【本講教育資訊】
一、教學內容：
複習九：圓
1. 圓的有關概念和性質．
2. 點和圓、直線和圓、圓和圓的位置關係及其判定．
3. 兩圓相切、相交的性質．
4. 弧長、扇形面積的計算公式．
5. 圓錐的側面展開圖．
二、知識要點：
1. 圓的對稱性
圓是旋轉對稱圖形，中心為圓心，它既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形．由於圓的旋轉對稱性，所以在乙個圓中，圓心角、弦、弧這三組量如果有一組量相等，則其餘兩組量也相等（如圖①所示）．
由於圓的軸對稱性，所以沿直徑所在直線摺疊，左右兩部分重合，同時圓的軸對稱性與等腰三角形有著密切的關係（如圖②所示）．
2. 和圓有關的結論
半圓或直徑所對的圓周角都相等，都等於90°；90°的圓周角所對的弦是直徑，所對的弧是半圓（如圖③所示）．
在同一圓內，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等於該弧所對的圓心角的一半；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等（如圖④所示）．
3. 與圓有關的位置關係
點和圓的位置關係有：點在圓外、在圓上和在圓內（如圖⑤所示）；
直線和圓的位置關係有：直線與圓相離、相切、相交（如圖⑥所示）；
圓的圓的位置關係有：外離、外切、相交、內切、內含（如圖⑦所示）．
從量的角度描述以上三種位置關係，都用半徑和距離做比較．
4. 三角形的內心，外心
不在同一直線上的三點確定乙個圓．
三角形的外心是三邊垂直平分線的交點．（如圖⑧所示）
與三角形三邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，其圓心叫做三角形的內心．三角形內心是三角形三條角平分線的交點．（如圖⑨所示）
5. 直線和圓相切
定義：直線與圓有唯一交點，這時我們稱直線與圓相切．
性質：圓的切線垂直於過切點的半徑．
判定：經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線．
切線長：切線上的一點與切點之間線段的長叫做切線長．
切線長性質：從圓外一點可以引圓的兩條切線，它們的切線長相等，且這一點和圓心的連線平分這兩條切線的夾角．
6. 弧長和扇形面積
如果弧長為l，圓心角度數為n，圓的半徑為r，那麼弧長公式為l＝．
由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧所圍成的圖形叫做扇形．如果設圓心角是的扇形的面積為s，圓的半徑為r，那麼扇形的面積公式為s＝或s＝lr（l為扇形的弧長）．
7. 圓錐的側面展開圖
圓錐的側面展開圖是扇形，如果圓錐母線長為l，底面圓的半徑為r，扇形圓心角的度數為n°，則有πrl＝，2πr＝．
三、重、難點：
重點要掌握圓的基本性質、與圓有關的位置關係，圓中的計算問題．難點是切線的性質和判定，圓與四邊形、三角形的綜合問題．
四、考點分析：
圓的有關性質與圓的有關計算是近幾年全國各地中考命題考查的重點內容，題型以填空題、選擇題和解答題為主，也有以閱讀理解題、條件開放、結論開放探索題作為新的題型，分值一般為6~12分．所考查的知識點通常有：圓的有關性質的應用；直線和圓、圓和圓位置關係的判定及應用；弧長、扇形面積、圓柱、圓錐的側面積和全面積的計算；圓與相似三角形、三角函式的綜合運用．
【典型例題】
例1. 選擇題
（1）如圖所示，量角器外緣邊上有a、p、q三點，它們所表示的讀數分別是180°，，30°，則∠paq的大小為（ ）
a．10b．20c．30d．40°
解析：設量角器的圓心角為o，連線po，qo，知∠poq＝70°－30°＝40°，而∠paq為所對的圓周角，為∠poq的一半，所以∠paq＝∠poq＝×40°＝20°．
