第2章函式概念與基本初等函式
一、 函式的概念和圖象
經典例題：設函式f（x）的定義域為［0，1］，求下列函式的定義域：
（1）h（x）=f（x2+1）；
（2）g（x）=f（x+m）+f（x－m）（m＞0）.
練習：1． 下列四組函式中,表示同一函式的是（ ）
ab．c． d．
2．函式的圖象與直線交點的個數為（ ）
a．必有乙個 b．1個或2個 c．至多乙個 d．可能2個以上
3．已知函式，則函式的定義域是（ ）
a． b． c． d．
4．函式的值域是（ ）
a． b． c． d．
5．對某種產品市場產銷量情況如圖所示，其中：表示產品各年年產量的變化規律；表示產品各年的銷售情況．下列敘述： （ ）
（1）產品產量、銷售量均以直線上公升，仍可按原生產計畫進行下去；
（2）產品已經出現了供大於求的情況，**將趨跌；
（3）產品的庫存積壓將越來越嚴重，應壓縮產量或擴大銷售量；
（4）產品的產、銷情況均以一定的年增長率遞增．你認為較合理的是( )
a．（1），（2），（3） b．（1），（3），（4） c．（2），（4） d．（2），（3）
6．在對應法則中,若,則6．
7．函式對任何恒有，已知，則
8．規定記號「」表示一種運算，即. 若，則函式的值域是
9．已知二次函式f(x)同時滿足條件： (1) 對稱軸是x=1； (2) f(x)的最大值為15；(3) f(x)的兩根立方和等於17．則f(x)的解析式是
10．函式的值域是
11． 求下列函式的定義域 ： (12)
12．求函式的值域．
13．已知f(x)=x2+4x+3，求f(x)在區間[t,t+1]上的最小值g(t)和最大值h(t)．
14．在邊長為2的正方形abcd的邊上有動點m，從點b開始，沿折線bcda向a點運動，設m點運動的距離為x，△abm的面積為s．
（1）求函式s=的解析式、定義域和值域；
（2）求f[f(3)]的值．
二、函式的簡單性質
經典例題：定義在區間（－∞，＋∞）上的奇函式f（x）為增函式，偶函式g（x）在［0，＋∞ )上圖象與f（x）的圖象重合.設a＞b＞0，給出下列不等式，其中成立的是
1 f（b）－f（－a）＞g（a）－g（－b） ②f（b）－f（－a）＜g（a）－g（－b）
③f（a）－f（－b）＞g（b）－g（－a） ④f（a）－f（－b）＜g（b）－g（－a）
abcd．②④
練習：1．已知函式f(x)=2x2-mx+3，當時是增函式，當時是減函式，則f(1)等於
a．-3 b．13 c．7 d．含有m的變數
2．函式是（ ）
a． 非奇非偶函式 b．既不是奇函式,又不是偶函式奇函式 c． 偶函式 d． 奇函式
3．已知函式(1), (2),(3)
(4),其中是偶函式的有（ ）個
a．1 b．2 c．3 d．4
4．奇函式y=f（x）（x≠0），當x∈（0，+∞）時，f（x）=x－1，則函式f（x－1）的圖象為 （ ）
5．已知對映f:ab,其中集合a=,集合b中的元素都是a中元素在對映f下的象,且對任意的,在b中和它對應的元素是,則集合b中元素的個數是（ ）
a．4 b．5 c．6 d．7
6．函式在區間[0, 1]上的最大值g(t)是
7． 已知函式f(x)在區間上是減函式,則與的大小關係是 ．
8．已知f(x)是定義域為r的偶函式,當x<0時, f(x)是增函式,若x1<0,x2>0,且,則和的大小關係是
9．如果函式y=f(x+1)是偶函式，那麼函式y=f(x)的圖象關於_________對稱．
10．點(x,y)在對映f作用下的對應點是,若點a在f作用下的對應點是b(2,0),則點a座標是
13. 已知函式,其中，(1)試判斷它的單調性；(2)試求它的最小值．
14．已知函式，常數。
（1）設，證明：函式在上單調遞增；
（2）設且的定義域和值域都是，求的最大值．
13.(1)設f(x)的定義域為r的函式,求證:是偶函式；
是奇函式.
