第七章直線與圓的方程
§7.1 直線的方程
1.設直線l與x軸的交點是p，且傾斜角為,若將此直線繞點p按逆時針方向旋轉45°，得到直線的傾斜角為+45°，則
a.0°≤＜180b.0°≤＜135°
c. 0°＜≤135d. 0°＜＜135°
答案 d
2.（2008·全國ⅰ文）曲線y=x3-2x+4在點（1，3）處的切線的傾斜角為
a.30b.45c.60d.120°
答案 b
3.過點m（-2，m），n（m，4）的直線的斜率等於1，則m的值為
a.1b.4c.1或3d.1或4
答案 a
4.過點p（-1，2）且方向向量為a=（-1，2）的直線方程為
a.2x+y=
答案 a
5.(2009·株州模擬)一條直線經過點a（-2，2），並且與兩座標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為 .
答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0
例1 已知三點a（1，-1），b（3，3），c（4，5）.
求證：a、b、c三點在同一條直線上.
證明方法一 ∵a（1，-1），b（3，3），c（4，5），
∴kab==2,kbc==2，∴kab=kbc，
∴a、b、c三點共線.
方法二 ∵a（1，-1），b（3，3），c（4，5），
∴|ab|=2，|bc|=，|ac|=3，
∴|ab|+|bc|=|ac|，即a、b、c三點共線.
方法三 ∵a（1，-1），b（3，3），c（4，5），
∴=（2，4），=（1，2），∴=2.
又∵與有公共點b，∴a、b、c三點共線.
例2已知實數x,y滿足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1).
試求：的最大值與最小值.
解由的幾何意義可知，它表示經過定點p（-2，-3）與曲線段ab上任一點（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kpa≤k≤kpb,
由已知可得：a（1，1），b（-1，5），
∴≤k≤8，
故的最大值為8，最小值為.
例3 求適合下列條件的直線方程：
（1）經過點p（3，2），且在兩座標軸上的截距相等；
（2）經過點a（-1，-3），傾斜角等於直線y=3x的傾斜角的2倍.
解 （1）方法一設直線l在x,y軸上的截距均為a,
若a=0，即l過點（0，0）和（3，2），
∴l的方程為y=x，即2x-3y=0.
若a≠0，則設l的方程為，
∵l過點（3，2），∴，
∴a=5，∴l的方程為x+y-5=0,
綜上可知，直線l的方程為2x-3y=0或x+y-5=0.
方法二由題意知，所求直線的斜率k存在且k≠0,
設直線方程為y-2=k(x-3),
令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,
由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,
∴直線l的方程為：
y-2=-（x-3）或y-2= (x-3),
即x+y-5=0或2x-3y=0.
（2）由已知：設直線y=3x的傾斜角為，
則所求直線的傾斜角為2.
∵tan=3,∴tan2==-.
又直線經過點a（-1，-3），
因此所求直線方程為y+3=- (x+1),
即3x+4y+15=0.
例4 （12分）過點p（2，1）的直線l交x軸、y軸正半軸於a、b兩點，求使：
（1）△aob面積最小時l的方程；
（2）|pa|·|pb|最小時l的方程.
解方法一設直線的方程為(a＞2,b＞1),
由已知可得2分
（1）∵2≤=1，∴ab≥8
∴s△aob=ab≥44分
當且僅當==,即a=4,b=2時，s△aob取最小值4，此時直線l的方程為=1,即x+2y-4=0. 6分
（2）由+=1,得ab-a-2b=0
變形得(a-2)(b-1)=2,
|pa|·|pb|=·=
10分當且僅當a-2=1,b-1=2,
即a=3,b=3時，|pa|·|pb|取最小值4.
此時直線l的方程為x+y-3=012分
方法二設直線l的方程為y-1=k(x-2) (k＜0),
則l與x軸、y軸正半軸分別交於
a、b（0，1-2k）.
（1）s△aob=（1-2k）
=×≥（4+4）=4.
當且僅當-4k=-,即k=-時取最小值，此時直線l的方程為y-1=- (x-2),即x+2y-4=0. 6分
（2）|pa|·|pb|=
=≥4,
當且僅當=4k2,即k=-1時取得最小值，此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=012分
1.設a，b，c是互不相等的三個實數，如果a（a，a3）、b（b，b3）、c（c，c3）在同一直線上，求證：a+b+c=0. 證明 ∵a、b、c三點共線，∴kab=kac，
∴，化簡得a2+ab+b2=a2+ac+c2，
∴b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，
∵a、b、c互不相等，∴b-c≠0，∴a+b+c=0.
2.（2009·宜昌調研）若實數x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那麼的最大值為
abcd.
