基本初等函式
第1講指數與指數函式
1．根式：
(1) 定義：若，則稱為的次方根
① 當為奇數時，次方根記作
② 當為偶數時，負數沒有次方根，而正數有兩個次方根且互為相反數，記作________(a>0).
(2) 性質：
① ；② 當為奇數時，；③ 當為偶數時
2．指數：
(1) 規定：
① a0a≠0)；② a-p
(2) 運算性質：
a>0, r、qa>0, r、q)
a>0, r、q)
注：上述性質對r、r均適用.
3．指數函式：
① 定義：函式稱為指數函式，1) 函式的定義域為 ；2) 函式的值域為 ；3) 當________時函式為減函式，當_______時為增函式.
②指數函式的圖象與性質
考向一指數冪的化簡與求值
【例1】化簡下列各式(其中各字母均為正數)．
（1） （2）
[審題視點] 熟記有理數指數冪的運算性質是化簡的關鍵．
解 (1)原式＝
＝a－－－·b＋－＝.
(2)原式＝－a－b－3÷(4a·b－3)
＝－a－b－3÷
＝－a－·b－
＝－·＝－.
【訓練1】 計算：
(1)；
(2) 已知a=求：
解 (1)原式＝－49＋－1＝－45.
(2) 原式=.÷［a·］ = =a.
∵a=，∴原式=3.
考向二指數函式的性質
【例2】已知函式f(x)＝·x3(a＞0且a≠1)．
(1)求函式f(x)的定義域；
(2)討論函式f(x)的奇偶性；
(3)求a的取值範圍，使f(x)＞0在定義域上恆成立．
[審題視點] 對解析式較複雜的函式判斷其奇偶性要適當變形；恆成立問題可通過求最值解決．
解 (1)由於ax－1≠0，且ax≠1，所以x≠0.
∴函式f(x)的定義域為．
(2)對於定義域內任意x，有
f(－x)＝(－x)3
＝(－x)3＝(－x)3
＝x3＝f(x)，
∴f(x)是偶函式．
(3)當a＞1時，對x＞0，由指數函式的性質知ax＞1，
∴ax－1＞0，＋＞0.
又x＞0時，x3＞0，∴x3＞0，
即當x＞0時，f(x)＞0.
又由(2)知f(x)為偶函式，即f(－x)＝f(x)，
則當x＜0時，－x＞0，有f(－x)＝f(x)＞0成立．
綜上可知，當a＞1時，f(x)＞0在定義域上恆成立．
當0＜a＜1時，f(x)＝.
當x＞0時，1＞ax＞0，ax＋1＞0，
ax－1＜0，x3＞0，此時f(x)＜0，不滿足題意；
當x＜0時，－x＞0，f(－x)＝f(x)＜0，也不滿足題意．
綜上可知，所求a的取值範圍是a＞1.
【訓練2】已知定義在r上的奇函式f(x)有最小正週期2，且當x∈(0,1)時，f(x)=.
（1）求f（x)在［-1，1］上的解析式；
（2）證明：f(x)在（0，1）上是減函式.
（1）解： 當x∈(-1,0)時，-x∈(0,1).
∵f（x）是奇函式，∴f（x）=-f（-x）=-
由f(0)=f(-0)=-f(0)，且f(1)=-f(-1)=-f(-1+2)=-f(1),
得f(0)=f(1)=f(-1)=0.∴在區間［-1，1］上，有 f（x）=
(2)證明當x∈(0,1)時，f(x)=
設0＜x1＜x2＜1,
則f(x1)-f(x2)=
∵0＜x1＜x2＜1,∴＞0，2-1＞0,∴f(x1)-f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2),
故f(x)在（0，1）上單調遞減.
考向三指數函式圖象的應用
【例3】(2009·山東)函式y＝的圖象大致為( )．
[審題視點] 函式圖象的判斷要充分利用函式的性質，如奇偶性、單調性．
解析 y＝＝1＋，當x＞0時，e2x－1＞0且隨著x的增大而增大，故y＝1＋＞1且隨著x的增大而減小，即函式y在(0，＋∞)上恆大於1且單調遞減，又函式y是奇函式，故選a.
答案 a
利用指數函式的圖象和性質可研究復合函式的圖象和性質，比如：函式y＝，y＝，y＝lg(10x－1)等．
【訓練3】(2012·郴州五校聯考)函式f(x)＝2|x－1|的圖象是( )．
解析 f(x)＝故選b.
答案 b
第2講對數與對數函式
1．對數：
(1) 定義：如果，那麼稱為記作其中稱為對數的底，n稱為真數.
