【創新設計】2016-2017學年高中數學第二章推理與證明章末複習課蘇教版選修2-2
題型一合情推理與演繹推理
1．歸納和模擬都是合情推理，前者是由特殊到一般，部分到整體的推理，後者是由特殊到特殊的推理，但二者都能由已知推測未知，都能用於猜想，推理的結論不一定為真，有待進一步證明．
2．演繹推理與合情推理不同，它是由一般到特殊的推理，是數學中證明的基本推理形式，也是公理化體系所採用的推理形式．另一方面，合情推理與演繹推理又是相輔相成的，前者是後者的前提，後者論證前者的可靠性．
例 1 (1)有乙個奇數列1,3,5,7,9，…，現在進行如下分組：第一組含乙個數；第二組含兩個數；第三組含三個數；第四組含四個數；…試觀察每組內各數之和f(n)(n∈n*)與組的編號數n的關係式為________．
(2)在平面幾何中，對於rt△abc，ac⊥bc，設ab＝c，ac＝b，bc＝a，則
①a2＋b2＝c2；
②cos2a＋cos2b＝1；
③rt△abc的外接圓半徑為r＝.
把上面的結論模擬到空間寫出相類似的結論；如果你能證明，寫出證明過程；如果在直角三角形中你還發現了異於上面的結論，試試看能否模擬到空間？
(1)答案 f(n)＝n3
解析由於1＝13,3＋5＝8＝23，
7＋9＋11＝27＝33,13＋15＋17＋19＝64＝43，…，猜想第n組內各數之和f(n)與組的編號數n的關係式為f(n)＝n3.
(2)解選取3個側面兩兩垂直的四面體作為直角三角形的模擬物件．
①設3個兩兩垂直的側面的面積分別為s1，s2，s3，底面面積為s，則s＋s＋s＝s2.
②設3個兩兩垂直的側面與底面所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1.
③設3個兩兩垂直的側面形成的側稜長分別為a，b，c，則這個四面體的外接球的半徑為r＝.
反思與感悟 (1)歸納推理中有很大一部分題目是數列內容，通過觀察給定的規律，得到一些簡單數列的通項公式是數列中的常見方法．
(2)模擬推理重在考查觀察和比較的能力，題目一般情況下較為新穎，也有一定的探索性．
跟蹤訓練1 下列推理是歸納推理的是________，是模擬推理的是________．
①a、b為定點，若動點p滿足pa＋pb＝2a>ab，則點p的軌跡是橢圓；
②由a1＝1，an＋1＝3an－1，求出s1，s2，s3，猜想出數列的通項an和sn的表示式；
③由圓x2＋y2＝1的面積s＝πr2，猜想出橢圓的面積s＝πab；
④科學家利用魚的沉浮原理製造潛艇．
答案 ② ③④
題型二綜合法與分析法
綜合法和分析法是直接證明中的兩種最基本的證明方法，但兩種證明方法思路截然相反，分析法既可用於尋找解題思路，也可以是完整的證明過程，分析法與綜合法可相互轉換，相互滲透，要充分利用這一辯證關係，在解題中綜合法和分析法聯合運用，轉換解題思路，增加解題途徑．一般以分析法為主尋求解題思路，再用綜合法有條理地表示證明過程．
例 2 用綜合法和分析法證明．
已知α∈(0，π)，求證：2sin 2α≤.
證明 (分析法)
要證明2sin 2α≤成立．
只要證明4sin αcos α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0.
只要證明4cos α≤.
上式可變形為
4≤＋4(1－cos α)．
∵1－cos α>0，
∴＋4(1－cos α)≥2＝4，
當且僅當cos α＝，即α＝時取等號．
∴4≤＋4(1－cos α)成立．
∴不等式2sin 2α≤成立．
(綜合法)
∵＋4(1－cos α)≥4，
(1－cos α>0，當且僅當cos α＝，即α＝時取等號)
∴4cos α≤.
∵α∈(0，π)，∴sin α>0.
∴4sin αcos α≤.
∴2sin 2α≤.
跟蹤訓練 2 求證：－2cos(α＋β)＝.
證明 ∵sin(2α＋β)－2cos(α＋β)sin α
＝sin2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α－2cos(α＋β)sin α
＝sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α
＝sinsin β，
兩邊同除以sin α得
－2cos(α＋β)＝.
