2015-2016高中數學第二章基本初等函式（ⅰ）小結新人教a版必修1
一、目標解讀
函式是高中數學的主要內容之一，這是因為函式思想方法靈活多樣，邏輯思維性強，許多數學問題都可以從函式的角度來認識、研究．函式知識與數學的其他各分支的巧妙結合容易形成綜合性較強的新穎的試題，這樣的試題往往成為高考中極具份量的一類解答題，綜合考查考生應用函式知識分析問題、解決問題的能力．而在命題的具體設計上，總是具有從易到難、逐步設問的特點，以較隱蔽的方式給出解題思路，在考查函式內容的同時也考查應用函式的思想方法，觀察問題、分析問題和解決問題的能力，同時考查學生數形結合的思想和分類討論的思想的應用能力．
函式是中學數學的重要組成部分．它所涉及的內容是公升入大學繼續學習的基礎，因此，函式不僅是中學數學教學的重點，也是高考考查的重點．近年來，函式的分值佔30%左右．
函式是高中代數的主線．它體系完整，內容豐富，應用廣泛．由於它描述的是自然界中量的依存關係，是對問題本身數量的制約關係的一種刻畫，所以是對數量關係本質特徵的一種揭示，為我們從運動、變化、聯絡、發展的角度認識問題開啟了思路．
本章主要研究的是基本初等函式：指數函式、對數函式和冪函式的概念、圖象和性質，包括理解分數指數冪的概念，掌握有理指數冪的運算性質，理解對數的概念，掌握對數的運算性質，能運用函式的一般性質和指數函式、對數函式的特徵性質解決某些簡單的實際問題．
指數函式與對數函式都是初等超越函式．在歷年的高考題**現的頻率較大．出現在小題時是較基本的考查方式；出現在大題中時，往往與其他知識綜合形成開放性問題，加大對開放性問題的考查力度．
通過本章的學習達到以下基本目標：
①了解指數函式模型的實際背景，體會指數函式是一類重要的函式模型．
②理解有理指數冪的含義，了解實數指數冪的意義，掌握冪的運算．
③理解指數函式的概念和意義，能畫出具體指數函式的圖象，探索並理解指數函式的單調性與特殊點．
④了解對數函式模型所刻畫的數量關係，初步理解對數函式的概念，體會對數函式是一類重要的函式模型．
⑤能畫出具體對數函式的圖象，探索並了解對數函式的單調性與特殊點．
⑥理解對數的概念及其運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數．
⑦了解指數函式y＝ax(a＞0，且a≠1)與對數函式y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函式．
⑧了解冪函式的概念，結合函式y＝xα(α＝1，2，3，，－1)的圖象，了解它們的變化情況．
二、主幹知識
(一)指數與指數冪的運算
1．整數指數冪的概念．
(1)正整數指數冪的意義：
(2)零指數冪：a0＝1(a≠0)．
(3)負整數指數冪：
a－n＝(a≠0，n∈n*)．
2．整數指數冪的運算性質：
①am·an＝am＋n；②(am)n＝amn；③(ab)n＝anbn.
3．如果xn＝a，那麼x叫做a的n次方根，其中n＞0，且n∈n*.
(1)當n是奇數時，正數的n次方根是乙個正數，負數的n次方根是乙個負數．此時a的n次方根用符號表示．
(2)方根的性質：①當n是奇數時，＝a；
②當n是偶數時，＝|a|＝
4．分數指數冪．
(1)正數的分數指數冪的意義：設a＞0，m，n∈n*，n＞1，規定a＝，a－＝＝.
(2)0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義．
5．有理指數冪的運算性質：
(1)ar·as＝ar＋s(a＞0，r，s∈q)；
(2)(ar)s＝ars(a＞0，r，s∈q)；
(3)(ab)r＝arbr(a＞0，b＞0，r∈q)．
(二)指數函式及其性質
1．函式y＝ax(a＞0，且a≠1)叫做指數函式，其中x是自變數．
2．指數函式y＝ax(a＞0，且a≠1)的圖象和性質(見下表)：
(三)對數與對數運算
1．如果ax＝n(a＞0，a≠1)，那麼數x叫做以a為底n的對數．記作x＝logan，其中a叫做對數的底數，n叫做真數．對數式的書寫格式：
(1)以10為底的對數叫做常用對數，並把常用對數log10n簡記為lg n；
(2)以無理數e＝2.718 28……為底的對數，叫自然對數，並把自然對數logen簡記為ln n.
2．指數與對數的關係：設a＞0，且a≠1，則ax＝nlogan＝x.
3．對數的性質．
(1)在指數式中n＞0，故0和負數沒有對數，即式子logan中n必須大於0；
(2)設a＞0，a≠1，則有a0＝1，所以loga1＝0，即1的對數為0；
(3)設a＞0，a≠1，則有a1＝a，所以logaa＝1，即底數的對數為1.
4．對數恒等式．
(1)如果把ab＝n中的b寫成logan形式，則有alogan＝n；
(2)如果把x＝logan中的n寫成ax形式，則有logaax＝x.
5．對數的運算性質．
設a＞0，a≠1，m＞0，n＞0，則有：
(1)loga(mn)＝logam＋logan，簡記為：積的對數＝對數的和；
(2)loga＝logam－logan，簡記為：商的對數＝對數的差；
(3)logamn＝nlogam(n∈r)．
(四)對數函式及其性質
1．函式y＝logax(a＞0，且a≠1)叫做對數函式，其中x是自變數，函式的定義域是(0，＋∞)．
2．對數函式的圖象、性質(見下表)：
(1)當a＞1時，若x＞1，則logax＞0，若0＜x＜1，則logax＜0；
(2)當0＜a＜1時，若0＜x＜1，則logax＞0，若x＞1，則logax＜0.
