驗n＝2時，c選項不為10，排除．故選b.
答案 b
8．函式f(x)是[－1,1]上的減函式，α、β是銳角三角形的兩個內角，且α≠β，則
下列不等式中正確的是
( )．
a．f(sin α)＞f(cos β) b．f(cos α)＜f(cos β)
c．f(cos α)＞f(sin β) d．f(sin α)＜f(sin β)
解析因為α、β是銳角三角形的兩個內角，
所以α＋β＞，所以＞α＞－β＞0，
所以cos α＜cos＝sin β.
而cos α∈(0,1)，sin β∈(0,1)，
f(x)在[－1,1]上是減函式，
故f(cos α)＞f(sin β)．
答案 c
9．模擬平面內正三角形的「三邊相等，三內角相等」的性質，可推知正四面體
的下列性質，你認為比較恰當的是
( )．
①各稜長相等，同一頂點上的任兩條稜的夾角相等；
②各個面是全等的正三角形，相鄰的兩個面所成的二面角相等；
③各個面都是全等的正三角形，同一頂點的任兩條稜的夾角相等；
④各稜長相等，相鄰兩個面所成的二面角相等．
a．①④ b．①②
cd．③
解析模擬推理原則是：模擬前後保持模擬規則的一致性，而③④違背了這一規則，①②符合．
答案 b
10．設p＝＋＋＋，則
( )．
a．0c．2解析 p＝log112＋log113＋log114＋log115＝log11120，
1＝log1111答案 b
二、填空題(本大題共4小題，每小題4分，共16分．把答案填在題中橫線上)
11．觀察下列式子：
1＋<，1＋＋<，1＋＋＋<，…，則可以猜想：當n≥2時，有________．
解析左邊為n項和：1＋＋＋…＋，右邊為分式，易知n≥2時為.
答案 1＋＋＋…＋<
12．若三角形內切圓半徑為r，三邊長分別為a、b、c，則三角形的面積s＝r(a
＋b＋c)，根據模擬思想，若四面體內切球半徑為r，其四個面的面積分別為
s1、s2、s3、s4，則四面體的體積v
解析由模擬推理，以球心為頂點，四個面分別為底，將四面體分割為4個稜錐，得證．
答案 r(s1＋s2＋s3＋s4)
13．在△abc中，d為bc的中點，則a＝(a＋a)，將命題模擬到三稜
錐中去得到乙個模擬的命題為
答案在三稜錐abcd中，g為△bcd的重心，則a＝·(a＋a＋a)
14．在數列中，a1＝1，且sn、sn＋1、2s1成等差數列(sn表示數列的前n項和)，則s2、s3、s4分別為由此猜想sn
解析由sn，sn＋1,2s1成等差數列，
得2sn＋1＝sn＋2s1，
∵s1＝a1＝1，∴2sn＋1＝sn＋2.
令n＝1，則2s2＝s1＋2＝1＋2＝3s2＝，
同理分別令n＝2，n＝3，
可求得s3＝，s4＝.
由s1＝1＝，s2＝＝，
s3＝＝，s4＝＝，
猜想sn＝.
答案 ，，
三、解答題(本大題共5小題，共54分．解答時應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)
15．(10分)在不等邊△abc中，a是最小角，求證：a<60°.
證明假設a≥60°，∵a是不等邊三角形abc的最小角(不妨設c為最大角)，
∵b>a≥60°，c>a≥60°，
∴a＋b＋c>180°，與三角形內角和等於180°矛盾，
∴假設錯誤，原結論成立，即a<60°.
16．(10分)設sn＝＋＋＋…＋，寫出s1，s2，s3，s4的值，
歸納並猜想出結果．
解當n＝1,2,3,4時，
計算得原式的值分別為：
s1＝，s2＝，s3＝，s4＝.
觀察這4個結果都是分數，每個分數的分子與項數對應，且分子比分母恰好小1.
歸納猜想：sn＝.
證明 ∵＝1－，＝－，…，
＝－.∴sn＝1－＋－＋－＋…＋－
＝1－＝.
17．(10分)先解答(1)，再通過模擬解答(2)．
(1)求證：tan＝；
(2)設x∈r且f(x＋1)＝，試問f(x)是週期函式嗎？證明你的結論．
(1)證明 tan＝
＝；(2)解 f(x)是以4為乙個週期的週期函式．證明如下：
∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝
＝＝－，
∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)，
∴f(x)是週期函式．
18．(12分)若a1>0、a1≠1，an＋1＝(n＝1,2，…，)
(1)求證：an＋1≠an；
(2)令a1＝，寫出a2、a3、a4、a5的值，觀察並歸納出這個數列的通項公式an；
(3)證明：存在不等於零的常數p，使是等比數列，並求出公比q的值．
(1)證明 (採用反證法)．假設an＋1＝an，即＝an，解得an＝0,1.
從而an＝an－1＝……＝a1＝0,1，
與題設a1>0，a1≠1相矛盾，
∴假設錯誤．
故an＋1≠an成立．
(2)解 a1＝、a2＝、a3＝、a4＝、a5＝，
an＝.
(3)證明因為＝，
又＝·q，
所以(2＋p－2q)an＋p(1－2q)＝0，
因為上式是關於變數an的恒等式，
故可解得q＝、p＝－1.
19．(12分)在數列中，a1＝1，an＋1＝2an＋2n.
(1)設bn＝.證明：數列是等差數列；
(2)求數列的前n項和sn.
(1)證明 ∵an＋1＝2an＋2n，
∴＝＋1，
∵bn＝，
∴bn＋1＝bn＋1，
即bn＋1－bn＝1，b1＝1，
故數列是首項為1，公差為1的等差數列．
(2)解由(1)知，bn＝n，an＝n2n－1，
則sn＝1·20＋2·21＋…＋(n－1)·2n－2＋n·2n－1，
2sn＝1·21＋2·22＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n，
兩式相減，得
sn＝n·2n－1·20－21－…－2n－1＝n·2n－2n＋1.
第二章推理與證明
1 歸納推理 把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理 簡稱歸納 簡言之,歸納推理是由部分到整體 由特殊到一般的推理。歸納推理的一般步驟 通過觀察個別情況發現某些相同的性質 從已知的相同性質中推出乙個明確表述的一般命題 猜想 證明 視題目要求，可有可無 2 模擬推理 由兩類物件具有某些類似...
第二章推理與證明
知識點1.合情推理與演繹推理 合情推理定義p27 歸納 模擬 猜想典型例題 書本p30 練習1 2.綜合法和分析法 綜合法定義p36 已知條件和某些數學定義，定理等 證明題常見 分析法定義p39 從證明的結論出發，尋求使它充分成立的條件 解題格式 見書p39例4 要證 只需證只需證 只需證因為 顯然...
第二章推理證明複習
1 歸納推理 把從個別事實中推演出一般性結論的推理,稱為歸納推理 簡稱歸納 簡言之,歸納推理是由由的推理。歸納推理的一般步驟 通過觀察個別情況發現某些相同的性質 從已知的相同性質中推出乙個明確表述的一般命題 猜想 證明 視題目要求，可有可無 2 模擬推理 由兩類物件具有某些類似特徵和其中一類物件的某...