函式及其表示
考點一求定義域的幾種情況
①若f(x)是整式，則函式的定義域是實數集r；
②若f(x)是分式，則函式的定義域是使分母不等於0的實數集；
③若f(x)是二次根式，則函式的定義域是使根號內的式子大於或等於0的實數集合；
④若f(x)是對數函式，真數應大於零。
⑤.因為零的零次冪沒有意義，所以底數和指數不能同時為零。
⑥若f(x)是由幾個部分的數學式子構成的，則函式的定義域是使各部分式子都有意義的實數集合；
⑦若f(x)是由實際問題抽象出來的函式，則函式的定義域應符合實際問題
考點二對映個數公式
card(a)=m,card(b)=n, m,n,則從a到b的對映個數為。簡單說成「前指後底」。
方法技巧清單
方法一函式定義域的求法
1．（2009江西卷文）函式的定義域為
a． b． c． d．
解析由得或,故選d
2．（2009江西卷理）函式的定義域為
a． b． c． d．
解析由.故選c
3.（2009福建卷文）下列函式中，與函式有相同定義域的是
a . b. c. d.
解析由可得定義域是的定義域；的定義域是≠0；的定義域是定義域是。故選a.
4.（2023年上海）函式的定義域是答案
5.求下列函式的定義域。①y=.②y=.③y=
6.已知函式f(x)的定義域為，求函式f(x)=f(3x-1)-f(3x+1)的定義域。
方法二函式概念的考察
1. 下列各組函式中表示同一函式的是（ ）a.y=和 b.y=ln和
c. d.
2．函式y=f(x)的影象與直線x=2的公共點個數為
a. 0個b. 1個 c. 0個或1個 d. 不能確定
3．已知函式y=定義域為，則其值域為
方法三分段函式的考察
ⅰ求分段函式的定義域和值域
2x+2 x
1求函式f(x)= x 的定義域和值域
3 x
2（2010天津文數）設函式，則的值域是
（a） （b） （c）（d）
【解析】依題意知，
ⅱ求分段函式函式值
3．（2010湖北文數）3.已知函式，則
a.4bc.-4d-
【解析】根據分段函式可得，則，所以b正確.
ⅲ解分段函式不等式
4.（2009天津卷文）設函式則不等式的解集是（ ）
a. b. c. d.
答案 a解析由已知，函式先增後減再增當，令
解得。當，故 ，解得
5．（2009天津卷理）已知函式若則實數
的取值範圍是 a b c d
解析：由題知在上是增函式，由題得，解得，故選擇c。
6.（2009北京理）若函式則不等式的解集為
解析 （1）由.（2）由.
∴不等式的解集為，∴應填.
7。（2010天津理數）若函式f(x)=,若f(a)>f(-a),則實數a的取值範圍是
（a）（-1，0）∪（0，1） （b）（-∞，-1）∪（1,+∞） （c）（-1，0）∪（1,+∞） （d）（-∞，-1）∪（0,1）
【答案】c由分段函式的表示式知，需要對a的正負進行分類討論。
【溫馨提示】分類函式不等式一般通過分類討論的方式求解，解對數不等式既要注意真數大於0，同事要注意底數在（0，1）上時，不等號的方向不要寫錯。
ⅳ解分段函式方程
8．（2009北京文）已知函式若，則
.w 解析 5.u.c本題主要考查分段函式和簡單的已知函式值求的值. 屬於基礎知識、基本運算的考查.
由，無解，故應填.
方法四求函式的解析式
1． 求下列函式的解析式
1 已知
2 3 已知f(x)是二次函式，若f(0)=0,且f(x+1)=f(x)+x+1,求f(x).
4 已知f(x)滿足求f(x).
方法五函式影象的考察
1. (2009山東卷理)函式的影象大致為
解析函式有意義,需使,其定義域為,排除c,d,又因為,所以當時函式為減函式,故選a.
2.（2009廣東卷理）已知甲、乙兩車由同一起點同時出發,並沿同一路線（假定為直線）行駛．甲車、乙車的速度曲線分別為（如圖2所示）．那麼對於圖中給定的，下列判斷中一定正確的是
a. 在時刻，甲車在乙車前面b. 時刻後，甲車在乙車後面
c. 在時刻，兩車的位置相同 d. 時刻後，乙車在甲車前面
解析由影象可知，曲線比在0～、0～與軸所圍成圖形面積大，
則在、時刻，甲車均在乙車前面，選a
3.（2009江西卷文）如圖所示，一質點在平面上沿曲線運動，
速度大小不變，其在軸上的投影點的運動速度的圖象
大致為abcd
解析由圖可知，當質點在兩個封閉曲線上運動時，投影點的速度先由正到0、到負數，再到0，到正，故錯誤；質點在終點的速度是由大到小接近0，故錯誤；質點在開始時沿直線運動，故投影點的速度為常數，因此是錯誤的，故選.
