一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．根據偶函式定義可推得「函式f(x)＝x2在r上是偶函式」的推理過程是( )
a．歸納推理 b．模擬推理
c．演繹推理 d．非以上答案
解析：選c 根據演繹推理的定義知，推理過程是演繹推理，故選c.
2．自然數是整數，4是自然數，所以4是整數．以上三段論推理( )
a．正確
b．推理形式不正確
c．兩個「自然數」概念不一致
d．「兩個整數」概念不一致
解析：選a 三段論中的大前提、小前提及推理形式都是正確的．
3．設a，b，c都是非零實數，則關於a，bc，ac，－b四個數，有以下說法：
①四個數可能都是正數；②四個數可能都是負數；③四個數中既有正數又有負數．
則說法中正確的個數有( )
a．0 b．1
c．2 d．3
解析：選b 可用反證法推出①，②不正確，因此③正確．
4．下列推理正確的是( )
a．把a(b＋c)與loga(x＋y)模擬，則有loga(x＋y)＝logax＋logay
b．把a(b＋c)與sin(x＋y)模擬，則有sin(x＋y)＝sin x＋sin y
c．把a(b＋c)與ax＋y模擬，則有ax＋y＝ax＋ay
d．把(a＋b)＋c與(xy)z模擬，則有(xy)z＝x(yz)
解析：選d (xy)z＝x(yz)是乘法的結合律，正確．
5．已知f(x＋1)＝，f(1)＝1(x∈n*)，猜想f(x)的表示式為( )
a．f(x)＝ b．f(x)＝
c．f(x)＝ d．f(x)＝
解析：選b f(2)＝，f(3)＝，f(4)＝，猜想f(x)＝.
6．求證：＋>.
證明：因為＋和都是正數，
所以為了證明＋>，
只需證明(＋)2>()2，展開得5＋2>5，
即2>0，此式顯然成立，所以不等式＋>成立．
上述證明過程應用了( )
a．綜合法
b．分析法
c．綜合法、分析法配合使用
d．間接證法
解析：選b 證明過程中的「為了證明……」，「只需證明……」這樣的語句是分析法所特有的，是分析法的證明模式．
7．已知為等比數列，b5＝2，則b1b2b3…b9＝29.若為等差數列，a5＝2，則的類似結論為( )
a．a1a2a3…a9＝29 b．a1＋a2＋…＋a9＝29
c．a1a2…a9＝2×9 d．a1＋a2＋…＋a9＝2×9
解析：選d 由等差數列性質，有a1＋a9＝a2＋a8＝…＝2a5.易知d成立．
8．若數列是等比數列，則數列( )
a．一定是等比數列
b．一定是等差數列
c．可能是等比數列也可能是等差數列
d．一定不是等比數列
解析：選c 設等比數列的公比為q，則an＋an＋1＝an(1＋q)．∴當q≠－1時，一定是等比數列；
當q＝－1時，an＋an＋1＝0，此時為等差數列．
9．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值( )
a．大於0 b．小於0
c．不小於0 d．不大於0
解析：選d 法一：∵a＋b＋c＝0，∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，∴ab＋ac＋bc＝－≤0.
法二：令c＝0，若b＝0，則ab＋bc＋ac＝0，否則a，b異號，∴ab＋bc＋ac＝ab<0，排除a、b、c，選d.
10．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c對一切n∈n*都成立，那麼a，b，c的值為( )
a．a＝，b＝c＝ b．a＝b＝c＝
c．a＝0，b＝c＝ d．不存在這樣的a，b，c
解析：選a 令n＝1,2,3，
得所以a＝，b＝c＝.
11．已知數列的前n項和sn，且a1＝1，sn＝n2an(n∈n*)，可歸納猜想出sn的表示式為( )
a．sn＝ b．sn＝
c．sn＝ d．sn＝
解析：選a 由a1＝1，得a1＋a2＝22a2，∴a2＝，s2＝；又1＋＋a3＝32a3，∴a3＝，s3＝＝；
又1＋＋＋a4＝16a4，得a4＝，s4＝.
由s1＝，s2＝，s3＝，s4＝可以猜想sn＝.
12．設函式f(x)定義如下表，數列滿足x0＝5，且對任意的自然數均有xn＋1＝f(xn)，則x2 016＝( )
a.1 b．2
c．4 d．5
解析：選d x1＝f(x0)＝f(5)＝2，x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，數列是週期為4的數列，所以x2 016＝x4＝5，故應選d.
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，滿分20分．把答案填在題中的橫線上)
13．已知x，y∈r，且x＋y<2，則x，y中至多有乙個大於1，在用反證法證明時，假設應為________．
解析：「至多有乙個大於1」包括「都不大於1和有且僅有乙個大於1」，故其對立面為「x，y都大於1」．
答案：x，y都大於1
14．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，則m，n的大小關係是________．
解析：ab>0>0a＋b＋2>a＋b
(＋)2>()2＋>
>lg>lg.
