時間120分鐘，滿分150分。
一、選擇題(本大題共12個小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)
1．銳角三角形的面積等於底乘高的一半；
直角三角形的面積等於底乘高的一半；
鈍角三角形的面積等於底乘高的一半；
所以，凡是三角形的面積都等於底乘高的一半．
以上推理運用的推理規則是( )
a．三段論推理
b．假言推理
c．關係推理
d．完全歸納推理
[答案] d
[解析] 所有三角形按角分，只有銳角三角形、rt三角形和鈍角三角形三種情形，上述推理窮盡了所有的可能情形，故為完全歸納推理．
2．數列1,3,6,10,15，…的遞推公式可能是( )
a. b.
c. d.
[答案] b
[解析] 記數列為，由已知觀察規律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，…，可知當n≥2時，an比an－1多n，可得遞推關係(n≥2，n∈n*)．
3．有一段演繹推理是這樣的「有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數」，結論顯然是錯誤的，因為( )
a．大前提錯誤
b．小前提錯誤
c．推理形式錯誤
d．不是以上錯誤
[答案] c
[解析] 大小前提都正確，其推理形式錯誤．故應選c.
4．用數學歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈n*)時，驗證n＝1，左邊應取的項是( )
a．1b．1＋2
c．1＋2＋3
d．1＋2＋3＋4
[答案] d
[解析] 當n＝1時，左＝1＋2＋…＋(1＋3)＝1＋2＋…＋4，故應選d.
5．在r上定義運算：xy＝x(1－y)．若不等式(x－a)(x＋a)＜1對任意實數x都成立，則( )
a．－1＜a＜1
b．0＜a＜2
c．－＜a＜
d．－＜a＜
[答案] c
[解析] 模擬題目所給運算的形式，得到不等式(x－a)(x＋a)<1的簡化形式，再求其恆成立時a的取值範圍．
(x－a)(x＋a)<1(x－a)(1－x－a)<1
即x2－x－a2＋a＋1>0
不等式恆成立的充要條件是
δ＝1－4(－a2＋a＋1)<0
即4a2－4a－3<0
解得－6．已知f(n)＝＋＋＋…＋，則( )
a．f(n)中共有n項，當n＝2時，f(2)＝＋
b．f(n)中共有n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋
c．f(n)中共有n2－n項，當n＝2時，f(2)＝＋
d．f(n)中共有n2－n＋1項，當n＝2時，f(2)＝＋＋
[答案] d
[解析] 項數為n2－(n－1)＝n2－n＋1，故應選d.
7．已知a＋b＋c＝0，則ab＋bc＋ca的值( )
a．大於0
b．小於0
c．不小於0
d．不大於0
[答案] d
[解析] 解法1：∵a＋b＋c＝0，
∴a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc＝0，
∴ab＋ac＋bc＝－≤0.
解法2：令c＝0，若b＝0，則ab＋bc＋ac＝0，否則a、b異號，∴ab＋bc＋ac＝ab＜0，排除a、b、c，選d.
8．已知c＞1，a＝－，b＝－，則正確的結論是( )
a．a＞b
b．a＜b
c．a＝b
d．a、b大小不定
[答案] b
[解析] a＝－＝，
b＝－＝，
因為》0， >>0，
所以＋>＋>0，所以a9．若凸k邊形的內角和為f(k)，則凸(k＋1)邊形的內角和f(k＋1)(k≥3且k∈n*)等於( )
a．f(k)＋
b．f(k)＋π
c．f(k)＋π
d．f(k)＋2π
[答案] b
[解析] 由凸k邊形到凸(k＋1)邊形，增加了乙個三角形，故f(k＋1)＝f(k)＋π.
10．若＝＝，則△abc是( )
a．等邊三角形
b．有乙個內角是30°的直角三角形
c．等腰直角三角形
d．有乙個內角是30°的等腰三角形
[答案] c
[解析] ∵＝＝，由正弦定理得，
＝＝，∴＝＝＝，
∴sinb＝cosb，sinc＝cosc，∴∠b＝∠c＝45°，
∴△abc是等腰直角三角形．
11．若a＞0，b＞0，則p＝(ab)與q＝ab·ba的大小關係是( )
a．p≥q
b．p≤q
c．p＞q
d．p＜q
[答案] a
若a＞b，則＞1，a－b＞0，∴＞1；
若0＜a＜b，則0＜＜1，a－b＜0，∴＞1；
若a＝b，則＝1，
∴p≥q.
12．設函式f(x)定義如下表，數列滿足x0＝5，且對任意的自然數均有xn＋1＝f(xn)，則x2011＝( )
a.1b．2
c．4d．5
[答案] c
[解析] x1＝f(x0)＝f(5)＝2，
x2＝f(2)＝1，x3＝f(1)＝4，x4＝f(4)＝5，x5＝f(5)＝2，…，數列是週期為4的數列，所以x2011＝x3＝4，故應選c.
二、填空題(本大題共4個小題，每小題4分，共16分．將正確答案填在題中橫線上)
13．半徑為r的圓的面積s(r)＝πr2，周長c(r)＝2πr，若將r看作(0，＋∞)上的變數，則(πr2)′＝2πr.①
①式可用語言敘述為：圓的面積函式的導數等於圓的周長函式．對於半徑為r的球，若將r看作(0，＋∞)上的變數，請你寫出類似於①式的式子你所寫的式子可用語言敘述為
[答案] ′＝4πr2；球的體積函式的導數等於球的表面積函式．
14．已知f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈n*)，用數學歸納法證明f(2n)>時，f(2k＋1)－f(2k
[答案] ＋＋…＋
[解析] f(2k＋1)＝1＋＋＋…＋
f(2k)＝1＋＋＋…＋
f(2k＋1)－f(2k)＝＋＋…＋.