3．函式y＝ax與y＝logax(a＞0，且a≠1)互為反函式，互為反函式的兩個函式的圖象關於直線y＝x對稱．
(五)冪函式
1．形如y＝xα(α∈r)的函式叫做冪函式，其中α為常數．只研究α為有理數的情形．
2．冪函式y＝x，y＝x，y＝x2，y＝x－1，y＝x3的圖象如下圖所示．
3．冪函式的性質．
(1)冪函式在(0，＋∞)都有定義，並且圖象都過點(1，1)．
(2)當α＞0時，冪函式的圖象通過原點，並且在區間[0，＋∞)上是增函式．特別地，當α＞1時，冪函式的圖象下凸；當0＜α＜1時，冪函式的圖象上凸．
(3)當α＜0時，冪函式的圖象在區間(0，＋∞)上是減函式．在第一象限內，當x從右邊趨向原點時，圖象在y軸右方無限地逼近y軸正半軸，當x趨於＋∞時，圖象在x軸上方無限地逼近x軸正半軸．
4．圖象形狀：當α＞0(α≠1)時，圖象為拋物線型；當α＜0時，圖象為雙曲線型；當α＝0，1時，圖象為直線型．
1．正數的分數指數冪的意義：設a>0，m，n∈n*，n>1，規定：a＝，a－＝＝，0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義．
2．有理指數冪的運算性質：
①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈q)；
②(ar)s＝ars(a>0，r，s∈q)；
③(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈q)．
例1 設函式f1(x)＝x，f2(x)＝x－1，f3(x)＝x2，則f1(f2(f3(2 015
解析：f1(f2(f3(2 015)))＝f1(f2(2 0152))＝
f1((2 0152)－1)＝((2 0152)－1)＝2 015－1.
答案：跟蹤訓練
1．若x>0，則(2x＋3)·(2x－3)－4x＝_______.
1．解析：由平方差公式化簡即得答案．答案： －27
2．設a＞0，b＞0，計算4ab2．－6a
3．冪函式y＝f(x)的圖象經過點，則滿足f(x)＝27的x的值是____．3.
1．設a>0，且a≠1，則ax＝nlogan＝x；alogan＝n; logaax＝x.
2．設a>0，a≠1, m>0，n>0 ，則有：
(1)loga(mn)＝logam＋logan，
(2)loga＝logam－logan，
(3)logamn＝nlogam(n∈r)．
3．設a>0，a≠1，b>0，b≠1，則logax＝.
例2 設2a＝5b＝m，且＋＝2，則m＝( )
a. b．10 c．20 d．100
解析：由2a＝5b＝m得a＝log2m，b＝log5m，
∴＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，∴m2＝10，又∵m＞0，∴m＝.故選a.
答案：a
跟蹤訓練
4．已知函式f(x)＝log2(x＋1)，若f(α)＝1，則α＝( )
a．0 b．1 c．2 d．3
4．解析：α＋1＝2，故α＝1，故選b.答案：b
5．2log510＋log50.25＝( )
5．解析：2log510＋log50.25＝log5100＋log50.25＝log525＝2.答案：c
a．0 b．1 c ．2 d．4
6．已知函式f(x)＝則f＝( )
a．4 b. c．－4 d．－
6．解析：根據分段函式可得f＝log3＝－2，則
f＝f(－2)＝2－2＝，所以b正確．答案：b
7．設g(x)＝則g＝____.
7．解析：g＝g＝eln＝.答案：
1．指數函式y＝ax(a>0，且a≠1)的定義域是r，值域是，過定點(0，1)．
當a>1時，指數函式y＝ax是r上的增函式；當02．對數函式y＝logax(a>0，且a≠1)的定義域是，值域是r，過定點(1，0)．
當a>1時，對數函式y＝logax是上的增函式；當0 例3 函式y＝的定義域為( )
a. b. c．(1，＋∞) d.∪(1，＋∞)
解析：由log0.5(4x－3)＞0且4x－3＞0可解得＜x＜1，故選a.答案：a
跟蹤訓練
8．函式y＝log2x的圖象大致是( )8．c
第二章基本初等函式小結與複習
一.教學目標 1.知識與技能 1 理解指數與對數,指數函式與對數函式的聯絡.2 能更加熟練地解決與指數函式,對數函式有關的問題.2.過程與方法 通過提問,分析點評,讓學生更能熟悉指數函式,對數函式的性質.3.情感 態度 價值觀 1 提高學生的認知水平，為學生塑造良好的數學認識結構.2 培養學生數形結...
第二章基本初等函式小結與複習
一.教學目標 1.知識與技能 1 理解指數與對數,指數函式與對數函式的聯絡.2 能更加熟練地解決與指數函式,對數函式有關的問題.2.過程與方法 通過提問,分析點評,讓學生更能熟悉指數函式,對數函式的性質.3.情感 態度 價值觀 1 提高學生的認知水平，為學生塑造良好的數學認識結構.2 培養學生數形結...
第二章基本初等函式知識點
2.1.1 指數與指數冪的運算 1 根式的概念 當是奇數時，的次方根用符號表示 當是偶數時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示 0的次方根是0 負數沒有次方根 根式的性質 一 二 為奇數時 為偶數時 2 分數指數冪的概念 且 注 裡上外下 且 0的負分數指數冪沒有意義 3 分數指數冪的...