基本初等函式複習資料
一、指數．
1：根式（）及其性質．
1）：次方根的意義．
例1：64的6次方根為，但是表示的是64的正的6次方根，所以．
2）：根式的性質：、．
練習1：求下列各式的值．
（1） （2） （3） （4） （5） （6）．
練習2：計算．
（1）（2）（3）若，求．
練習3： （1）若，求的取值範圍．
（2）若，那麼等式成立的條件是（ ）．
a： b： c： d：
3）：根式的大小比較．
例2：比較、和的大小關係．
解：將上面三個數同時12（3,2,4的最小公倍數）次方得：，
， ， ．
練習4：比較、和的大小關係．
2：指數冪及其運算性質．
1）：分數指數冪：
正分數指數冪意義：．
負分數指數冪意義：．
0的正分數指數冪等於0，0的負分數指數冪沒有意義．
補充：任何非零數的0次方等於1，即當時，．
例3：若，求．
解：由題意得：．
練習5：將下列各式化成分數指數冪．
（1） （2） （3）
（4） （5） （6） （7）
2）：指數冪的運算性質：、、
練習6：計算和化簡．
（1）（2）
（3） （4）（5）
練習7：（1）設，，求的值．
（2）設、是方程的兩根，求、的值．
提示：利用根與係數的關係．
3）：幾個重要的數學公式（平方差+完全平方+立方和+立方差）．
平方差：、、．
完全平方：、、．
立方和：、．
立方差：、．
例4：已知，求下列各式的值：（1），（2），（3）．
解：（1）將兩邊平方得：，．
（2）將（1）中的兩邊平方得：，．
（3）．
練習8：已知，求下列各式的值：
（1），（2），（3），（4）．
練習9：已知，求的值．
二、指數函式及其性質．
1：指數函式的定義．
定義：一般地，函式叫做指數函式，其中叫做自變數，函式的定義域為．
注：的範圍是： 指數函式的定義是形式定義，如和都不是指數函式．
例5：若是指數函式，求的值．
解：由題意可得： ， ．
2：指數函式的影象．
1）指數函式的影象和性質
注：要會用指數函式的單調性求函式的最值和值域．
例6：函式在區間上的最大值比最小值大，求的值．
解：（1）當時，在上是增函式， ，，
由題意得： 或，又， ．
（2）當時，在上是減函式， ，，
由題意得： 或，又， ．綜上：或．
練習10：函式在區間上的最大值和最小值的和為3，求的值．
練習11：求下列函式的定義域和值域：
（12）． （3）．
（45）． （6）． （7）．
例7：（換元法求函式的值域）若，求函式的最值和值域．
解：，令， ， ，
（注意：換元要注意新元的範圍）所以原式可化二次函式在上的最值和值域，由
影象可得：最大值在處取得即：，最小值在對稱軸處取得即： 所以：值域為：．
練習12：已知，求函式的值域．
提示：，令可轉化為關於的一元二次方程．
注意：換元要注意新元的範圍．
練習13：（1）若，求的取值範圍． （2）若，求的取值範圍．
（3）若，求的取值範圍4）若，求．
（5）若，求6）若，求．
練習14：比較下列各組數的大小：
（1）、． （2）、． （3）、、． （4）、、． （5）、、． （6）、、、．
2）：指數函式的定點： 的影象過定點．
練習15：求下列各函式所過的定點：
（1）． （2）． （3）．
練習16：若函式的影象恆過，求的值．
3）：指數函式的影象（平移：左加右減、上加下減）．
（1）：是由影象上下平移得到．
注意：上下平移的時候要將漸近線軸進行上下平移．
當時，影象必過第一象限．當時，影象必過第二象限．
練習17：求下列各函式影象經過的象限．
（1）． （2）． （3）． （4）．
（5）． （6）． （7）． （8）．
練習18：（1）已知函式的影象不過第二象限，求的取值範圍．
（2）若的影象過第
二、三、四象限，則一定有（ ）．
a： b： c： d：
3：復合函式的單調性（同增異減）．
1）復合函式的定義：簡單地：設有兩個函式和，則稱為是函式和的復合函式，其中稱為外函式，稱為內函式． 如：函式可以看成是函式和的復合函式，其中是外函式，是內函式．
2）復合函式的單調性（同增異減）．
若和的單調性相同，則是增函式．
若和的單調性相反，則是減函式．
如：在討論函式這個函式的單調性時，我們可以將看成是函式和的復合函式．則我們有如下結論：
因為在定義域內是增函式，在上是減函式，兩者當調性相反，所以在上是減函式．
因為在定義域內是增函式，在上是增函式，兩者當調性相同，所以在上是增函式．
例8：求下列函式的單調區間．
（1）， （2）．
解：（1）看成是和的復合函式，， 在上為增函式，而是二次函式，且，開口向下，又其對稱軸為在上是增函式，在上是減函式，
根據復合函式的單調性同增異減原則有：在上是增函式，在上是減函式，
單調增區間是：，單調減區間是：．
（2）提示：看成是和的復合函式，而在上為減函式，根據復合函式的單調性的同增異減原則，的增區間為復合函式的減區間，的減區間為復合函式的增區間，所以只要求的增減區間．的增減區間可由影象來判斷．
練習19：求下列函式的單調區間．
（1）， （2）， （3）， （4）．
6：函式的奇偶性．
例9：已知函式，若為奇函式，求．
解法一（原點法）：的定義域為， 在原點有定義，又為奇函式， ，
即：， ．
