必修1 第二章基本初等函式(ⅰ)
〖2.1〗指數函式
【2.1.1】指數與指數冪的運算
（1）根式的概念
①如果，且，那麼叫做的次方根．當是奇數時，的次方根用符號表示；當是偶數時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示；0的次方根是0；負數沒有次方根．
②式子叫做根式，這裡叫做根指數，叫做被開方數．當為奇數時，為任意實數；當為偶數時，．
③根式的性質：；當為奇數時，；當為偶數時，．
（2）分數指數冪的概念
①正數的正分數指數冪的意義是：且．0的正分數指數冪等於0．
②正數的負分數指數冪的意義是：且．0的負分數指數冪沒有意義．注意口訣：底數取倒數，指數取相反數．
（3）分數指數冪的運算性質
③【2.1.2】指數函式及其性質
（4）指數函式
〖2.2〗對數函式
【2.2.1】對數與對數運算
（1）對數的定義
①若，則叫做以為底的對數，記作，其中叫做底數，叫做真數．
②負數和零沒有對數．
③對數式與指數式的互化：．
（2）幾個重要的對數恒等式
，，．（3）常用對數與自然對數
常用對數：，即；自然對數：，即（其中…）．
（4）對數的運算性質
如果，那麼
①加法：
②減法：
③數乘： ④⑤
⑥換底公式：
【2.2.2】對數函式及其性質
（5）對數函式
(6)反函式的概念
設函式的定義域為，值域為，從式子中解出，得式子．如果對於在中的任何乙個值，通過式子，在中都有唯一確定的值和它對應，那麼式子表示是的函式，函式叫做函式的反函式，記作，習慣上改寫成．
（7）反函式的求法
①確定反函式的定義域，即原函式的值域；
②從原函式式中反解出；
③將改寫成，並註明反函式的定義域．
（8）反函式的性質
①原函式與反函式的圖象關於直線對稱．
②函式的定義域、值域分別是其反函式的值域、定義域．
③若在原函式的圖象上，則在反函式的圖象上．
④一般地，函式要有反函式則它必須為單調函式．
〖2.3〗冪函式
（1）冪函式的定義
一般地，函式叫做冪函式，其中為自變數，是常數．
（2）冪函式的圖象
（3）冪函式的性質
①圖象分布：冪函式圖象分布在第
一、二、三象限，第四象限無圖象．冪函式是偶函式時，圖象分布在第
一、二象限(圖象關於軸對稱)；是奇函式時，圖象分布在第
一、三象限(圖象關於原點對稱)；是非奇非偶函式時，圖象只分布在第一象限．
②過定點：所有的冪函式在都有定義，並且圖象都通過點．
③單調性：如果，則冪函式的圖象過原點，並且在上為增函式．如果，則冪函式的圖象在上為減函式，在第一象限內，圖象無限接近軸與軸．
④奇偶性：當為奇數時，冪函式為奇函式，當為偶數時，冪函式為偶函式．當（其中互質，和），若為奇數為奇數時，則是奇函式，若為奇數為偶數時，則是偶函式，若為偶數為奇數時，則是非奇非偶函式．
⑤圖象特徵：冪函式，當時，若，其圖象在直線下方，若，其圖象在直線上方，當時，若，其圖象在直線上方，若，其圖象在直線下方．
〖補充知識〗二次函式
（1）二次函式解析式的三種形式
①一般式： ②頂點式：
③兩根式：
（2）求二次函式解析式的方法
①已知三個點座標時，宜用一般式．
②已知拋物線的頂點座標或與對稱軸有關或與最大（小）值有關時，常使用頂點式．
③若已知拋物線與軸有兩個交點，且橫線座標已知時，選用兩根式求更方便．
（3）二次函式圖象的性質
①二次函式的圖象是一條拋物線，對稱軸方程為頂點座標是．
②當時，拋物線開口向上，函式在上遞減，在上遞增，當時，；當時，拋物線開口向下，函式在上遞增，在上遞減，當時，．
③二次函式當時，圖象與軸有兩個交點．
（4）一元二次方程根的分布
一元二次方程根的分布是二次函式中的重要內容，這部分知識在初中代數中雖有所涉及，但尚不夠系統和完整，且解決的方法偏重於二次方程根的判別式和根與係數關係定理（韋達定理）的運用，下面結合二次函式圖象的性質，系統地來分析一元二次方程實根的分布．
設一元二次方程的兩實根為，且．令，從以下四個方面來分析此類問題：①開口方向： ②對稱軸位置： ③判別式： ④端點函式值符號．
①k＜x1≤x2
②x1≤x2＜k
③x1＜k＜x2 af(k)＜0
④k1＜x1≤x2＜k2
⑤有且僅有乙個根x1（或x2）滿足k1＜x1（或x2）＜k2 f(k1)f(k2) 0，並同時考慮f(k1)=0或f(k2)=0這兩種情況是否也符合
⑥k1＜x1＜k2≤p1＜x2＜p2
此結論可直接由⑤推出．
（5）二次函式在閉區間上的最值
設在區間上的最大值為，最小值為，令．
（ⅰ）當時（開口向上）
最小值1 若，則 ②若，則
③若，則
最大值1 若，則 ②，則
(ⅱ)當時(開口向下)
最大值①若，則 ②若，則
③若，則
最小值①若，則則．
第1講 §2.1.1 指數與指數冪的運算
¤學習目標：理解有理指數冪的含義，通過具體例項了解實數指數冪的意義，掌握根式與分數指數冪的互化，掌握有理數指數冪的運算.
