必修五第二章
§5-5數列的概念及表示
一、基礎知識梳理：
1． 數列的定義
按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每乙個數叫做這個數列的項．
2． 數列的分類
3. 數列的表示法
數列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和解析法．
4． 數列的通項公式
如果數列的第n項與序號n之間的關係可以用乙個公式an＝f(n)來表示，那麼這個公式叫做這個數列的通項公式．
5． 已知sn，則an＝.
二、典型例題講解:
題型一由數列的前幾項求數列的通項
【例1】 寫出下面各數列的乙個通項公式：
(1)3,5,7,9，…；
(2) ，，，，，…；
(3)－1
(4)3,33,333,3 333，….
思維啟迪：先觀察各項的特點，然後歸納出其通項公式，要注意項與項數之間的關係，項與前後項之間的關係．
解 (1)各項減去1後為正偶數，所以an＝2n＋1.
(2)每一項的分子比分母少1，而分母組成數列21,22,23,24，…，所以an＝.
(3)奇數項為負，偶數項為正，故通項公式中含因子(－1)n；各項絕對值的分母組成數列1,2,3,4，…；而各項絕對值的分子組成的數列中，奇數項為1，偶數項為3，即奇數項為2－1，偶數項為2＋1，所以an＝(－1)n·.
也可寫為an＝
(4)將數列各項改寫為，，，，…，分母都是3，而分子分別是10－1,102－1,103－1,104－1，…，
所以an＝ (10n－1)．
**提高 (1)據所給數列的前幾項求其通項公式時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特徵：
①分式中分子、分母的特徵；
②相鄰項的變化特徵；
③拆項後的特徵；
④各項符號特徵等，並對此進行歸納、聯想．
(2)根據數列的前幾項寫出數列的乙個通項公式是不完全歸納法，它蘊含著「從特殊到一般」的思想，由不完全歸納得出的結果是不可靠的，要注意代值檢驗，對於正負符號變化，可用(－1)n或(－1)n＋1來調整．
【變式訓練1】根據數列的前幾項，寫出數列的乙個通項公式：
(1(2) ，1，，，…；
(3)0,1,0,1，….
解 (1)各項的分母分別為21,22,23,24，…，易看出第2,3,4項的分子分別比分母少3.因此把第1項變為－，原數列可化為－，，－，，…，
因此an＝(－1)n·.
(2)將數列統一為，，，，…，對於分子3,5,7,9，…，是序號的2倍加1，可得分子的通項公式為bn＝2n＋1，對於分母2,5,10,17，…，聯想到數列1,4,9,16，…，即數列，可得分母的通項公式為**＝n2＋1，
因此可得它的乙個通項公式為an＝.
(3)an＝
或an＝或an＝.
題型二由數列的遞推關係求通項公式
【例2】 (1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；
(2)已知a1＝2，an＋1＝an＋n，求an.
思維啟迪：(1)可構造等比數列求解；(2)可使用累加法．
解 (1)∵an＋1＝2an＋1，令an＋1＋a＝2(an＋a)，
與an＋1＝2an＋1比較可知a＝1，
又a1＝1，∴a1＋a＝2.
故是首項為2，公比為2的等比數列，
∴an＋1＝2·2n－1＝2n，故an＝2n－1.
(2)當n取1,2,3，…，n－1時，可得n－1個等式．
即an－an－1＝n－1，an－1－an－2＝n－2，…，a2－a1＝1，將其兩邊分別相加，得an－a1＝1＋2＋3＋…＋(n－1)，
∴an＝a1＋＝2＋.
**提高已知數列的遞推關係，求數列的通項時，通常用累加、累乘、構造法求解．
當出現an＝an－1＋m時，構造等差數列；當出現an＝xan－1＋y時，構造等比數列；當出現an＝an－1＋f(n)時，用累加法求解；當出現＝f(n)時，用累乘法求解．
【變式訓練2】 根據下列條件，確定數列的通項公式：
(1)a1＝1，an＋1＝3an＋2；
(2)a1＝1，an＝an－1 (n≥2)；
(3)已知數列滿足an＋1＝an＋3n＋2，且a1＝2，求an.
解 (1)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，
∴＝3，∴數列為等比數列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，
∴an＝2·3n－1－1.
(2)∵an＝an－1 (n≥2)，
∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.
以上(n－1)個式子相乘得
an＝a1···…·＝＝.
(3)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1 (n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝ (n≥2)．
當n＝1時，a1＝×(3×1＋1)＝2符合公式，
∴an＝n2＋.
題型三由數列的前n項和求通項公式
【例3】 已知下面數列的前n項和sn，求的通項公式：
(1)sn＝2n2－3n；
(2)sn＝3n＋b.
