1． 「三角函式是週期函式，y＝tanx，x∈是三角函式，所以y＝tanx，x∈是週期函式」．在以上演繹推理中，下列說法正確的是( )
a．推理完全正確 b．大前提不正確
c．小前提不正確 d．推理形式不正確
[答案] d
[解析] 大前提和小前提中的三角函式不是同一概念，犯了偷換概念的錯誤，即推理形式不正確．
2．設△abc的三邊長分別為a、b、c，△abc的面積為s，內切圓半徑為r，則r＝；模擬這個結論可知：四面體p－abc的四個面的面積分別為s1、s2、s3、s4，內切球的半徑為r，四面體p－abc的體積為v，則r＝( )
a． b．
c． d．
[答案] c
[解析] 將△abc的三條邊長a、b、c模擬到四面體p－abc的四個面面積s1、s2、s3、s4，將三角形面積公式中係數，模擬到三稜錐體積公式中係數，從而可知選c.
證明如下：以四面體各面為底，內切球心o為頂點的各三稜錐體積的和為v，∴v＝s1r＋s2r＋s3r＋s4r，∴r＝.
3．已知整數的數列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，…則第60個數對是( )
a．(3,8) b．(4,7)
c．(4,8) d．(5,7)
[答案] d
[解析] 觀察可知橫座標與縱座標之和為2的數對有1個，和為3的數對有2個，和為4的數對有3個，和為5的數對有4個，…，依此類推和為n＋1的數對有n個，和相同的數對的排序是按照橫座標依次增大的順序來排的，由＝60n(n＋1)＝120，n∈n，n＝10時，＝55個數對，還差5個數對，且這5個數對的橫、縱座標之和為12，它們依次是(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，
所以第60個數對是(5,7)．
4．平面幾何中，有邊長為a的正三角形內任一點到三邊距離之和為定值a，模擬上述命題，稜長為a的正四面體內任一點到四個面的距離之和為( )
a． a b． a
c． a d． a
[答案] b
[解析] 將正三角形一邊上的高a模擬到正四面體乙個面上的高a，由正三角形「分割成以三條邊為底的三個三角形面積的和等於正三角形的面積」，方法模擬為「將四面體分割成以各面為底的三稜錐體積之和等於四面體的體積」證明．
5．推理：「①矩形是平行四邊形，②三角形不是平行四邊形，③所以三角形不是矩形」中的小前提是( )
a．① b．②
c．③ d．①②
[答案] b
[解析] 由①②③的關係知，小前提應為「三角形不是平行四邊形」．故應選b.
6、以下推理過程省略的大前提為
∵a2＋b2≥2ab，
∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab.
[答案] 若a≥b，則a＋c≥b＋c
[解析] 由小前提和結論可知，是在小前提的兩邊同時加上了a2＋b2，故大前提為：若a≥b，則a＋c≥b＋c.
7．以下推理中，錯誤的序號為________．
①∵ab＝ac，∴b＝c；
②∵a≥b，b>c，∴a>c；
③∵75不能被2整除，∴75是奇數；
④∵a∥b，b⊥平面α，∴a⊥α.
[答案] ①
[解析] 當a＝0時，ab＝ac，但b＝c未必成立．
8．「∵α∩β＝l，abα，ab⊥l，∴ab⊥β」，在上述推理過程中，省略的命題為________．
[答案] 如果兩個平面相交，那麼在乙個平面內垂直於交線的直線垂直於另乙個平面
9．下面給出判斷函式f(x)＝的奇偶性的解題過程：
解：由於x∈r，且
＝·＝＝＝－1.
