a級基礎達標演練
(時間：45分鐘滿分：80分)
一、填空題(每小題5分，共35分)
1．(2010·鹽城市模擬)函式f(x)＝lg(x2－3x)的單調遞增區間是________．
解析由x2－3x>0得x<0或x>3.而x2－3x在(3，＋∞)上單調遞增，所以f(x)的單調遞增區間為(3，＋∞)．
答案 (3，＋∞)
2．下列函式中，在區間(0,2)上為增函式的是填所有正確的編號)
①y＝－x＋1；②y＝；③y＝x2－4x＋5；④y＝.
解析 y＝－x＋1在r上遞減；y＝在r＋上遞增；y＝x2－4x＋5在(－∞，2]上遞減，在[2，＋∞)上遞增，y＝在r＋上遞減．
答案 ②
3．定義在r的奇函式f(x)單調遞增，且對任意實數a，b滿足f(a)＋f(b－1)＝0，則a＋b
解析 ∵f(x)為奇函式，∴f(－x)＝－f(x)
∴f(a)＝－f(b－1)＝f(1－b)
又∵f(x)單調遞增
∴a＝1－b即a＋b＝1.
答案 1
4．(2010·鎮江調研)若函式f(x)＝x2＋(a2－4a＋1)x＋2在區間(－∞，1]上是減函式，則a的取值範圍是________．
解析因為f(x)是二次函式且開口向上，
所以要使f(x)在(－∞，1]上是單調遞減函式，
則必有－≥1，即a2－4a＋3≤0，解得1≤a≤3.
答案 [1,3]
5．(2011·新課標全國卷)下列函式：①y＝x3；②y＝|x|＋1；③y＝－x2＋1；④y＝2－|x|，既是偶函式又在(0，＋∞)單調遞增的函式序號是________．
解析 y＝x3是奇函式，y＝－x2＋1與y＝2－|x|在(0，＋∞)上是減函式．
答案 ②
6．已知f(x)是定義在(－1,1)上的奇函式，且f(x)在(－1,1)上是減函式，不等式f(1－x)＋f(1－x2)＜0的解集為________．
解析由f(x)是定義在(－1,1)上的奇函式，
及f(1－x)＋f(1－x2)＜0
得f(1－x)＜－f(1－x2)．
所以f(1－x)＜f(x2－1)．又因為f(x)在(－1,1)上是減函式，
所以故原不等式的解集為(0,1)．
答案 (0,1)
7．(2011·山東省萊蕪檢測)已知函式y＝f(x)是定義在r上的偶函式，當x≤0時，y＝f(x)是減函式，若|x1|＜|x2|，則結論：①f(x1)－f(x2)＜0；②f(x1)－f(x2)＞0；③f(x1)＋f(x2)＜0；④f(x1)＋f(x2)＞0中成立的是________(填所有正確的編號)．
解析由題意，得f(x)在[0，＋∞)上是增函式，且f(x1)＝f(|x1|)，f(x2)＝f(|x2|)，從而由0≤|x1|＜|x2|，得f(|x1|)＜f(|x2|)，即f(x1)＜f(x2)，f(x1)－f(x2)＜0，只能①是正確的．
答案 ①
二、解答題(每小題15分，共45分)
8．設f(x)＝x3－－2x＋5
(1)求f(x)的單調區間
(2)當x∈[1,2]時，存在f(x)＜m成立，求實數m的取值範圍．
解 (1)f′(x)＝3x2－x－2＝0得x＝1或－
在和(1，＋∞)上f′(x)＞0，f(x)為增函式
在上f′(x)＜0，f(x)為減函式．
∴f(x)單調增區間為和(1，＋∞)
單調減區間為
(2)當x∈[1,2]時顯然f′(x)＞0，f(x)為增函式．
∴f(x)≥f(1)＝1－－2＋5＝
∴m≥.
9．已知函式f(x)＝－(a＞0，x＞0)．
(1)求證：f(x)在(0，＋∞)上是增函式；
(2)若f(x)在上的值域是，求a的值．
(1)證明法一設x2＞x1＞0，則x2－x1＞0，x1x2＞0.
因為f(x2)－f(x1)＝－＝－＝＞0，
所以f(x2)＞f(x1)，因此f(x)在(0，＋∞)上是增函式．
法二因為f(x)＝－，
所以f′(x)＝′＝＞0，所以f(x)在(0，＋∞)上為增函式．
(2)解因為f(x)在上的值域是，
又f(x)在上單調遞增，所以f＝，f(2)＝2，故a＝.
10．已知函式f(x)對於任意x，y∈r，總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且當x＞0時，f(x)＜0，f(1)＝－.
(1)求證：f(x)在r上是減函式．
(2)求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
(1)證明法一 ∵函式f(x)對於任意x，y∈r總有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，
∴令x＝y＝0，得f(0)＝0.
再令y＝－x，得f(－x)＝－f(x)．
在r上任取x1＞x2，則x1－x2＞0，
f(x1)－f(x2)＝f(x1)＋f(－x2)＝f(x1－x2)．
又∵x＞0時，f(x)＜0，
而x1－x2＞0，∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)．
因此f(x)在r上是減函式．
法二設x1＞x2，
則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)
＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2)．
又∵x＞0時，f(x)＜0，而x1－x2＞0，
∴f(x1－x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在r上為減函式．
(2)解 ∵f(x)在r上是減函式，
∴f(x)在[－3,3]上也是減函式，
∴f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值分別為f(－3)與f(3)．
而f(3)＝3f(1)＝－2，f(－3)＝－f(3)＝2.
