課時提公升作業十三
等比數列的性質
(25分鐘 60分)
一、選擇題(每小題5分,共25分)
1.(2018·長春高二檢測)已知數列是等比數列,b9是1和3的等差中項,則b2b16=( )
a.16b.8c.2d.4
【解析】選d.因為b9是1和3的等差中項,
所以b9==2,
因為數列是等比數列,
所以b2b16==22=4.
2.(2018·亳州高二檢測)等比數列x,3x+3,6x+6,…的第四項等於( )
a.-24b.0c.12d.24
【解析】選a.由題意得(3x+3)2=x(6x+6),
解得x=-1或-3.
若x=-1,3x+3=0,不滿足題意,捨去,
所以x=-3,此時前三項為-3,-6,-12,
公比為2,所以第四項為-24.
3.在等比數列中,若a2a5=-,a2+a3+a4+a5=,則+++=( )
a.1bcd.-
【解析】選c.數列是等比數列,
a2a5=-=a3a4,a2+a3+a4+a5=,
所以+++=+==-.
4.設a1=2,數列是公比為2的等比數列,則a6等於( )
a.31.5b.160c.79.5d.159.5
【解析】選c.1+2an=(1+2a1)·2n-1,
所以1+2a6=5·25.
所以a6==79.5.
5.(2018·邯鄲高二檢測)設是公差為2的等差數列,bn=,若為等比數列,則b1+b2+b3+b4+b5= ( )
a.142b.124c.128d.144
【解析】選b.因為是公差為2的等差數列,bn=,
所以an=a1+(n-1)×2=a1+2n-2,
因為為等比數列,
所以=b1b3.所以(a4)2=a2·a8,
所以(a1+8-2)2=(a1+4-2)(a1+16-2),
解得a1=2,
所以bn==2+2×2n-2=2n+1,
b1+b2+b3+b4+b5=22+23+24+25+26=124.
二、填空題(每小題5分,共15分)
6.已知數列為等比數列,且a3+a5=π,則a4(a2+2a4+a6
【解析】因為數列為等比數列,且a3+a5=π,
所以a4(a2+2a4+a6)=a4a2+2a4a4+a4a6=+2a3a5+=(a3+a5)2=π2.
答案:π2
7.畫乙個邊長為2厘公尺的正方形,再以這個正方形的對角線為邊畫第2個正方形,以第2個正方形的對角線為邊畫第3個正方形,這樣一共畫了10個正方形,則第10個正方形的面積等於________平方厘公尺.
【解析】這10個正方形的邊長構成以2為首項,為公比的等比數列(1≤n≤10,n∈n*),
則第10個正方形的面積s==22·29=211=2 048(平方厘公尺).
答案:2 048
8.(2018·惠州高二檢測)公差不為零的等差數列的第1項、第6項、第21項恰好構成等比數列,則它的公比為________.
【解析】設等差數列的公差為d,d≠0,
由題意可得(a1+5d)2=a1(a1+20d),
化簡可得5d2-2a1d=0,
因為d≠0,所以d=a1,
所以數列的公比為==3.
答案:3
三、解答題(每小題10分,共20分)
9.已知數列是等差數列,前n項和為sn,若a1=9,s3=21.
(1)求數列的通項公式.
(2)若a5,a8,sk成等比數列,求k的值.
【解析】(1)因為數列是等差數列,前n項和為sn,a1=9,s3=21.所以s3=3×9+d=21,
解得d=-2,所以an=9+(n-1)×(-2)=-2n+11.
(2)因為a5,a8,sk成等比數列,所以=a5·sk,
即(-2×8+11)2=(-2×5+11)·,解得k=5.
10. 三個數成等比數列,若第二個數加4就成等差數列,再把這個等差數列的第3項加32又成等比數列,求這三個數.
【解析】按等比數列設三個數為:a,aq,aq2,
則a,aq+4,aq2成等差數列,
即2(aq+4)=a+aq2.①
又a,aq+4,aq2+32成等比數列,
即(aq+4)2=a(aq2+32)aq+2=4a.②
①②兩式聯立解得:或
所以這三個數為:2,6,18或,-,.
【一題多解】按等差數列設三個數為b-d,b,b+d,則原數列為b-d,b-4,b+d.
由已知:三個數成等比數列,
即(b-4)2=(b-d)(b+d)8b-d2=16,①
又b-d,b,b+d+32成等比數列,
即b2=(b-d)(b+d+32)32b-d2-32d=0.②
①②兩式聯立,解得或
所以這三個數為,-,或2,6,18.
【補償訓練】三個互不相等的實數成等差數列,如果適當排列這三個數,又可成等比數列,且這三個數的和為6,求這三個數.
【解析】由已知,設這三個數為a-d,a,a+d,
由a-d+a+a+d=6得a=2,
故這三個數為2-d,2,2+d.
若2-d為等比中項,則有(2-d)2=2(2+d),
解得d=6或d=0(捨去),此時三個數為-4,2,8;
若2+d為等比中項,則有(2+d)2=2(2-d),
解得d=-6或d=0(捨去),此時三個數為8,2,-4;
若2為等比中項,則22=(2+d)(2-d),所以d=0(捨去).
綜上可知,這三個數為-4,2,8.