解法二（定義法）：為奇函式， ，而，
， ．解法三（特殊值法）：為奇函式， ，而，
， ， ．
練習20：設，函式是定義在實數集上的偶函式，求解下列問題：
（1）求實數的值． （2）證明：在上是增函式．
提示：可用定義法或特殊值法來求解．
練習21：已知．
（1） 求的定義域． （2）判斷的奇偶性． （3）求證：．
指數和指數函式補充題（題目有難度，有興趣的同學做一下）．
題1：已知，求的值．
題2：已知，化簡．
題3：若，且滿足，求．
題4：比較下列各組數之間的大小關係．
（1）、、； （2）、、、．
題5：設，若，試求：
（1）的值；
（2）的值．
三、對數．
1：對數的定義以及對數式和指數式之間的轉化．
1） 對數定義：
一般地，如果，那麼數叫做以為底的的對數，記作：（讀作：等於以為底的），其中叫做對數的底數，叫做真數，叫做真數，且是的對數．
如： 叫做以2為底的128的對數，記作：；
5叫做以為底的的對數，記作：；
-2叫做以4為底的的對數，記作：．
注：底數的範圍是：；真數的範圍是：（真數大於0）．
例9：已知是對數式，求的取值範圍．
解： 是對數式， ．
練習22：已知是對數式，求的取值範圍．
2）2個重要的對數：常用對數和自然對數．
常用對數：以10為底的對數叫做常用對數，並把記為．
自然對數：以（）為底的對數叫做常用對數，並把記為．
3）對數式和指數式之間的轉化．
轉化：當有：．
練習23：把下列對數式轉化成指數式，指數式轉化為對數式．
（1）， （2）， （3）， （4），
（5）， （6）， （7）， （8）．
2：對數的運算性質以及重要公式．
運算性質和重要公式：
， ， （對數恒等式）， ，
， ， （換底公式），
， ．
注意：對數的乘法和除法用換底公式解題．
練習24：下列各式正確的個數（ ）．
．a、1b、2c、3d、4
練習25：求下列各式的值．
（1） （2） （3） （4） （5） （6）
（7） （8） （9） （10） （11）
（12） （13） （14）
（15） （16） （17）．
練習26：已知，，用、表示下列各式：（1） （2） （3）．
例10：已知，求．
解： ， ，，
，即．練習27：（1）設，求的值（）；
（2） 已知，，求的值．
練習28：若，求證．
四、對數函式．
1：對數函式的定義．
定義：一般地，形如（）的函式叫做對數函式，其中是自變數，定義域為
．注意：底數的範圍是：； 定義域是：（真數大於0）；
對數函式的定義同指數函式一樣也是形式定義．
如：、、和都不是指數函式．
練習29：求下列函式的定義域．
（1） （2） （3）
（4）．
2：對數函式的影象．
1） 對數函式的影象和性質．
注：要會用對數函式的單調性求函式定義域、最值和值域以及比較對數的大小．
練習30：求下列函式的定義域．
（1） （2） （3） （4）．
例11：若，求的取值範圍．
解：由題意得： ．
注意：做對數函式題時一定要先考慮真數大於0．
練習31：（1）若，求的值．
（2）若，求的值．
（3） 若，求的取值範圍．
練習32：比較下列各組數的大小．
（1）、． （2）、． （3）、． （4）、．
（5）、、． （6）、、． （7）、、．
例12：（1）若函式在區間上的最大值是最小值的3倍，求的值．
解： ，函式在上是減函式，
，，又最大值是最小值的3倍，
， ，．
練習33：（1）求函式在區間上的值域．
（2） 已知函式的值域為，求函式的定義域．
（3）已知函式在區間上的最大值和最小值之和為，
求的值．
（4）求函式的值域．
2）：對數函式的定點：對數函式影象過定點．
練習34：求下列函式影象所過的定點．
（1） （2） （3）．
3：復合函式的單調性（對數函式）．
注：求對數函式的單調區間要首先考慮其定義域．
練習35：（1）求函式的單調遞減區間．
（2）求函式的單調遞增區間．
（3）已知函式在區間上是減函式，求實數的取值範圍．
高一數學必修1第二章基本初等函式知識點整理
必修1第二章基本初等函式 知識點整理 2.1 指數函式 2.1.1指數與指數冪的運算 1 根式的概念 如果，且，那麼叫做的次方根 當是奇數時，的次方根用符號表示 當是偶數時，正數的正的次方根用符號表示，負的次方根用符號表示 0的次方根是0 負數沒有次方根 式子叫做根式，這裡叫做根指數，叫做被開方數 ...
高一數學必修1第二章基本初等函式知識點總結歸納 印刷
必修1 基本初等函式知識點整理 一 指數與指數冪的運算 1 根式的概念 如果，且，那麼叫做的次方根 當是奇數時，當是偶數時，當 當0，當，式子叫做 這裡叫做 叫做 當為奇數時，為 當為偶數時，根式的性質 當為奇數時，當為偶數時，2 分數指數冪的概念 正數的正分數指數冪的意義是 且 0的正分數指數冪等...
第二章基本初等函式小結
2015 2016高中數學第二章基本初等函式 小結新人教a版必修1 一 目標解讀 函式是高中數學的主要內容之一，這是因為函式思想方法靈活多樣，邏輯思維性強，許多數學問題都可以從函式的角度來認識 研究 函式知識與數學的其他各分支的巧妙結合容易形成綜合性較強的新穎的試題，這樣的試題往往成為高考中極具份量...