15．觀察①sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝；
②sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝.兩式的結構特點可提出乙個猜想的等式為
[答案] sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝
[解析] 觀察40°－10°＝30°，36°－6°＝30°，
由此猜想：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝.
可以證明此結論是正確的，證明如下：
sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinα·cos(30°＋α)
＝＋＋[sin(30°＋2α)－sin30°]＝1＋[cos(60°＋2α)－cos2α]＋sin(30°＋2α)－
＝1＋[－2sin(30°＋2α)sin30°]＋sin(30°＋2α)－
＝－sin(30°＋2α)＋sin(30°＋2α)＝.
16．設p是乙個數集，且至少含有兩個數，若對任意a、b∈p，都有a＋b、a－b、ab、∈p(除數b≠0)，則稱p是乙個數域．例如有理數集q是數域；數集f＝也是數域．有下列命題：
①整數集是數域；
②若有理數集qm，則數集m必為數域；
③數域必為無限集；
④存在無窮多個數域．
其中正確命題的序號是把你認為正確命題的序號都填上)
[答案] ③④
[解析] 考查閱讀理解、分析等學習能力．
①整數a＝2，b＝4，不是整數；
②如將有理數集q，添上元素，得到數集m，則取a＝3，b＝，a＋bm；
③由數域p的定義知，若a∈p，b∈p(p中至少含有兩個元素)，則有a＋b∈p，從而a＋2b，a＋3b，…，a＋nb∈p，∴p中必含有無窮多個元素，∴③對．
④設x是乙個非完全平方正整數(x>1)，a，b∈q，則由數域定義知，f＝必是數域，這樣的數域f有無窮多個．
三、解答題(本大題共6個小題，共74分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)
17．(本題滿分12分)已知：a、b、c∈r，且a＋b＋c＝1.
求證：a2＋b2＋c2≥.
[證明] 由a2＋b2≥2ab，及b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca.
三式相加得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.
∴3(a2＋b2＋c2)≥(a2＋b2＋c2)＋2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b＋c)2.
由a＋b＋c＝1，得3(a2＋b2＋c2)≥1，
即a2＋b2＋c2≥.
18．(本題滿分12分)證明下列等式，並從中歸納出乙個一般性的結論．
2cos＝，
2cos＝，
2cos＝，
……[證明] 2cos＝2·＝
2cos＝2＝2·
＝2cos＝2
＝2＝…
19．(本題滿分12分)已知數列滿足a1＝3，an·an－1＝2·an－1－1.
(1)求a2、a3、a4；
(2)求證：數列是等差數列，並寫出數列的乙個通項公式．
[解析] (1)由an·an－1＝2·an－1－1得
an＝2－，
代入a1＝3，n依次取值2,3,4，得
a2＝2－＝，a3＝2－＝，a4＝2－＝.
(2)證明：由an·an－1＝2·an－1－1變形，得
(an－1)·(an－1－1)＝－(an－1)＋(an－1－1)，
即－＝1，
所以{}是等差數列．
由＝，所以＝＋n－1，
變形得an－1＝，
所以an＝為數列的乙個通項公式．
20．(本題滿分12分)已知函式f(x)＝ax＋(a>1)．
(1)證明：函式f(x)在(－1，＋∞)上為增函式；
(2)用反證法證明方程f(x)＝0沒有負根．
[解析] (1)證法1：任取x1，x2∈(－1，＋∞)，不妨設x10，且ax1>0，
又∵x1＋1>0，x2＋1>0，
∴f(x2)－f(x1)＝－
＝＝>0，
於是f(x2)－f(x1)＝ax2－ax1＋－>0，
故函式f(x)在(－1，＋∞)上為增函式．
證法2：f′(x)＝axlna＋＝axlna＋
∵a>1，∴lna>0，∴axlna＋>0，
f′(x)>0在(－1，＋∞)上恆成立，
即f(x)在(－1，＋∞)上為增函式．
(2)解法1：設存在x0<0(x0≠－1)滿足f(x0)＝0
則ax0＝－，且0∴0<－<1，即故方程f(x)＝0沒有負數根．
解法2：設x0<0(x0≠－1)
①若－1 高二數學周四檢測 推理與證明 理 一 選擇題 1 四邊形abcd是矩形，四邊形abcd的對角線相等 補充以上推理的大前提 a 正方形都是對角線相等的四邊形 b 矩形都是對角線相等的四邊形 c 等腰三角形都是對角線相等的四邊形 d 矩形都是對邊平行且相等的四邊形 2 推理 矩形是平行四邊形 三角形不是... 班級學號姓名時間 40分鐘總分 100分 一 選擇題 6 7 42分 1.若三角形能剖分為兩個與自身相似的三角形，那麼這個三角形的形狀為 a 銳角三角形 b.直角三角形 c.鈍角三角形 d.不能確定 2.有這樣一段演繹推理是這樣的 有些有理數是真分數，整數是有理數，則整數是真分數 結論顯然是錯誤的，... 班級姓名學號得分 一 選擇題 1 一項研究要確定是否能夠根據施肥量 作物的產量。這裡的被解釋變數是 a 作物的產量 b 施肥量 c 試驗者 d 降雨量或其他解釋產量的變數 2 下面使用模擬推理正確的是 a.若,則 類推出 若,則 b.若 類推出 c.若 類推出 c 0 d.類推出 3 有一段演繹推理...高二數學周四檢測推理與證明
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