① 以10為底的對數稱為常用對數，記作
② 以無理數為底的對數稱為自然對數，記作
(2) 基本性質：
① 真數n為 (負數和零無對數
④ 對數恒等式
(3) 運算性質：
① loga(mn
② loga
③ logamnn∈r).
④ 換底公式：logana>0，a≠1，m>0，m≠1，n>0)
2．對數函式：
① 定義：函式稱為對數函式，1) 函式的定義域為( ；2) 函式的值域為 ；3) 當______時，函式為減函式，當______時為增函式；
4) 函式與函式互為反函式.
②對數函式的圖象與性質
考向一對數式的化簡與求值
【例1】求值：(1)；(2)(lg 5)2＋lg 50·lg 2；
(3) lg－lg＋lg.
[審題視點] 運用對數運算法則及換底公式．
解 (1)原式＝＝.
(2)原式＝(lg 5)2＋lg(10×5)lg
＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)(1－lg 5)＝(lg 5)2＋1－(lg 5)2＝1.
(3)法一原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)
＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.
法二原式＝lg－lg 4＋lg(7)＝lg＝
lg＝.
【訓練1】 (1)若2a＝5b＝10，求＋的值．
(2)若xlog34＝1，求4x＋4－x的值．
解 (1)由已知a＝log210，b＝log510，
則＋＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.
(2)由已知x＝log43，
則4x＋4－x＝4log43＋4－log43＝3＋＝.
考向二對數值的大小比較
【例2】（2011遼寧）已知f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函式，且在(－∞，0]上是增函式，設a＝f(log47)，b＝f(log3)，c＝f(0.2－0.6)，則a，b，c的大小關係是( )．
a．c＜a＜b b．c＜b＜a
c．b＜c＜a d．a＜b＜c
[審題視點] 利用函式單調性或插入中間值比較大小．
解析 log3＝－log23＝－log49，b＝f(log3)＝f(－log49)＝f(log49)，log47＜log49,0.2－0.6＝－＝＞＝2＞log49，
又f(x)是定義在(－∞，＋∞)上的偶函式，且在(－∞，0]上是增函式，故f(x)在[0，＋∞)上是單調遞減的，
∴f(0.2－0.6)＜f(log3)＜f(log47)，即c＜b＜a，故選b.
答案 b
【訓練2】 (2010·全國)設a＝log32，b＝ln 2，c＝，則( )．
a．a＜b＜c b．b＜c＜a c．c＜a＜b d．c＜b＜a
解析法一 a＝log32＝，b＝ln 2＝，而log23＞log2e＞1，所以a＜b，c＝＝，而＞2＝log24＞log23，所以c＜a，綜上c＜a＜b，故選c.
法二 a＝log32＝，b＝ln 2＝，1＜log2e＜log23＜2，∴＜＜＜1；c＝5－＝＜＝，所以c＜a＜b，故選c.
答案 c
考向三對數函式性質的應用
【例3】(2012浙江) 已知函式f(x)＝loga(2－ax)，是否存在實數a，使函式f(x)在[0,1]上是關於x的減函式，若存在，求a的取值範圍．
[審題視點] a＞0且a≠1，問題等價於在[0,1]上恒有.
解 ∵a＞0，且a≠1，
∴u＝2－ax在[0,1]上是關於x的減函式．
又f(x)＝loga(2－ax)在[0,1]上是關於x的減函式，
∴函式y＝logau是關於u的增函式，且對x∈[0,1]時，u＝2－ax恒為正數．
其充要條件是，即1＜a＜2.
∴a的取值範圍是(1,2)．
【訓練3】 （2011瀋陽模擬）已知f(x)＝log4(4x－1)
(1)求f(x)的定義域；
(2)討論f(x)的單調性；
(3)求f(x)在區間上的值域．
解 (1)由4x－1>0解得x>0，
因此f(x)的定義域為(0，＋∞)．
(2)設0因此log4(4x1－1)(3)f(x)在區間上遞增，
又f＝0，f(2)＝log415，
因此f(x)在上的值域為[0，log415]．
第3講冪函式與二次函式
1．冪函式的定義
一般地，形如y＝xα(α∈r)的函式稱為冪函式，其中底數x是自變數，α為常數．
基本初等函式 教案 人教版 必修1 數學
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一 基礎知識 必會 1 指數函式及其性質 形如y ax a 0,a1 的函式叫做指數函式，其定義域為r，值域為 0，當01時，y ax為增函式，它的圖象恆過定點 0，1 2 分數指數冪 3 對數函式及其性質 形如y logax a 0,a1 的函式叫做對數函式，其定義域為 0，值域為r，圖象過定點 ...
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