（2）乙個圓錐的高為3，側面展開圖是半圓，則圓錐的側面積是（ ）
a．9b．18c．27d．39π
解析：設圓錐的母線為r，底面圓的半徑為r，則＝2πr，∴r＝2r，∵r2＝r2＋（3）2，即（2r）2＝r2＋27，∴r＝3，r＝6，∴s側＝＝18π．故選b．
（3）如圖所示，在直角座標系中，四邊形oabc為正方形，頂點a、c在座標軸上，以邊ab為弦的⊙m與x軸相切，若點a的座標為（0，8），則圓心m的座標為（ ）
a．（4，5） b．（－5，4） c．（－4，6） d．（－4，5）
解析：如圖所示，作me⊥x軸於點e，並反向延長交ab於點d，連線ma，∵點a（0，8），∴de＝ab＝8，∴ad＝ab＝4．∵⊙m與x軸相切，∴點e是切點，oe＝ad＝4，ma＝me．∵在rt△adm中，md2＋ad2＝ma2，∴（8－me）2＋42＝me2，∴me＝5，∴點m（－4，5），故選d．
例2. 填空題
（1）如圖所示，將邊長為8cm的正方形abcd沿直線l向右翻動（不滑動），當正方形連續翻動三次後，正方形abcd的中心經過的路線長是cm．
解析：依題意，知正方形abcd的中心經過的路線長為3個圓弧長，其半徑為4，利用弧長公式可得三段弧長之和為6π，即正方形abcd的中心經過的路線長是6πcm．
（2）如圖所示，ab為⊙o的直徑，ab＝ac，bc交⊙o於點d，ac交⊙o於點e，∠bac＝45°．給出以下五個結論：①∠ebc＝22.5°；②bd＝dc；③ae＝2ec；④劣弧是劣弧的2倍；⑤ae＝bc．其中正確的結論的序號是
解析：連線ad，∵ab是⊙o的直徑，∴∠adb＝90°，又∵ab＝ac，∴∠abc＝∠c＝67.5°，bd＝dc．∵ab是⊙o的直徑，∴∠aeb＝90°，∴∠abe＝90°－∠bac＝45°，∴∠ebc＝22.
5°．在△abe中，∵∠abe＝∠a，∴ae＝be，而be＜bc，∴ae＜bc，ae≠2ec．∵∠abe＝2∠ebc，∴劣弧是劣弧的2倍．因此正確結論的序號是①②④．
（3）已知⊙o的半徑等於5cm，弦ab＝6cm，cd＝8cm，且ab∥cd，則ab、cd之間的距離為
解析：由於圓是乙個軸對稱圖形，弦ab與cd位置有兩種，如圖①和②．在圖①中，連線oa、oc，作of⊥cd於f，交ab於e，則ae＝ab＝3（cm），cf＝cd＝4（cm），由勾股定理得oe＝＝＝4，of＝＝＝3，所以ef＝oe－of＝4－3＝1（cm），同理在圖②中，ef＝oe＋of＝4＋3＝7（cm）．故ab、cd之間的距離為1cm或7cm．
例3. 如圖所示，ab是⊙o的直徑，cb是弦，od⊥cb於e，交於d，連線ac．
（1）請寫出兩個不同型別的正確結論；
（2）若cb＝8，ed＝2，求⊙o的半徑．
解：（1）不同型別的正確結論有：①be＝ce；②bd＝cd；③∠bed＝90°；④∠bod＝∠a；⑤ac∥od；⑥ac⊥bc；⑦oe2＋be2＝ob2；⑧s△abc＝bc·oe；⑨△bod是等腰三角形；⑩△boe∽△bac等等．（注：
be＝ce與bc＝2be或ce＝bc是同一型別，以上任取兩個型別結論即可）
（2）∵od⊥cb，∴be＝ce＝cb＝4．
設圓半徑等於r，則oe＝od－de＝r－2，
在rt△oeb中，由勾股定理得，oe2＋be2＝ob2，
即（r－2）2＋42＝r2，解得r＝5，
∴⊙o的半徑為5．
評析：在運用垂徑定理解決圓的弦長問題時，一般要利用弦的一半、半徑和圓心到這條弦的距離這三個量構成的直角三角形，應用勾股定理列方程求解．
例4. 如圖所示，a是以bc為直徑的⊙o上的一點，ad⊥bc於點d，過點b作⊙o的切線，與ca的延長線相交於點e，g是ad的中點，連線cg並延長與be相交於點f，延長af與cb的延長線相交於點p．
（1）求證：bf＝ef；
（2）求證：pa是⊙o的切線．
證明：（1）∵bc是⊙o的直徑，be是⊙o的切線，∴eb⊥bc．
又∵ad⊥bc，∴ad∥be，