4（2010山東理數）(11)函式y=2x -的影象大致是
【解析】因為當x=2或4時，2x -=0，所以排除b、c；當x=-2時，2x -=，故排除d，所以選a。
5（2010安徽文數）設,二次函式的影象可能是
【解析】當時，、同號，（c）（d）兩圖中，故，選項（d）符合
【方法技巧】根據二次函式影象開口向上或向下，分或兩種情況分類考慮.另外還要注意c值是拋物線與y軸交點的縱座標，還要注意對稱軸的位置或定點座標的位置等.
方法六對映概念的考察
1． 設:是集合a到集合b的對映，如果b=，則a∩b=（ ）
a. b. c. 或 d.或
2集合m=，n=對映f:滿足f(a)+(b)+f(c)=0,那麼對映f:的個數是（ ）
a.4 b.5 c. 6 d. 7
3集合m=到集合n=一共有個不同的對映。
方法七函式值域和最值的求法
1．利用二次函式在有限區間上的範圍求值域求函式y=的值域
2．分離常數法求函式y=的值域
3．換元法求函式y=的值域
4．數形結合法求函式y=的值域
5．判別式法求函式y=的值域
方法八函式奇偶性和週期性的考察
1.（2009全國卷ⅰ理）函式的定義域為r，若與都是奇函式，則
a.是偶函式b.是奇函式
cd.是奇函式
答案 d解析與都是奇函式，
， 函式關於點，及點對稱，函式是週期的週期函式.，，即是奇函式。故選d
2.(2009山東卷理)定義在r上的函式f(x)滿足f(x)= ，
則f（2009）的值為
a.-1b. 0 c.1 d. 2
答案 c解析由已知得,,,
,,,,,
所以函式f(x)的值以6為週期重複性出現.,所以f（2009）= f（5）=1,故選c.
3.（2009江西卷文）已知函式是上的偶函式，若對於，都有，且當時，，則的值為
a． b． c． d．
答案 c解析 ,故選c.
方法九函式奇偶性和對稱性考察
1.（2009全國卷ⅱ文）函式的影象
（a） 關於原點對稱b）關於主線對稱
（c） 關於軸對稱d）關於直線對稱
答案 a解析由於定義域為（-2，2）關於原點對稱，又f(-x)=-f(x)，故函式為奇函式，影象關於原點對稱，選a。
2．（2010重慶理數）(5) 函式的圖象
a. 關於原點對稱 b. 關於直線y=x對稱 c. 關於x軸對稱 d. 關於y軸對稱
解析： 是偶函式，影象關於y軸對稱
方法十函式奇偶性和單調性的考察
1.(2009山東卷文)已知定義在r上的奇函式，滿足,且在區間[0,2]上是增函式,則
ab.cd.
答案 d解析因為滿足,所以,所以函式是以8為週期的週期函式, 則,,,又因為在r上是奇函式， ,得,,而由得,又因為在區間[0,2]上是增函式,所以,所以,即,故選d.
2.（2009全國卷ⅱ文）設則
（a） （b） （c） （d）
答案 b解析本題考查對數函式的增減性，由1>lge>0,知a>b,又c=lge, 作商比較知c>b,選b。
3.（2009遼寧卷文）已知偶函式在區間單調增加，則滿足＜的x 取值範圍是
（a）（，） b.［，） c.（，） d.［，）
答案 a
解析由於f(x)是偶函式,故f(x)＝f(|x|)∴得f(|2x－1|)＜f(),再根據f(x)的單調性得|2x－1|＜ 解得＜x＜
4.（2009陝西卷文）定義在r上的偶函式滿足：對任意的，有.則 ( )
(ab.
cd.答案 a 解析由等價，於則在
上單調遞增, 又是偶函式,故在
單調遞減.且滿足時, , ,得
,故選a.
5.(2009陝西卷理)定義在r上的偶函式滿足：對任意
的，有.
則當時,有(ab
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