「三點定型」法在相似證明中的應用

冀教版第二十九章《相似形》這一章在初三教學中是乙個重點內容，無論是數學本身還是在實際中，都有廣泛的應用，每年各地中考題中也屢次出現，其中比例式和等積式的證明是本章的重點和難點。我在平時教學中發現用「左看、右看、上看、下看」加「三點定型」法及適當變形做這類題比較簡單，現分三類舉例如下。

一類：直接利用「左看、右看、上看、下看」加「三點定型」

例1，冀教版數學課本90頁c組第一題：已知：∠acb=900，cd⊥ab。

求證：ac2=adab

分析：要證ac2=adab，可先證，這時看等號的左邊a、c、d三點可確定乙個三角形，而等號右邊a、c、b三點也可確定乙個三角形，即證△acd∽△abc。都看上面的分子為a、b、c及都看下面的分母為a、c、d也可確定去證△acd∽△abc。

例2，已知：等邊三角形abc中，p為bc上任一點，ap的垂直平分線交ab、ac於m、n兩點。

求證：bppc=bmcn 分析：要證bppc=bmcn，只需證

看等號的左邊b、p、m和等號右邊c、n、p可確定證

△pbm∽△ncp。

二類：當不能直接用「左看、右看、上看、下看」加「三點定形」時，如果有相等的線段時，可用相等的線段去替換。

例1，已知；ad平分∠bac，ef垂直平分ad與bc的延長線交於f。求證：df2=bfcf

分析：由已知可得df=af，直接證df2=bfcf找不出相似三角形，可改證af2=bfcf，即證，這時用「左看、右看」或「上看、下看」定出△abf∽△caf

例2，已知；在rt△abc中，∠a=900，四邊形defg為正方形。

求證：ef2=befc

分析：要證ef2=befc，可證，這時我們不論是

「左看、右看」還是「上看、下看」b、e、f、c都在同一直線上，不能確定兩個三角形。但在圖形中有相等的線段de=ef=fg，這時用相等的線段去替換即證即可。再用「左看、右看」的方法確定證△bde∽△gcf從而完成證明。

三類：既不能直接用「三點定形」，又沒有相等的線段可以替換時，可以找中間比或中間量來轉化搭橋，充分體現了轉化的思想在數學中的應用。

例1，已知：梯形abcd中，ad//bc，ac與bd相交於o點，作be//cd,交ca的延長線於點e.

求證：oc2=oa.oe

分析：要證oc2=oa.oe,這時我們不論是「左看、右看」還是「上看、下看」都發現o,c,a,e在同一直線上，並且沒有相等的線段可以替換，怎麼辦呢？

這時，我們可以利用轉化的數學思想，先證，用「上看、下看」定出△obc∽△odc,然後再證,用同樣的方法確定證△obe∽△odc相似即可。

例2，已知：bd、ce是△abc的兩個高，dg⊥bc，與ce交於f，gd的延長線與ba的延長線交於h。

求證：gd2=gfgh

分析：要證gd2=gfgh,這時我們發現g、d、e、f在同一直線上，並且沒有相等的線段可以替換，這時，我們可以利用直角三角形斜邊上的高分的兩個三角形和原三角形相似得出gd2=bgcg，從而把原題轉化為證bgcg=gfgh，再用「左看、右看、上看、下看」的方法確定證△bgh∽△fgc相似即可。