∴△bfc∽△dgc，△fec∽△gac，
∴＝，＝，∴＝，
∵g是ad的中點，∴dg＝ag，
∴bf＝ef．
（2）連線ao、ab．
∵bc是⊙o的直徑，∴∠bac＝90°．
在rt△bae中，由（1）知f是斜邊be的中點，
∴af＝fb＝ef．
∴∠fba＝∠fab．
又∵oa＝ob，∴∠abo＝∠bao．
∵be是⊙o的切線，∴∠ebo＝90°，
∴∠ebo＝∠fba＋∠abo＝∠fab＋∠bao＝∠fao＝90°，
∴pa是⊙o的切線．
評析：證明一直線是圓的切線時，常用到「經過半徑的外端且垂直於這條半徑的直線是圓的切線」這一方法．具體應用時又有兩種不同的輔助線作法：①已知點在圓上（即點經過半徑的外端），此時連線該點和圓心證垂直（如本例）．②不知點是否在圓上，常過圓心引該直線的垂線，證明垂線段等於半徑．
例5. 如圖所示，△abc內接於⊙o，點d在半徑ob的延長線上，∠bcd＝∠a＝30°．
（1）試判斷直線cd與⊙o的位置關係，並說明理由．
（2）若⊙o的半徑長為1，求由弧bc，線段cd和bd所圍成的陰影部分的面積．（結果保留π和根號）
分析：可以直觀地判斷直線cd與⊙o相切．理由就是想辦法證明oc⊥cd，根據∠bcd＝∠a＝30°可以判斷△obc是正三角形，可求出∠ocd＝90°，從而得到證明．至於陰影部分的面積可以利用間接法求得，即求出rt△ocd的面積，再減去扇形obc的面積．
解：直線cd與⊙o相切，理由如下：
在⊙o中，∠cob＝2∠cab＝2×30°＝60°．
又∵ob＝oc，∴△obc是正三角形，
∴∠ocb＝60°．
又∵∠bcd＝30°，∴∠ocd＝60°＋30°＝90°．
∴oc⊥cd．
又∵oc是半徑，∴直線cd與⊙o相切．
（2）由（1）得△cod是直角三角形，∠cob＝60°．
∵oc＝1，∴cd＝．
∴s△cod＝oc·cd＝．
又∵s扇形ocb＝π，
∴s陰影＝s△cod－s扇形ocb＝－π＝．
【方法總結】
1. 利用垂徑定理進行證明或計算，通常利用半徑、圓心距和弦的一半組成的直角三角形求解．由於圓中一條弦對兩條弧以及圓內的兩條平行弦與圓心的位置關係有兩種情況，所以利用垂徑定理計算時，不要漏解．
2. 證明直線與圓相切，一般有兩種情況
（1）已知直線與圓有公共點，這時連線圓心與公共點的半徑，證明該半徑與已知直線垂直．
（2）不知直線與圓有公共點，這時過圓心作與已知直線垂直的線段，證明此垂線段的長與半徑相等．
【預習導學案】
（複習十：圖形變換）
一、預習前知
1. 什麼是軸對稱，什麼是中心對稱？
2. 什麼是圖形的平移和旋轉？
3. 什麼叫相似形？
二、預習導學
1. 軸對稱圖形的性質有
中心對稱圖形的性質有
2. 平移的特徵是旋轉的特徵是
中考數學第一輪複習8 圓
圓 1 圓的有關概念與性質 課前熱身 1.08重慶 如圖，是 o的直徑，點在 o上，則的度數為 ab cd 2.08湖州 如圖，已知圓心角，則圓周角的度數是 ab cd 3.08梅州 如圖所示，圓o的弦ab垂直平分半徑oc 則四邊形oacb是 a 正方形b.長方形 c 菱形d 以上答案都不對 4.0...
中考第一輪複習演講
第一輪複習有條不紊的進行中，同學們感覺如何？緊張？自信？發憤圖強？還是說根本沒什麼感覺？今天在這裡很榮幸的跟大家分享一下我的感受。第一輪複習重點就真的是複習，就是把前三年學過的東西再翻出來學一遍。有些同學會發現，我這些東西怎麼全忘了 恭喜你，這正是第一輪複習的目的，查缺補漏，像織網一樣越織越密 也有...
中考第一輪複習教案
課題 中考第一輪英語總複習七年級上冊 units1 6 學案課時 知識與能力 1.基礎知識鞏固 必備單詞和重要短語 教學目的要求 2.重要句型 1情感與意識 對初一所學的知識學習查漏補缺。教學重點與難點 代詞的用法教學方法與教具 小黑板 教學過程 step 1 greetingsand check ...