¤知識要點：
1. 若，則x叫做a的n次方根，記為，其中n>1，且. n次方根具有如下性質：
（1）在實數範圍內，正數的奇次方根是乙個正數，負數的奇次方根是乙個負數；正數的偶次方根是兩個絕對值相等、符號相反的數，負數的偶次方根沒有意義；零的任何次方根都是零.
（2）n次方根（）有如下恒等式：
；；，（a0）.
2. 規定正數的分數指數冪： （）；.
¤例題精講：
【例1】求下列各式的值：
（1）（）； （2）.
解：（1）當n為奇數時，；
當n為偶數時，.
（2）.
當時，；當時，.
【例2】已知，求的值.
解：.【例3】化簡：（1）； （2）（a＞0，b＞0）； （3）.
解：（1）原式=.
（2）原式====.
（3）原式=.
點評：根式化分數指數冪時，切記不能混淆，注意將根指數化為分母，冪指數化為分子，根號的巢狀，化為冪的冪. 正確轉化和運用冪的運算性質，是複雜根式化簡的關鍵.
【例4】化簡與求值：
（1）； （2）.
解：（1）原式=
4.（2）原式=
點評：形如的雙重根式，當是乙個平方數時，則能通過配方法去掉雙重根號，這也是雙重根號能否開方的判別技巧. 而分母有理化中，常常用到的是平方差公式，第2小題也體現了一種消去法的思想.
第（1）小題還可用平方法，即先算得原式的平方，再開方而得.
第2講 §2.1.2 指數函式及其性質（一）
¤學習目標：理解指數函式的概念和意義，能借助計算器或計算機畫出具體指數函式的影象，探索並理解指數函式的單調性與特殊點，掌握指數函式的性質.
¤知識要點：
1. 定義：一般地，函式叫做指數函式（exponential function），其中x是自變數，函式的定義域為r.
2. 以函式與的圖象為例，觀察這一對函式的圖象，可總結出如下性質：
定義域為r，值域為；當時，，即圖象過定點；當時，在r上是減函式，當時，在r上是增函式.
¤例題精講：
【例1】求下列函式的定義域：
（1）； （2）； （3）.
解：（1）要使有意義，其中自變數x需滿足，即. ∴ 其定義域為.
（2）要使有意義，其中自變數x需滿足，即. ∴ 其定義域為.
（3）要使有意義，其中自變數x需滿足，即. ∴其定義域為.
【例2】求下列函式的值域：
（1）； （2）
解：（1）觀察易知， 則有. ∴ 原函式的值域為.
（2）. 令，易知. 則.
結合二次函式的圖象，由其對稱軸觀察得到在上為增函式，
所以. ∴ 原函式的值域為.
【例3】（05年福建卷.理5文6）函式的圖象如圖，其中a、b為常數，則下列結論正確的是（ ）.
a． b．
c． d．
解：從曲線的變化趨勢，可以得到函式為減函式，從而00，即b<0. 所以選d.
點評：觀察圖象變化趨勢，得到函式的單調性，結合指數函式的單調性，得到引數a的範圍. 根據所給函式式的平移變換規律，得到引數b的範圍.
也可以取x=1時的特殊點，得到，從而b<0.
【例4】已知函式.
（1）求該函式的圖象恆過的定點座標；（2）指出該函式的單調性.
解：（1）當，即時，.
所以，該函式的圖象恆過定點.
（2）∵是減函式，
∴ 當時，在r上是增函式；當時，在r上是減函式.
點評：底數兩種情況的辨析，實質就是分類討論思想的運用. 而含參指數型函式的研究，要求正確處理與引數相關的變與不變.
第3講 §2.1.2 指數函式及其性質（二）
¤學習目標：在解決簡單實際問題的過程中，體會指數函式是一類重要的函式模型. 掌握指數函式的性質及應用.
¤知識要點：
以函式與的圖象為例，得出這以下結論：
（1）函式的圖象與的圖象關於y軸對稱.
（2）指數函式的圖象在第一象限內，圖象由下至上，底數由下到大.
¤例題精講：
【例1】按從小到大的順序排列下列各數：，，，.
高中數學必修1知識點總結第二章基本初等函式
高中數學必修1知識點總結 第二章基本初等函式 2.1 指數函式 2.1.1 指數與指數冪的運算 1 根式的概念 如果，且，那麼叫做的次方根 當是奇數時，的次方根用符號表示 當是偶數時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示 0的次方根是0 負數沒有次方根 式子叫做根式，這裡叫做根指數，叫做...
高中數學必修1知識點總結第二章基本初等函式
高中數學必修1知識點總結 第二章基本初等函式 2.1 指數函式 2.1.1 指數與指數冪的運算 1 根式的概念 如果，且，那麼叫做的次方根 當是奇數時，的次方根用符號表示 當是偶數時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示 0的次方根是0 負數沒有次方根 式子叫做根式，這裡叫做根指數，叫做...
高中數學必修1第2章函式概念與基本初等函式
第2章函式概念與基本初等函式 一 函式的概念和圖象 經典例題 設函式f x 的定義域為 0，1 求下列函式的定義域 1 h x f x2 1 2 g x f x m f x m m 0 練習 1 下列四組函式中,表示同一函式的是 ab c d 2 函式的圖象與直線交點的個數為 a 必有乙個 b 1個...