考點梳理
(一)指數函式
1．根式
(1)n次方根：如果xn＝a，那麼x叫做a的 ，其中n＞1，且n∈n*.
注：負數沒有偶次方根．
(2)根式的性質：n為奇數時，＝ ；
n為偶數時，＝ .
2．冪的有關概念及運算
(1)零指數冪：a0＝ .（a ≠ 0.）
(2)負整數指數冪：a－n＝ (a≠0，n∈n*)．
(3)正分數指數冪：a＝ (a＞0，m，n∈n*，且n＞1)．
(4)有理指數冪的運算性質
3．指數函式的圖象及性質
(二)對數函式
1．對數
(1)對數：如果ax＝n(a＞0，且a≠1)，那麼x叫做以a為底n的_______，記作x＝_______.其中a叫做對數的_______，n叫做_______．
(2)兩類重要的對數
①常用對數：以_______為底的對數叫做常用對數，並把log10n記作_______；
②自然對數：以_______為底的對數稱為自然對數，並把logen記作_______．
注：無理數e＝2.718 28…；
(3)對數與指數之間的關係
當a＞0，a≠1時，ax＝n_______x＝logan.
(4)對數運算的性質
如果a＞0，且a≠1，m＞0，n＞0，那麼：
①loga(mn
②loga
③logamn
一般地(5)換底公式及對數恒等式
①對數恒等式loga1＝_______，logaa＝_______.
②換底公式：logaba＞0且a≠1；c＞0且c≠1；b＞0)．特別地，logab＝
2．對數函式的圖象及性質
3.對數函式與指數函式的關係
對數函式y＝logax(a>0，且a≠1)與指數函式y＝ax(a>0且a≠1)互為反函式；它們的圖象關於直線________對稱．
(三)冪函式
1．冪函式的定義
一般地，函式________叫做冪函式，其中x是自變數，α是常數．
2．幾個常用的冪函式的圖象與性質
自查自糾：
(一)1．(1)n次方根
(2)a |a|
2．(1)1 (2) (3) (4)ar＋s ars arbr
3．r (0，＋∞) (0，1) 增函式減函式
(二)1．(1)對數 logan 底數真數
(2)①10 lgn ②e lnn (iii)0 1
(3)(4)①logam＋logan ②logam－logan
③nlogam logam
(5)①n ，0,1.②
2．(0，＋∞) r (1，0) 增函式減函式
3．y＝x
(三)1．y＝xα
2．(1)(0，0)和(1，1) (1，1) (2)增函式減函式
典型例題講練
例題1 ()化簡下列各式：
(1)[(0.064)－2.5] －－π0；
.解：(1)原式＝－－1
＝－－1
＝－－1
＝0.(2)計算log535＋2log－log5－log514的值．
解：原式＝log5＋2log2＝log553－1＝2.
變式1 （2016浙江理12）已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，則a= ，b= .
【答案】，
（2015浙江理12）若，則 ．
【答案】.
例題2 （1）已知實數a，b滿足等式＝，下列五個關係：①0＜b＜a；②a＜b＜0；③0＜a＜b；④b＜a＜0；⑤a＝b＝0.其中不可能成立的關係有( )
a．1個 b．2個 c．3個 d．4個
解：作出函式y＝與y＝的圖象，然後作直線y＝m，y＝n(0＜m＜1＜n)．
我們很容易得到a（2）()已知函式f(x)＝|log2x|，0＜m＜n，且f(m)＝f(n)，若函式f(x)在區間[m2，n]上的最大值為2，則m2＝( )
a. b. c. d.
解：作出函式f(x)＝|log2x|的圖象如圖．
由題意可得0＜m＜1＜n，∴0＜m2＜m，結合圖象可知函式f(x)在[m2，n]上的最大值為f(m2)，則有－log2m2＝2，m2＝2－2＝.故選a.
例題3 （1）()設函式f(x)＝
(1)若a＝1，則f(x)的最小值為________；
(2)若f(x)恰有2個零點，則實數a的取值範圍是________．
解：(1)a＝1時，
f(x)＝
當x＜1時，f(x)∈(－1，1)，f(x)無最小值；當x≥1時，f(x)在為減函式，在為增函式，當x＝時，f(x)取得最小值為－1.
(2)①若函式g(x)＝2x－a在x<1時與x軸有乙個交點，則a>0，並且當x＝1時，g(1)＝2－a>0，則0②若函式g(x)＝2x－a與x軸有無交點，則函式h(x)＝4(x－a)(x－2a)與x軸有兩個交點．當a≤0時，g(x)與x軸無交點，h(x)＝4(x－a)(x－2a)在[1，＋∞)與x軸也無交點，不合題意；當g(1)＝2－a≤0時，a≥2，h(x)與x軸有兩個交點，其橫座標為x＝a和x＝2a，由於a≥2，兩交點橫座標均滿足x≥1，符合題意．
綜合①②可得a的取值範圍為≤a<1或a≥2.