題型三反證法
反證法是一種間接證明命題的方法，它從命題結論的反面出發引出矛盾，從而肯定命題的結論．
反證法的理論基礎是互為逆否命題的等價性，從邏輯角度看，命題：「若p則q」的否定是「若p則綈q」，由此進行推理，如果發生矛盾，那麼就說明「若p則綈q」為假，從而可以匯出「若p則q」為真，從而達到證明的目的．
例 3 若x，y都是正實數，且x＋y>2，求證： <2或<2中至少有乙個成立．
證明假設<2和<2都不成立，
則有≥2和≥2同時成立．
因為x>0且y>0，
所以1＋x≥2y且1＋y≥2x，
兩式相加，得2＋x＋y≥2x＋2y，
所以x＋y≤2.
這與已知x＋y>2矛盾．
故<2與<2至少有乙個成立．
反思與感悟反證法常用於直接證明困難或以否定形式出現的命題；涉及「都是……」「都不是……」「至少……」「至多……」等形式的命題時，也常用反證法．
跟蹤訓練3 已知：ac≥2(b＋d)．
求證：方程x2＋ax＋b＝0與方程x2＋cx＋d＝0中至少有乙個方程有實數根．
證明假設兩方程都沒有實數根，
則δ1＝a2－4b<0與δ2＝c2－4d<0，有a2＋c2<4(b＋d)，而a2＋c2≥2ac，從而有4(b＋d)>2ac，即ac<2(b＋d)，與已知矛盾，故原命題成立．
題型四數學歸納法
數學歸納法是推理邏輯，它的第一步稱為奠基步驟，是論證的基礎保證，即通過驗證落實傳遞的起點，這個基礎必須真實可靠；它的第二步稱為遞推步驟，是命題具有後繼傳遞性的保證，兩步合在一起為完全歸納步驟，這兩步缺一不可，第二步中證明「當n＝k＋1時結論正確」的過程中，必須用「歸納假設」，否則就是錯誤的．
例4 用數學歸納法證明當n∈n*時，1·n＋2·(n－1)＋3·(n－2)＋…＋(n－2)·3＋(n－1)·2＋n·1＝n(n＋1)·(n＋2)．
證明 (1)當n＝1時，1＝·1·2·3，結論成立．
(2)假設n＝k時結論成立，
即1·k＋2·(k－1)＋3·(k－2)＋…＋(k－2)·3＋(k－1)·2＋k·1＝k(k＋1)(k＋2)．
當n＝k＋1時，則1·(k＋1)＋2·k＋3·(k－1)＋…＋(k－1)·3＋k·2＋(k＋1)·1
＝1·k＋2·(k－1)＋…＋(k－1)·2＋k·1＋[1＋2＋3＋…＋k＋(k＋1)]
＝k(k＋1)(k＋2)＋(k＋1)(k＋2)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)，
即當n＝k＋1時結論也成立．
綜合上述，可知結論對一切n∈n*都成立．
跟蹤訓練4 數列滿足：a1＝1，an＋1＝an＋1.
(1)寫出a2，a3，a4；
(2)猜想數列的通項公式並加以證明．
解 (1)因為a1＝1，an＋1＝an＋1，所以a2＝a1＋1＝＋1＝.
a3＝a2＋1＝·＋1＝.
a4＝a3＋1＝·＋1＝.
(2)猜想an＝.下面用數學歸納法證明，
(1)當n＝1時，a1＝＝1，滿足上式，顯然成立；
(2)假設當n＝k時ak＝成立，那麼當n＝k＋1時，
ak＋1＝ak＋1＝·＋1＝＋1＝＝滿足上式，
即當n＝k＋1時猜想也成立，
由(1)(2)可知，對於n∈n*都有an＝.
[呈重點、現規律]
1．直接證明和間接證明是數學證明的兩類基本證明方法．直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導出結論的證明方法；分析法是由結論追溯到條件的證明方法，在解決數學問題時，常把它們結合起來使用，間接證法的一種方法是反證法，反證法是從結論反面成立出發，推出矛盾的證明方法．
2．數學歸納法主要用於解決與正整數有關的數學問題．證明時，它的兩個步驟缺一不可．它的第一步(歸納奠基)n＝n0時結論成立．第二步(歸納遞推)假設n＝k時，結論成立，推得n＝k＋1時結論也成立．數學歸納法原理建立在歸納公理的基礎上，它可用有限的步驟(兩步)證明出無限的命題成立．
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