答案：m>n
15．已知＝2，＝3，＝
4，…，＝6，a，b均為正實數，由以上規律可推測出a，b的值，則a＋b
解析：由題意歸納推理得＝6，b＝62－1
＝35，a＝6.∴a＋b＝6＋35＝41.
答案：41
16．現有乙個關於平面圖形的命題：如圖，同一平面內有兩個邊長都是a的正方形，其中乙個的某頂點在另乙個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.模擬到空間，有兩個稜長為a的正方體，其中乙個的某頂點在另乙個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為________．
解析：解法的模擬(特殊化)，易得兩個正方體重疊部分的體積為.
答案：三、解答題(本大題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本小題滿分10分)用綜合法或分析法證明：
(1)如果a，b>0，則lg≥；
(2)6＋>2＋2.
證明：(1)當a，b>0時，有≥，
∴lg≥lg，
∴lg≥lg ab＝.
(2)要證＋>2＋2，
只要證(＋)2>(2＋2)2，
即2>2，這是顯然成立的，
所以，原不等式成立．
18．(本小題滿分12分)若a1>0，a1≠1，an＋1＝ (n＝1,2，…)．
(1)求證：an＋1≠an；
(2)令a1＝，寫出a2，a3，a4，a5的值，觀察並歸納出這個數列的通項公式an(不要求證明)．
解：(1)證明：若an＋1＝an，即＝an，
解得an＝0或1.
從而an＝an－1＝…＝a2＝a1＝0或1，
這與題設a1>0，a1≠1相矛盾，
所以an＋1＝an不成立．
故an＋1≠an成立．
(2)由題意得a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，a5＝，由此猜想：an＝.
19．(本小題滿分12分)下列推理是否正確？若不正確，指出錯誤之處．
(1)求證：四邊形的內角和等於360°.
證明：設四邊形abcd是矩形，則它的四個角都是直角，有∠a＋∠b＋∠c＋∠d＝90°＋90°＋90°＋90°＝360°，所以四邊形的內角和為360°.
(2)已知和都是無理數，試證：＋也是無理數．
證明：依題設和都是無理數，而無理數與無理數之和是無理數，所以＋必是無理數．
(3)已知實數m滿足不等式(2m＋1)(m＋2)<0，用反證法證明：關於x的方程x2＋2x＋5－m2＝0無實根．
證明：假設方程x2＋2x＋5－m2＝0有實根．由已知實數m滿足不等式(2m＋1)(m＋2)＜0，解得－2＜m＜－，而關於x的方程x2＋2x＋5－m2＝0的判別式δ＝4(m2－4)，∵－2解：(1)犯了偷換論題的錯誤，在證明過程中，把論題中的四邊形改為矩形．
(2)使用的論據是「無理數與無理數的和是無理數」，這個論據是假的，因為兩個無理數的和不一定是無理數，因此原題的真實性仍無法判定．
(3)利用反證法進行證明時，要把假設作為條件進行推理，得出矛盾，本題在證明過程中並沒有用到假設的結論，也沒有推出矛盾，所以不是反證法．
20．(本小題滿分12分)等差數列的前n項和為sn，a1＝1＋，s3＝9＋3.
(1)求數列的通項an與前n項和sn；
(2)設bn＝ (n∈n*)，
求證：數列中任意不同的三項都不可能成為等比數列．
解：(1)由已知得
∴d＝2.
故an＝2n－1＋，sn＝n(n＋)．
(2)由(1)得bn＝＝n＋.
假設數列中存在三項bp，bq，br(p，q，r互不相等)成等比數列，則b＝bpbr，
即(q＋)2＝(p＋)(r＋)，
∴(q2－pr)＋(2q－p－r) ＝0，
∵p，q，r∈n*，∴
∴2＝pr，(p－r)2＝0.
∴p＝r，與p≠r矛盾．
∴數列中任意不同的三項都不可能成等比數列．
21．(本小題滿分12分)設f(n)＝1＋＋＋…＋ (n∈n*)．
求證：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈n*)．
證明：當n＝2時，左邊＝f(1)＝1，
右邊＝2＝1，左邊＝右邊，等式成立．
假設n＝k(k≥2，k∈n*)時，結論成立，即
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]，
那麼，當n＝k＋1時，
f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k)
＝k[f(k)－1]＋f(k)
＝(k＋1)f(k)－k
＝(k＋1) －k
＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)
＝(k＋1)[f(k＋1)－1]，
∴當n＝k＋1時結論仍然成立．
∴f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈n*)．
22．(本小題滿分12分)已知f(x)＝，且f(1)＝log162，f(－2)＝1.
(1)求函式f(x)的表示式；
(2)已知數列的項滿足xn＝(1－f(1))(1－f(2))…(1－f(n))，試求x1，x2，x3，x4；
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