故填－1；∪[2，＋∞)．
（2） 已知函式f(x)＝2x－.
(1)若f(x)＝2，求x的值；
(2)若2tf(2t)＋mf(t)≥0對於t∈[1，2]恆成立，求實數m的取值範圍．
解：(1)當x＜0時，f(x)＝0；當x≥0時，f(x)＝2x－.
由條件可知2x－＝2，即22x－2·2x－1＝0，解得2x＝1±.
∵2x＞0，∴2x＝1＋，即x＝log2(1＋)．
(2)當t∈[1，2]時，2t＋m≥0，
∵2t＞0，兩邊同乘以2t，即得m(22t－1)≥－(24t－1)．
∵22t－1＞0，∴m≥－(22t＋1)．
∵t∈[1，2]，∴－(1＋22t)∈[－17，－5]，
故m的取值範圍是[－5，＋∞)．
(2)已知f(x)＝lg，f(1)＝0，當x>0時，恒有f(x)－f＝lgx.
(1)求f(x)的解析式；
(2)若方程f(x)＝lg(m＋x)的解集是，求實數m的取值範圍．
解：(1)∵當x>0時，f(x)－f＝lgx恆成立，
∴lg－lg＝lgx，即(a－b)x2－(a－b)x＝0.
∵x≠0，∴上式若恒成立，則只能有a＝b，
又f(1)＝0，即a＋b＝2，從而a＝b＝1，∴f(x)＝lg.
(2)由lg＝lg(m＋x)知
即由於方程的解集為，故有如下兩種情況：
①方程x2＋(m－1)x＋m＝0無解，即δ<0，
解得3－2②方程x2＋(m－1)x＋m＝0有解，兩根均在區間[－1，0]內，令g(x)＝x2＋(m－1)x＋m，則有
即無解．
綜合①②知，實數m的取值範圍是{m|3－2例題4 如圖，曲線是冪函式y＝xn在第一象限的圖象，已知n取2，3，，－1四個值，則相應於曲線c1，c2，c3，c4的n依次為
解法一(數形結合法)：如圖，作直線x＝t(t>1)，由於函式y＝xn的圖象與直線x＝t的交點為(t，tn)，可見指數n的大小與圖象交點的「高低」是一致的，結合圖象，可得答案．
解法二(特殊值法)：當x＝2時，y1＝23＝8，y2＝22＝4，y3＝20.5＝，y4＝2－1＝，∵8>4＞＞，∴y1＞y2＞y3＞y4，故填3，2，，－1.
變式4 ()在下列直角座標系的第一象限內分別畫出了函式y＝x，y＝，y＝x2，y＝x3，y＝x－1的部分圖象，則函式y＝的圖象通過的陰影區域是( )
解：函式y＝的圖象位於函式y＝x與y＝x2的圖象之間，對比各選項中的陰影區域，知c正確．故選c.
方法規律總結
1．指數函式的圖象、性質在應用時，如果底數a的取值範圍不確定，則要對其進行分類討論．
2．比較兩個冪的大小，首先要分清是底數相同還是指數相同．如果底數相同，可利用指數函式的單調性；如果指數相同，可轉化為底數相同，或利用冪函式的單調性，也可借助函式圖象；如果指數不同，底數也不同，則要利用中間量．
3．熟練掌握指數式與對數式的互化，它不僅體現了兩者之間的相互關係，而且為對數的計算、化簡、證明等問題提供了更多的解題途徑．
4．作指數函式y＝ax(a＞0，且a≠1)和對數函式y＝logax(a＞0，且a≠1)的圖象應分別抓住三個點，(0，1)，(1，a)和，(1，0)，(a，1)．
基本初等函式
一 基礎知識 必會 1 指數函式及其性質 形如y ax a 0,a1 的函式叫做指數函式，其定義域為r，值域為 0，當01時，y ax為增函式，它的圖象恆過定點 0，1 2 分數指數冪 3 對數函式及其性質 形如y logax a 0,a1 的函式叫做對數函式，其定義域為 0，值域為r，圖象過定點 ...
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指數與指數函式 一 重難點知識歸納 1 冪的概念的推廣，對於指數式來說，當指數x取各種不同的有理數時，式子的定義如下 m，n n，n 1 1 正整數指數冪 2 零指數冪 a 0 3 負整數指數冪 4 分數指數冪 2 實數的指數冪的運算性質 其中a 0，b 0，m n為實數 1 2 3 4 5 3 根...
基本初等函式小結
學習目標 1.掌握指數函式 對數函式的概念，會作指數函式 對數函式的圖象，並能根據圖象說出指數函式 對數函式的性質 了解五個冪函式的圖象及性質 2.體會函式的零點與方程根之間的聯絡，掌握零點存在的判定條件，能用二分法求方程的近似解 3.了解函式模型 如指數函式 對數函式 冪函式 分段函式等在社會生活...