∴f(－x)＝－f(x)，故函式f(x)為奇函式．
試用三段論加以分析．
[解析] 判斷奇偶性的大前提「若x∈r，且f(－x)＝－f(x)，則函式f(x)是奇函式；若x∈r，且f(－x)＝f(x)，則函式f(x)是偶函式」．在解題過程中往往不用寫出來，上述證明過程就省略了大前提．解答過程就是驗證小前提成立，即所給的具體函式f(x)滿足f(－x)＝－f(x)．
10．先解答下題，然後分析說明你的解題過程符合演繹推理規則．設m為實數，求證：方程x2－2mx＋m2＋1＝0沒有實數根．
[解析] 已知方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判別式δ＝(－2m)2－4(m2＋1)＝－4<0，所以方程x2－2mx＋m2＋1＝0沒有實數根．
說明：此推理過程用三段論表述為：
大前提：如果一元二次方程的判別式δ<0，那麼這個方程沒有實數根；
小前提：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0的判別式δ<0；
結論：一元二次方程x2－2mx＋m2＋1＝0沒有實數根．
解題過程就是驗證小前提成立後，得出結論．
11．在等差數列中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19，n∈n*)成立，模擬上述性質，相應地：在等比數列中，若b9＝1，則有等式________成立．
[答案] b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈n*)
[解析] 解法1：從分析所提供的性質入手：由a10＝0，可得ak＋a20－k＝0，因而當n<19－n時，有a1＋a2＋…＋a19－n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋a19－n，
而an＋1＋an＋2＋…＋a19－n＝＝0，∴等式成立．同理可得n>19－n時的情形．
由此可知：等差數列之所以有等式成立的性質，關鍵在於在等差數列中有性質：an＋1＋a19－n＝2a10＝0，類似地，在等比數列中，也有性質：
bn＋1·b17－n＝b＝1，因而得到答案：b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n<17，n∈n*)．
解法2：因為在等差數列中有「和」的性質a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n＜19，n∈n*)成立，故在等比數列中，由b9＝1，可知應有「積」的性質b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈n*)成立. (1)
證明如下：當n＜8時，等式(1)為b1b2…bn＝b1b2…bnbn＋1…b17－n，
即：bn＋1·bn＋2…b17－n＝1.(2)
∵b9＝1，∴bk＋1·b17－k＝b＝1.
∴bn＋1bn＋2…b17－n＝b＝1.
∴(2)式成立，即(1)式成立；
當n＝8時，(1)式即：b9＝1顯然成立；
當8＜n＜17時，(1)式即：
b1b2…b17－n·b18－n·…bn＝b1b2…b17－n，
即：b18－n·b19－n…bn＝1(3)
∵b9＝1，∴b18－k·bk＝b＝1，
∴b18－nb19－n·…·bn＝b＝1，
∴(3)式成立，即(1)式成立．
綜上可知，當等比數列滿足b9＝1時，有：
b1b2…bn＝b1b2…b17－n(n＜17，n∈n*)成立．
12．我們知道：
121，
22＝(1＋1)2＝12＋2×1＋1，
32＝(2＋1)2＝22＋2×2＋1，
42＝(3＋1)2＝32＋2×3＋1，
……n2＝(n－1)2＋2(n－1)＋1，
左右兩邊分別相加，得
n2＝2×[1＋2＋3＋…＋(n－1)]＋n
∴1＋2＋3＋…＋n＝.
模擬上述推理方法寫出求12＋22＋32＋…＋n2的表示式的過程．
[解析] 我們記s1(n)＝1＋2＋3＋…＋n，
s2(n)＝12＋22＋32＋…＋n2，…sk(n)＝1k＋2k＋3k＋…＋nk (k∈n*)．
已知131，
23＝(1＋1)3＝13＋3×12＋3×1＋1，
33＝(2＋1)3＝23＋3×22＋3×2＋1，
43＝(3＋1)3＝33＋3×32＋3×3＋1，
……n3＝(n－1)3＋3(n－1)2＋3(n－1)＋1.
將左右兩邊分別相加，得
s3(n)＝[s3(n)－n3]＋3[s2(n)－n2]＋3[s1(n)－n]＋n.
由此知s2(n)＝＝＝.
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