1、利用梅涅勞斯定理的逆定理
例1、如圖1，圓內接δabc為不等邊三角形，過點a、b、c分別作圓的切線依次交直線bc、ca、ab於、、，求證：、、三點共線。
解：記，易知
又易證.則.
同理.故.
由梅涅勞斯定理的逆定理，知、、三點共線。
2、利用四點共圓（在圓內，主要由角相等或互補得到共線）
例2 、如圖，以銳角δabc的一邊bc為直徑作⊙o，過點a作⊙o的兩條切線，切點為m、n，點h是δabc的垂心.求證：m、h、n三點共線。(96中國奧數)
證明：射線ah交bc於d，顯然ad為高。
記ab與⊙o的交點為e，易知c、h、e三點共線。
聯結om、on、dm、dn、mh、nh，
易知，∴a、m、o、d、n五點共圓，更有a、m、d、n四點共圓，
此時，因為（b、d、h、e四點共圓），
即；又，所以，故
同理，。
因為，所以，m、h、n三點共線。
3、利用面積法
如果，點e、f位於直線mn的異側，則直線mn平分線段ef，即m、n與ef的中點三點共線。
例3 、如圖，延長凸四邊形abcd的邊ab、dc交於點e，延長邊ad、bc交於點f，又
m、n、l分別是ac、bd、ef的中點，求證：m、n、l三點共線。
證明：設bc的中點為o，輔助線如圖所示，
由可知，
點o必在內，此時，
同理，。
因此。此時，直線mn平分ef，即m、n、l三點共線。
注：利用梅涅勞斯定理的逆定理也可證明此題。
4、利用同一法
儘管同一法是一種間接證法，但它卻是一各很有用的證法，觀察例4後，你會感到，同一法在證明三點共線問題時，也有其用武之地。
例4 、如圖4(a)，凸四邊形abcd的四邊皆與⊙o相切，切點分別為p、m、q、n，設pq與
mn交於s，證明：a、s、c三點共線。
證明：如圖4(b)，令pq與ac交於，
易證互補。
而，則，
故。再令mn與ac交於。同理可得
但，所以。利用合比性質得，。
因此，，可斷定與必重合於點s，故a、s、c三點共線。
注：觀察本題圖形,顯然還可證得b、s、d三點共線；換言之，ac、bd、pq、mn四線共點。
5、利用位似形的性質
如果與是兩個位似三角形，點o為位似中心，那麼不僅a、、o；b、、o；c、、o分別三點共線，而且、的兩個對應點與位似中心o也三點共線，位似形的這種性質，對於證明三點共線，頗為有用。
例5、如圖,內部的三個等圓⊙、⊙、⊙兩兩相交且都經過點p，其中每兩個圓都與的一邊相切,已知o、i分別是的外心、內心，證明：i、p、o三點共線。
證明：聯結、、。由已知得
、、。可斷定與是一對位似三角形，
且易知的內心i是兩者的位似中心。
因為⊙、⊙、⊙為等圓，
即,所以點p是的外心。又點o是的外心，故p、o兩點是兩個位似三角形的對應點，利用位似形的性質，即得i、p、o三點共線。
6、 利用反證法
有的幾何題利用直接證法很難，而用反證法卻能很快達到預期目的。
例6、如圖，梯形abcd中、dc//ab，對形內的三點、、，如果到四邊距離之和皆相等，那麼，、、三點共線，試證之。
證明：先看兩點，
設直線分別交ad、bc於m 、n，
於，於，
於，於。
因為dc//ab，則點到ab、cd的距離之和等於點到ab、cd的距離之和。由已知可得。過點作ad的平行線、過點作bc的平行線得交點p（由於ad與bc不平行）。記交於g，交於h。
觀察上式有。所以，。
因為有兩條高，所以，是等腰三角形，則。
故。再用反證法證明點一定在上：假設點不在上，聯結並延長分別交ad、bc於，易知點在mn的異側；因為點到ad、bc的距離之和等於點到ad、bc的距離之和，由上述證明過程知必有。
事實上，觀察圖形只能得到，矛盾，這說明點必在上，即mn上，因此、、三點共線。
7、 用塞瓦定量的逆定理
變三點共線為三線共點，利用塞瓦定理的逆定理，在圓內接凸六邊形abcdef中，若
，則ad、be、cf三線共點；反之亦然，利用這個結果來證明某些三點共線問題，可立竿見影。
例7、如圖7，凸四邊形abcd內接於圓，延長ad、bc交於點p，作pe、pf切圓於e、f，又ac與bd交於k，證明：e、k、f三點共線。
解：聯結ae、ed、cf、fb得凸六邊形abfcde。
欲證e、k、f三點共線，即ac、bd、ef三線共點，
只須證。
注意到。
則。又pe=pf，
則。故。
因此，ac、bd、ef三線共點，即e、k、f三點共線。
練習題1、 在中，，它的內切圓切bc、ca、ab於d、e、f。設fe與bc交
於，fd與ac交於，de與ba交於。求證：、、三點共線。
（提示：方法1）
2、 證明：圓外切凸四邊形對角線的中點及圓心三點共線。（提示：利用面積法）
3、 凸四邊形abcd內接於圓，ac與bd交於p，過點a、d分別作bd、ac的垂線交於點k，
過ab、cd的中點分別作bd、ac的垂線交於點l.證明：p、k、l三點共線。
（提示：設第一組垂線的垂足為m、n，第二組垂線的垂足為x、y，尋證mn//xy，得出與位似。）
4、 圖8，凸四邊形abcd的，以ac、bd、cd為一邊分別作三個正三角形：
。證明：p、q、r三點共線。
（提示：延長ad、bc交於點e，顯然c、d、r、e四點共圓，
再尋找其他的四點共圓，利用方法2）
5、 ⊙o的弦ac、bd交於點s，過點a、b分別作⊙o的切線得交點p，延長ad、bc得交
點q，求證：p、s、q三點共線。（提示：設射線qs交ab於點k，設線段pq交ab於點，利用同一法，設法證明點k與重合）
證明三點共線的又一方法及應用
平面向量既具有數量特徵，又具有圖形特徵,學習向量的應用，可以啟發同學們從新的視角去分析 解決問題，有益於培養創新能力.下面就一道習題的應用 為例進行說明.原題已知，其中.求證 三點共線 思路 通過向量共線 如 得三點共線.證明 如圖,由得,則 三點共線.思考 1.此題揭示了證明三點共線的又一向量方法...
向量法證明三點共線的又一方法及應用
湖南省桑植縣第一中學羅生軍王樂龍 平面向量既具有數量特徵，又具有圖形特徵,學習向量的應用，可以啟發同學們從新的視角去分析 解決問題，有益於培養創新能力.下面就一道習題的應用 為例進行說明.原題已知，其中.求證 三點共線 思路 通過向量共線 如 得三點共線.證明 如圖,由得,則 三點共線.思考 1.此...
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