(2)利用上述結論，你能把函式表示成乙個偶函式與乙個奇函式之和的形式．
14. 在集合r上的對映:,.
(1)試求對映的解析式;
(2)分別求函式f1(x)和f2(z)的單調區間;
(3) 求函式f(x)的單調區間.
單元測試
1． 設集合p=,q=,由以下列對應f中不能構成a到b的對映的是 （ ）a． b． c． d．
2．下列四個函式: (1)y=x+1; (2)y=x+1; (3)y=x2-1; (4)y=,其中定義域與值域相同的是（ ） a．(1)(2b．(1)(2)(3) c．2)(3d．(2)(3)(4)
3．已知函式,若,則的值為（ ）
a．10b． -10c．-14d．無法確定
4．設函式，則的值為（ ）
a．ab．bc．a、b中較小的數 d．a、b中較大的數
5．已知矩形的周長為1,它的面積s與矩形的長x之間的函式關係中,定義域為（ ）
a． b． c． d．
6．已知函式y=x2-2x+3在[0,a](a>0)上最大值是3,最小值是2,則實數a的取值範圍是（ ）
a．07．已知函式是r上的偶函式，且在（-∞，上是減函式，若，則實數a的取值範圍是（ ）
a．a≤2 b．a≤-2或a≥2c．a≥-2 d．-2≤a≤2
8．已知奇函式的定義域為，且對任意正實數，恒有，則一定有
a． b． c． d．
9．已知函式的定義域為a,函式y=f(f(x))的定義域為b,則（ ）
abcd．
10．已知函式y=f(x)在r上為奇函式,且當x0時，f(x)=x2-2x,則f(x)在時的解析式是（ ）
a． f(x)=x2-2x b． f(x)=x2+2xc． f(x)= -x2+2x d． f(x)= -x2-2x
11．已知二次函式y=f(x)的圖象對稱軸是,它在[a,b]上的值域是 [f(b),f(a)],則 （ ）abcd．
12．如果奇函式y=f(x)在區間[3,7]上是增函式，且最小值為5，則在區間[-7,-3]上（ ）
a．增函式且有最小值-5 b． 增函式且有最大值-5 c．減函式且有最小值-5 d．減函式且有最大值-5
13．已知函式，則 ．
14． 設f(x)=2x+3，g(x+2)=f(x-1)，則g(x
15．定義域為上的函式f(x)是奇函式，則a
16．設，則
17．作出函式的圖象，並利用圖象回答下列問題：
(1)函式在r上的單調區間； (2)函式在[0,4]上的值域．
18．定義在r上的函式f(x)滿足：如果對任意x1，x2∈r，都有f()≤［f(x1)+f(x2)］，則稱函式f(x)是r上的凹函式.已知函式f(x)＝ax2+x(a∈r且a≠0)，求證：
當a＞0時，函式f(x)是凹函式；
19．定義在(－1，1)上的函式f(x)滿足：對任意x、y∈(－1，1)都有f(x)+f(y)=f()．
(1)求證：函式f(x)是奇函式；
(2)如果當x∈(－1，0)時，有f(x)＞0，求證：f(x)在(－1，1)上是單調遞減函式；
20．記函式f(x)的定義域為d，若存在x0∈d，使f(x0)=x0成立，則稱以(x0，y0)為座標的點是函式f(x)的圖象上的「穩定點」．
(1)若函式f(x)=的圖象上有且只有兩個相異的「穩定點」，試求實數a的取值範圍；
(2)已知定義在實數集r上的奇函式f(x)存在有限個「穩定點」，求證：f(x)必有奇數個「穩定點」．
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