思維啟迪：當n＝1時，由a1＝s1，求a1；
當n≥2時，由an＝sn－sn－1消去sn，得an＋1與an的關係．轉化成由遞推關係求通項．
解 (1)a1＝s1＝2－3＝－1，
當n≥2時，an＝sn－sn－1
＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，
由於a1也適合此等式，∴an＝4n－5.
(2)a1＝s1＝3＋b，
當n≥2時，an＝sn－sn－1
＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1.
當b＝－1時，a1適合此等式．
當b≠－1時，a1不適合此等式．
∴當b＝－1時，an＝2·3n－1；
當b≠－1時，an＝
**提高數列的通項an與前n項和sn的關係是an＝當n＝1時，a1若適合sn－sn－1，則n＝1的情況可併入n≥2時的通項an；當n＝1時，a1若不適合sn－sn－1，則用分段函式的形式表示．
【變式訓練3】 已知數列的前n項和sn＝3n2－2n＋1，則其通項公式為
答案 an＝
解析當n＝1時，a1＝s1＝3×12－2×1＋1＝2；
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝3n2－2n＋1－[3(n－1)2－2(n－1)＋1]＝6n－5，顯然當n＝1時，不滿足上式．
故數列的通項公式為an＝
三、隨堂練習：
1． 已知數列1，，，，…，，則3是它的
a．第22項b．第23項
c．第24項d．第28項
答案 b
解析觀察知已知數列的通項公式是an＝，
令an＝＝3＝，得n＝23.
2．在數列中，等於（ ）
a．11 b．12 c．13 d．14
3. (2011·四川)數列的前n項和為sn，若a1＝1，an＋1＝3sn(n≥1)，則a6等於 ( )
a．3×44b．3×44＋1
c．45d．45＋1
答案 a
解析當n≥1時，an＋1＝3sn，則an＋2＝3sn＋1，
∴an＋2－an＋1＝3sn＋1－3sn＝3an＋1，即an＋2＝4an＋1，
∴該數列從第二項開始是以4為公比的等比數列．
又a2＝3s1＝3a1＝3，∴an＝
∴當n＝6時，a6＝3×46－2＝3×44.
4． 如果數列的前n項和sn＝an－3，那麼這個數列的通項公式是
a．an＝2(n2＋n＋1b．an＝3·2n
c．an＝3n＋1d．an＝2·3n
答案 d
解析由已知可得：a1＝6，a2＝18，由此可排除a、b、c.
5． 設數列的前n項和sn＝n2，則a8的值為
a．15b．16c．49d．64
答案 a
解析 ∵sn＝n2，∴a1＝s1＝1.
當n≥2時，an＝sn－sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1.
∴an＝2n－1，∴a8＝2×8－1＝15.
6． 已知數列的前4項為1,3,7,15，寫出數列的乙個通項公式為
答案 an＝2n－1 (n∈n*)
解析 ∵1,3,7,15分別加上1，則為2,4,8,16，易知an＝2n－1.
7． 數列滿足a1＝0，an＋1＝an＋2n，則的通項公式an
答案 n(n－1)
解析由已知，得an＋1－an＝2n，
故an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝0＋2＋4＋…＋2(n－1)＝n(n－1)．
8．設數列的前n項和為sn.已知a1＝a，an＋1＝sn＋3n，n∈n*.
(1)設bn＝sn－3n，求數列的通項公式；
(2)若an＋1≥an，n∈n*，求a的取值範圍．
解 (1)依題意，sn＋1－sn＝an＋1＝sn＋3n，
即sn＋1＝2sn＋3n，由此得sn＋1－3n＋1＝2(sn－3n)，
∴是等比數列，
因此，所求通項公式為bn＝sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈n*①
(2)由①知sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈n*，
於是，當n≥2時，
an＝sn－sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2
＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－2，
當n≥2時，an＋1≥an12·n－2＋a－3≥0a≥－9，
又a2＝a1＋3>a1.
綜上，所求的a的取值範圍是[－9，＋∞)．
§5-6 等差數列及其前n項和
一、基礎知識梳理：
1． 等差數列的定義：如果乙個數列從第2項起，每一項與前一項的差都等於同乙個常數，那麼這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的公差，通常用字母__d__表示．
2． 等差數列的通項公式：
如果等差數列的首項為a1，公差為d，那麼它的通項公式是an＝a1＋(n－1)d.
3． 等差中項：如果a＝，那麼a叫做a與b的等差中項．
4． 等差數列的常用性質
(1)通項公式的推廣：an＝am＋(n－m)d，(n，m∈n*)．
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