答案 d
3.（1）求經過點a（-5，2）且在x軸上的截距等於在y軸上的截距的2倍的直線方程；
（2）過點a（8，6）引三條直線l1,l2,l3，它們的傾斜角之比為1∶2∶4，若直線l2的方程是y=x,求直線l1,l3的方程.
解 （1）①當直線l在x、y軸上的截距都為零時，
設所求的直線方程為y=kx,
將（-5，2）代入y=kx中，
得k=-，此時，直線方程為y=-x,
即2x+5y=0.
②當橫截距、縱截距都不是零時，
設所求直線方程為=1，
將（-5，2）代入所設方程，
解得a=-，
此時，直線方程為x+2y+1=0.
綜上所述，所求直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0.
（2）設直線l2的傾斜角為,則tan=.
於是tan==,
tan2=,
所以所求直線l1的方程為y-6= (x-8),
即x-3y+10=0,l3的方程為y-6= (x-8),
即24x-7y-150=0.
4.直線l經過點p（3，2）且與x，y軸的正半軸分別交於a、b兩點，△oab的面積為12，求直線l的方程.
解方法一設直線l的方程為（a＞0,b＞0）,
∴a(a,0),b(0,b),
∴解得∴所求的直線方程為=1,
即2x+3y-12=0.
方法二設直線l的方程為y-2=k(x-3),
令y=0,得直線l在x軸上的截距a=3-,
令x=0,得直線l在y軸上的截距b=2-3k.
∴(2-3k)=24.解得k=-.
∴所求直線方程為y-2=- (x-3).
即2x+3y-12=0.
一、選擇題
1.直線xcos+y-1=0 (∈r)的傾斜角的範圍是
abcd.
答案 d
2.已知直線l過點（a,1)，（a+1,tan +1),則
a.一定是直線l的傾斜角
b.一定不是直線l的傾斜角
c.不一定是直線l的傾斜角
d.180°-一定是直線l的傾斜角
答案 c
3.已知直線l經過a（2，1），b（1，m2）（m∈r）兩點，那麼直線l的傾斜角的取值範圍是（ ）
abcd.
答案 b
4.過點（1，3）作直線l，若經過點（a，0）和（0，b），且a∈n*，b∈n*，則可作出的l的條數為（ ） a.1b.2c.3d.4
答案 b
5.經過點p（1，4）的直線在兩座標軸上的截距都是正的，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）
答案 b
6.若點a（2，-3）是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點，則相異兩點（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程是
a.2x-3y+1=0b.3x-2y+1=0
c.2x-3y-1=0d.3x-2y-1=0
答案 a
二、填空題
7.（2008·浙江理，11）已知a＞0,若平面內三點a（1，-a），b（2，a2），c（3，a3）共線，則a
答案 1+
8.已知兩點a（-1，-5），b（3，-2），若直線l的傾斜角是直線ab傾斜角的一半，則l的斜率是 .
答案三、解答題
9.已知線段pq兩端點的座標分別為（-1，1）、（2，2），若直線l：x+my+m=0與線段pq有交點，求m的取值範圍.
解方法一直線x+my+m=0恆過a（0，-1）點.
kap==-2，kaq==，
則-≥或-≤-2，
∴-≤m≤且m≠0.
又∵m=0時直線x+my+m=0與線段pq有交點，
∴所求m的取值範圍是-≤m≤.
方法二過p、q兩點的直線方程為
y-1=(x+1),即y=x+,
代入x+my+m=0,
整理，得x=-.
由已知-1≤-≤2,
解得-≤m≤.
10.已知直線l與兩座標軸圍成的三角形的面積為3，分別求滿足下列條件的直線l的方程：
（1）過定點a（-3，4）；（2）斜率為.
解 （1）設直線l的方程是y=k(x+3)+4,它在x軸，y軸上的截距分別是--3，3k+4，
由已知，得（3k+4）（+3）=±6，
解得k1=-或k2=-.
直線l的方程為2x+3y-6=0或8x+3y+12=0.
（2）設直線l在y軸上的截距為b,則直線l的方程是y=x+b,它在x軸上的截距是-6b,
由已知，得|-6b·b|=6，∴b=±1.
∴直線l的方程為x-6y+6=0或x-6y-6=0.
11.已知兩點a（-1，2），b（m，3）.
（1）求直線ab的方程；
（2）已知實數m∈，求直線ab的傾斜角的取值範圍.
解 （1）當m=-1時，直線ab的方程為x=-1,
當m≠-1時，直線ab的方程為y-2= (x+1).
（2）①當m=-1時， =;
②當m≠-1時，m+1∈，
∴k∴∈.
綜合①②知，直線ab的傾斜角∈.
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