一、基礎知識（必會）
1．指數函式及其性質：形如y=ax(a>0, a1)的函式叫做指數函式，其定義域為r，值域為（0，+∞），當01時，y=ax為增函式，它的圖象恆過定點（0，1）。
2．分數指數冪：。
3．對數函式及其性質：形如y=logax(a>0, a1)的函式叫做對數函式，其定義域為（0，+∞），值域為r，圖象過定點（1，0）。當01時，y=logax為增函式。
4．對數的性質（m>0, n>0）；
1）ax=mx=logam(a>0, a1)；
2）loga(mn)= loga m+ loga n；
3）loga（）= loga m- loga n；4）loga mn=n loga m（萬能恒等式）
5）loga =loga m；6）aloga m=m; 7) loga b=(a,b,c>0, a, c1).
5. 函式y=x+（a>0）的單調遞增區間是和，單調遞減區間為和。（請同學自己用定義證明）
6．連續函式的性質：若a二、基礎例題（必懂）
1．建構函式解題。
例1 已知a, b, c∈(-1, 1)，求證：ab+bc+ca+1>0.
【證明】 設f(x)=(b+c)x+bc+1 (x∈(-1, 1))，則f(x)是關於x的一次函式。
所以要證原不等式成立，只需證f(-1)>0且f(1)>0（因為-1因為f(-1)=-(b+c)+bc+1=(1-b)(1-c)>0，
f(1)=b+c+bc+a=(1+b)(1+c)>0，
所以f(a)>0，即ab+bc+ca+1>0.
例2 （06） （柯西不等式）若a1, a2,…,an是不全為0的實數，b1, b2,…,bn∈r，則（）·（）≥()2，等號當且僅當存在r，使ai=, i=1, 2, …, n時成立。
【證明】 令f(x)= （）x2-2()x+=,
因為》0，且對任意x∈r, f(x)≥0，
所以△=4()-4（）()≤0.
展開得（）()≥()2。
等號成立等價於f(x)=0有實根，即存在，使ai=, i=1, 2, …, n。
***注釋：根據許多省市的2023年高考大綱，柯西不等式已經淡化，同學只需大致了解就即可，不需深入做題。
例3（10.全國卷） 設x, y∈r+, x+y=c, c為常數且c∈(0, 2]，求u=的最小值。
【解】u==xy+≥xy++2·
=xy++2.
令xy=t，則0因為0所以f(t)min=f()=+，所以u≥++2.
當x=y=時，等號成立. 所以u的最小值為++2.
2．指數和對數的運算技巧。
例4 （經典例題） 設p, q∈r+且滿足log9p= log12q= log16(p+q)，求的值。
【解】 令log9p= log12q= log16(p+q)=t，則p=9 t , q=12 t , p+q=16t，
所以9 t +12 t =16 t，即1+
記x=，則1+x=x2，解得
又》0，所以=
例5 （經典例題）對於正整數a, b, c(a≤b≤c)和實數x, y, z, w，若ax=by=cz=70w，且，求證：a+b=c.
【證明】 由ax=by=cz=70w取常用對數得xlga=ylgb=zlgc=wlg70.
所以lga=lg70, lgb=lg70, lgc=lg70，
相加得(lga+lgb+lgc)=lg70，由題設，
所以lga+lgb+lgc=lg70，所以lgabc=lg70.
所以abc=70=2×5×7.
若a=1，則因為xlga=wlg70，所以w=0與題設矛盾，所以a>1.
又a≤b≤c，且a, b, c為70的正約數，所以只有a=2, b=5, c=7.
所以a+b=c.
例6 （經典例題） 已知x1, ac1, a1, c1. 且logax+logcx=2logbx，求證c2=(ac)logab.
【證明】 由題設logax+logcx=2logbx，化為以a為底的對數，得
，因為ac>0, ac1，所以logab=logacc2，所以c2=(ac)logab.
注：指數與對數式互化，取對數，換元，換底公式往往是解題的橋梁。
3．指數與對數方程的解法。
解此類方程的主要思想是通過指對數的運算和換元等進行化簡求解。值得注意的是函式單調性的應用和未知數範圍的討論。
例7 （經典例題）解方程：3x+4 x +5 x =6 x.
【解】 方程可化為=1。設f(x)= , 則f(x)在(-∞,+∞)上是減函式，因為f(3)=1，所以方程只有乙個解x=3.
例8 （經典例題） 解方程組：（其中x, y∈r+）.
【解】 兩邊取對數，則原方程組可化為 ①②
把①代入②得(x+y)2lgx=36lgx，所以[(x+y)2-36]lgx=0.
由lgx=0得x=1，由(x+y)2-36=0(x, y∈r+)得x+y=6，
代入①得lgx=2lgy，即x=y2，所以y2+y-6=0.
又y>0，所以y=2, x=4.
所以方程組的解為 .
例9 已知a>0, a1，試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值範圍。
【解】由對數性質知，原方程的解x應滿足.①②③
若①、②同時成立，則③必成立，
故只需解.
由①可得2kx=a(1+k2)， ④
當k=0時，④無解；當k0時，④的解是x=，代入②得》k.
若k<0，則k2>1，所以k<-1；若k>0，則k2<1，所以0綜上，當k∈(-∞,-1) ∪(0, 1)時，原方程有解。
基本初等函式
考點梳理 一 指數函式 1 根式 1 n次方根 如果xn a，那麼x叫做a的 其中n 1，且n n 注 負數沒有偶次方根 2 根式的性質 n為奇數時，n為偶數時，2 冪的有關概念及運算 1 零指數冪 a0 a 0.2 負整數指數冪 a n a 0，n n 3 正分數指數冪 a a 0，m，n n 且...
基本初等函式
指數與指數函式 一 重難點知識歸納 1 冪的概念的推廣，對於指數式來說，當指數x取各種不同的有理數時，式子的定義如下 m，n n，n 1 1 正整數指數冪 2 零指數冪 a 0 3 負整數指數冪 4 分數指數冪 2 實數的指數冪的運算性質 其中a 0，b 0，m n為實數 1 2 3 4 5 3 根...
基本初等函式小結
學習目標 1.掌握指數函式 對數函式的概念，會作指數函式 對數函式的圖象，並能根據圖象說出指數函式 對數函式的性質 了解五個冪函式的圖象及性質 2.體會函式的零點與方程根之間的聯絡，掌握零點存在的判定條件，能用二分法求方程的近似解 3.了解函式模型 如指數函式 對數函式 冪函式 分段函式等在社會生活...