∴f(x)在[－3,3]上的最大值為2，最小值為－2.
b級綜合創新備選
(時間：30分鐘滿分：60分)
一、填空題(每小題5分，共30分)
1．已知定義在r上的奇函式f(x)滿足f(x－4)＝－f(x)，且在區間[0,2]上是增函式，則f(－25)，f(11)，f(80)的大小關係是________．
解析由題意，得f(x)在[－2,2]上遞增，且由f(x－4)＝－f(x)得f(x)是以8為週期的週期函式，所以f(－25)＝f(－1)，f(11)＝f(3)＝－f(－1)＝f(1)，f(80)＝f(0)，所以f(－25)＜f(80)＜f(11)．
答案 f(－25)＜f(80)＜f(11)
2．(2011·鹽城模擬)如果對於函式f(x)的定義域內任意兩個自變數的值x1，x2，當x1＜x2時，都有f(x1)≤f(x2)且存在兩個不相等的自變數m1，m2，使得f(m1)＝f(m2)，則稱為定義域上的不嚴格的增函式．已知函式g(x)的定義域、值域分別為a，b，a＝，ba且g(x)為定義域a上的不嚴格的增函式，那麼這樣的函式g(x)共有________個．
解析分b中元素為1個，2個，3個討論．b中只有乙個元素，此時各有乙個函式；b有兩個元素，此時各有兩個函式；b有3個元素時，不合題意．因此共有3＋6＝9個函式．
答案 9
3．已知函式f(x)＝1－，x∈[0,1]，對於滿足0＜x1＜x2＜1的任意x1、x2，給出下列結論：
①(x2－x1)[f(x2)－f(x1)]＜0；②x2f(x1)＜x1f(x2)；③f(x2)－f(x1)＞x2－x1；④＞f.
其中正確結論的序號是________．
解析函式f(x)＝1－，x∈[0,1]的圖象如圖所示，命題①可等價為
，即f(x)在x∈[0,1]上是單調遞增函式，結合圖象可知，命題①錯誤；對於命題②，作差即可知其正確；命題③可變形為＞1，不等式左端的幾何意義是圖象上任意兩點連線的斜率，由圖象知斜率不都大於1，命題③錯誤；對於命題④，因為圖象是凹函式，滿足＞f，所以命題④正確．
答案 ②④
4．(2011·山東省濟南外國語學校檢測)定義在r上的函式f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)，當x≥2時，f(x)單調遞增，如果x1＋x2＞4，且(x1－2)(x2－2)＜0，則f(x1)＋f(x2)的值符號為________．
解析 f(x)滿足f(－x)＝－f(x＋4)所以f(x)關於(2,0)對稱，由於當x≥2時，f(x)單調遞增，可知f(x)在x＜2時也是增函式．由x1＋x2＞4知(x1－2)＋(x2－2)＞0，且(x1－2)(x2－2)＜0，x1－2，x2－2一正一負，所以不妨假設x1－2＞0，x2－2＜0，且|x1－2|＞|x2－2|，所以通過圖象可知f(x1)＋f(x2)＞0.
答案恆大於0
5．(2011·山東省濟寧模擬)設y＝f(x)是定義在r上的偶函式，滿足f(x＋1)＝－f(x)，且在[－1,0]上是增函式，給出下列關於函式y＝f(x)的判斷：
①y＝f(x)是週期函式；②y＝f(x)的圖象關於直線x＝1對稱；③y＝f(x)在[0,1]上是增函式；④f＝0.其中正確判斷的序號是________(把你認為正確判斷的序號都填上)．
解析 ①由f(x＋1)＝－f(x)，得f(x＋2)＝－f(x＋1)＝f(x)，即①正確．②由f(1－x)＝－f(－x)＝－f(x)＝f(1＋x)知②正確．③由偶函式在[－1,0]與[0,1]上具有相反的單調性知③不正確．④在f(x＋1)＝－f(x)中令x＝－，得f＝－f＝－f，所以f＝0.
答案 ①②④
6．(★)(2011·准南一模)已知函式f(x)＝(a是常數且a＞0)．對於下列命題：
①函式f(x)的最小值是－1；
②函式f(x)在r上是單調函式；
③若f(x)＞0在上恆成立，則a的取值範圍是a＞1；
④對任意的x1＜0，x2＜0且x1≠x2，恒有f＜
.其中正確命題的序號是寫出所有正確命題的序號)．
解析 (數形結合法)根據題意可畫出草圖，
由圖象可知，①顯然正確；函式f(x)在r上不
是單調函式，故②錯誤；若f(x)＞0在
上恆成立，則2a×－1＞0，a＞1，故③正確；
由圖象可知在(－∞，0)上對任意的x1＜0，x2＜0
且x1≠x2，恒有f＜成立，
故④正確．
答案 ①③④
【點評】 採用數形結合法.注意本題中的③和④的理解，此題充分體現了數形結合法的直觀性與便捷性.
二、解答題(每小題15分，共30分)
7．(2011·濟南外國語學校質檢)函式f(x)的定義域為d＝且滿足對於任意x1，x2∈d，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．
(1)求f(1)的值；
(2)判斷f(x)的奇偶性並證明；
(3)如果f(4)＝1，f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3，且f(x)在(0，＋∞)上是增函式，求x的取值範圍．
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