(20分鐘 40分)
一、選擇題(每小題5分,共10分)
1.已知各項均不相等的等比數列中,a2=1,且a1,a3,a5成等差數列,則a4等於
( )
ab.49cd.7
【解析】選c.設各項均不相等的等比數列的公比為q(q≠±1).
a2=1可得a1q=1,①
a1,a3,a5成等差數列,可得2a3=a1+a5,
即為2a1q2=a1+a1q4,②
由①②解得q2=(1捨去).則a4=a2q2=.
2.設是由正數組成的等比數列,公比q=2,且a1·a2·a3·…·a30=230,那麼a3·a6·a9·…·a30等於( )
a.210b.220c.216d.215
【解析】選b.設a=a1a4a7…a28,b=a2a5a8…a29,c=a3a6a9…a30,則a,b,c成等比數列,公比為q10=210,由條件得a·b·c=230,所以b=210,
所以c=b·210=220.
二、填空題(每小題5分,共10分)
3.(2018·許昌高二檢測)已知等比數列滿足a2a5=2a3,且a4,,2a7成等差數列,則a1a2a3…an的最大值為________.
【解析】因為等比數列滿足a2a5=2a3,且a4,,2a7成等差數列,
所以解得a1=16,q=,
所以an=16×=25-n,
所以a1a2a3…an=24+3+2+…+(5-n)=,
所以當n=4或n=5時,
a1a2a3…an取最大值,且最大值為210=1 024.
答案:1 024
4.已知數列為等差數列,數列為等比數列,且滿足a2 017+a2 018=π,=4,則tan
【解析】數列為等差數列,且a2 017+a2 018=π,
所以a2+a4 033=a2 017+a2 018=π,
數列為等比數列,且=4,
所以b1b39==4,
所以tan=tan=1.
答案:1
三、解答題(每小題10分,共20分)
5.從盛滿a l純酒精的容器中倒出1 l,然後加滿水,再倒出1 l混合溶液後又用水加滿,如此繼續下去……,第n次操作後酒精的濃度是多少?若a=2,至少倒幾次後才能使酒精濃度低於10%?
【解析】第一次取出純酒精1 l,
加水後,濃度為=1-,記為a1=1-.
第二次取出純酒精·1 l,
再加水後,濃度為=,
記為a2=.
…以此類推,第n次取出純酒精·1 l,
再加水後,濃度為,記為an=.
當a=2時,由an=<10%,得n≥4.
即至少倒4次後酒精的濃度低於10%.
6.(2018·撫州高二檢測)已知數列為等差數列,bn=.
(1)求證:數列為等比數列.
(2)若a8+a13=m,求b1·b2·b3·…·b20.
(3)若b3·b5=39,a4+a6=3,求b1·b2·b3·…·bn的最大值.
【解析】(1)設數列的公差為d,
則當n≥2時,===3d為常數,
故數列為等比數列.
(2)因為b1·b2·b3·…·b20=··…··…·
==,又a8+a13=m,
所以b1·b2·b3·…·b20=310m.
(3)設等差數列的首項為a1,公差為d,
由b3·b5=39,a4+a6=3,得
即,解得
所以sn=a1+…+an=-n2+15n.
當n=5時,sn有最大值,b1·b2·…·bn=·…=,
所以當n=5時,b1·b2·…·bn有最大值.
【補償訓練】在等差數列中,公差d≠0,a2是a1與a4的等比中項.已知數列a1,a3,,,…,,…成等比數列,求數列的通項kn.
【解析】依題設得an=a1+(n-1)d,=a1a4,
所以(a1+d)2=a1(a1+3d),整理得d2=a1d,
因為d≠0,所以d=a1,得an=nd.
所以由已知得d,3d,k1d,k2d,…,knd,…是等比數列.
又d≠0,所以數列1,3,k1,k2,…,kn,…也是等比數列,首項為1,公比為q==3,由此得k1=9.
等比數列的首項k1=9,公比q=3,
所以kn=9×qn-1=3n+1(n=1,2,3,…),即得到數列的通項為kn=3n+1.
高中數學必修五第二章
數列知識點 1.等差數列的定義與性質 定義 為常數 等差中項 成等差數列 前項和性質 是等差數列 1 若，則 2 數列仍為等差數列，仍為等差數列，公差為 3 若三個成等差數列，可設為 4 若是等差數列，且前項和分別為，則 5 為等差數列 為常數，是關於的常數項為0的二次函式 的最值可求二次函式的最值...
高中數學必修五第二章《數列》知識點歸納
數列知識點總結 一 等差數列與等比數列 二 求數列通項公式的方法 1 通項公式法 等差數列 等比數列 2 涉及前 項和sn求通項公式，利用an與sn的基本關係式來求。即例1 在數列 中，表示其前 項和，且,求通項.例2 在數列 中，表示其前 項和，且,求通項3 已知遞推公式，求通項公式。1 疊加法 ...
高中數學必修5第二章複習
必修五第二章 5 5數列的概念及表示 一 基礎知識梳理 1 數列的定義 按照一定順序排列的一列數稱為數列，數列中的每乙個數叫做這個數列的項 2 數列的分類 3.數列的表示法 數列有三種表示法，它們分別是列表法 圖象法和解析法 4 數列的通項公式 如果數列的第n項與序號n之間的關係可以用乙個公式an ...